Bài tập toán cao cấp tập 2,phép tính giải tích một biến số

Chính trong quá ĩrình học lý thuyết rồi làm các hài tập, từ những bài tập vận dụng dơn gián lý thuyết đến nlìữnq hài tập ngàv càng khó hơn, chúng tờ dán dẩn hiểu được các khái niệm toán

N G U Y Ễ N Đ Ì N H T R Í (chủ biên)

TẠ V Ă N Đ Ĩ N H - N G U Y Ễ N H ổ Q U Ỳ N H

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP

T Ậ P H A I

( T á i h c in l ầ n í h ứ s í u i )

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

— ^ ^ ^ 2 1 / 3 3 3 0 5 M ã s ố ; 7 K 2 8 1 T 5 - D A I

G D - 0 5

LỜI NÓI ĐẦU '

Q uyển hài tập này trình hày lời giải của các bài tập đ ã ra ĩrong quyển T O Á N H Ọ C C A O CÂP tập hai, phép tính giái ticlĩ một hiến s ố của tác gid N g u yễn Đ ình Trí, Tạ Vân Đ ĩnh và N guyễn H ồ Quỳnh

M ột s ố hài tập khác đ ã được h ổ sung vào ở cuối sách có b ổ sung thêm m ộĩ s ố bài ĩập hỗn hợp c ó tính ch á t tổng hợp và nâng cao.

N h ư chúnq ta đ ã biết, (rong học toán, giữa việc hiểu sâu sắc lý ĩhuyếĩ và làm thành thạo các hài tập có m ột m ối quan hệ m ật thiết Chính trong quá ĩrình học lý thuyết rồi làm các hài tập, từ những bài tập vận dụng dơn gián lý thuyết đến nlìữnq hài tập ngàv càng khó hơn, chúng tờ dán dẩn hiểu được các khái niệm toán học mới, nắm được các phương p h á p c ơ bản, n h ớ được các kết q u ả cơ bản.

Đ ốỉ với các hạn sinh viên dùng quyển sách này, chúng tôi khuyên các hạn hãy tự m ình qidi các hài tập đ ã ra trong giáo trình và c h ỉ ,xem lời giải Ịroniị quyển sách này đ ể kiểm tra lại, tự mình đánh ẹ/đ kết q u à học tập của mình M o n ^ rằng quyển sách này giúp các bạn hoc tốt hơn và tìm được nhữn^ lởi ÍỊỈƠỈ hay hơn.

Q uyển sách nàv viếi lấn clắu nên không tránh khỏi các sai sót ChitnịỊ tôi m ong nhận dược V kiến đ ó n ^ ^ỏp của độc í^id Xin clìân thành cảm ơn.

C Ả C TÁC GiẢ

SỐ THỰCm

A Đ Ể BÀI

1 Dùng kí hiệu tập hợp, biểu diễn các tập sau :

1) Các số nguyên dương bé thua 12

2) Các sô' nguyôn dương là bội sô của 4 và bé thua 43

3) C ác phân số c ó tử s ố là 3 và mẫu s ố là m ột s ố n gu yên dưcmg bé

thua 9

2 Cho F ; = n , 4, 7, 1 0 1 và G : = 11, 4, 7 1 Hỏi các mệnh đề sau

đ â y , m ệ n h đ ề n à o đ ú n g :

1 ) G c F

2) Tập 11,7 } là tập con thực sự của F

3) T ập 11, 4, 7 1 là tập con thực sự ciia G

3 Liệt kê mọi tập con của các tập sau ;

I ) l a , b , c } ; 2 ) 1 1 , 2 , 3 , 4 1

4 C h o A ; = |a , b, c | ; B : = 11, 2, 31 ; c : = |b , c, a | ; D = | 3 , 2, 1 | Hỏi :

1) A = c ? 2) A = B ? 3) A tương đ ư ơ n g B ? 4) B = D ?

5 Xét xcm các tập cho dưới đây, tập nào vô hạn, tập nào hữu hạn :

1) Tâp mọi sô' nguyên dương lớn hơn 100

2) Tủp mọi sô' nguyên dương bé thua 1 0 0 0 000 000

Chương I

5

3) Tập mọi điểm nằm trôn đoạn thẳng nối liền hai điểm phân biệt

A, B

6 Cho A : = I q, r, t, u Ị ; B : = {p, q, s, u I và c : = {t, u, V, w Ị

1) T im A n (B u C) và (A n B) u (A C) Chúng có bằng nhau

k hông ?

2) T im A u (B n C) và (A u B) n (A u C) Chúng có bằng nhau

k hông ?

7 Cho A, B là hai tập hữu hạn, chứng minh rằng

card (A u B) = card (A) + card (B) - card (A n B)

8 Cho A : = | 0 , K 2 | ; B : = {1, 3Ị

1) Tim A X B và B X A

2) Tính card (A X B ) ; card (B X A) ; card (A X A ) ; card (B X B)

9, Xét ánh xạ f : R —> R : X1-^ 2x

1 + x

; f có là đơn án h ? toàn án h ? Tim f(R ) ?

10 D ùng lập luận phản chứng, chứng minh rằng >/3 là số vỏ tỉ

11 D ùng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng

1) l + 2 + + n==

^ / 2 -.2 2 n(n + l)(2n + l)

12 Xét xem đã dùng tiên đề nào trong các tiên đề về sổ' thực để

c h ứ n g m i n h các hệ thức dưới đây :

1 ) 5 + 3 = 3 + 5 ; 2 ) 9 + 0 = 9 ;

3 ) - 3 + 0 = - 3 ; 4) ( - 3 + 4 ) + 7 = - 3 + (4 + 7 ) ;

5 ) 0 + 0 = 0 ; 6 ) ( - l ) ( l ) = - l ;

7 ) ( - 3 ) + [ - ( - 3 ) ] = 0 : 8) 4

V ^ /

= 1.

13^ Dùng định nghĩa "lớn hơn", "bé thua" và các liên đề thứ tự, chứng minh (giả Ihiếl a, b, c € R) :

1) Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc

2) Nếu a > b thì a + c > b + c

3) Nếu a > 0 thì - a < 0

4) Nếu a 0 thì > 0

5) Nếu a > b thì (với a > 0, b > 0)

14, Giải các phương trình và bấi phương irình :

15 Cho A c R ; B c R, định nghĩa :

A + B : = { x G R | 3 a € A, 3 b e B, x = a + bỊ

AB : = {X G R I 3a G A, 3b 6 B, X = ab I nghĩa là A + B là tập các số ihực có dạng a + b, với a 6 A và

b € B ; AB là tập các số thực có dạng ab, với a 6 A và b 6 B 1) Giả sử A, B bị chận trẽn, chứng minh rằng :

su p (A + B) = sup A + sup B

2) Giả sử A, B bị chậ n Ircn và A c R^, B c chứng minh rằng :

s u p (AB) = (sup A)(sup B)

16 Xét sự hội tụ của dãy ^ — •

n

1 7 C l i ứ ỉ i ị ' l ù l ằ n g c á c d ã y s a u đ â y h ộ i t ụ v à l ì m g i ó i h ạ n c ủ a c h ú n g ,

n > 1 :

n + 1

1) : =

n

1 + 1

2) x „ : =

4) x „ : =

n

n + 1 ^ n

+ 1

18 Tim giới hạn của các dãy sau (nếu hội tụ) :

1) Xp : = n - ; 2) Xn : = V r ũ n T a ) - n ;

sin n - c o s n 5) X p : = -— -

n

19 Xél dãy Xp : = Xp_Ị + — ^ , với X q = 1.

^n-l 1) Chứng minh rằng Xj, không có giới hạn hữu hạn

2) Chứng minh rằng lim X n = + o o

n —>-H»

20 Xét dãy , với : = 2an_| -f 3bn_j

•^n ■ == ^n-1 + 2 b n - i , với > 0, > 0

1) Chứng minh rằng > 0 ; bp > 0

2) Tí nh x„ + Ị t heo Xp

3) Tính x„ Ị - và chứng tỏ rằng dãy Xp đcfn điệu, suy ra ị x^}

có giới hạn độc lập với a^,

21 Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) c ủ a dãy

2

Xp : = - + 1 với = 1.

^ n - l

22 Cho hai số a và b Ihoả 0 < a < b, xét hai dăy

X n — V^^n-iyn-l ; yn : = ^(Xn-1 + y n - 1 ) với Xq = a và = b,

Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và c ó chung giới hạn

8

23 Xét sự hội tụ của dãy :

x„ : = %/• + ^ n - l '

24 Đạt x^; = 1 và x„ thoà hệ thức

(3 + x „ _ i ) x „ + 1 = 0 Chứng tỏ rằng Xp hội tụ và tìm giới hạn c ù a Xp.

B L Ờ I G I Ả I

1 I ) ị n € N I n < 121

2) | n 6 N I n = 4k ; k = 1, 2, lOỊ

3) n = 1, 2, 3 , 8 •

2 1) đ ú n g ; 2) đúng ; 3) sai

%

3 1) | a , b, cỊ ; | a , b | ; |a , cỊ ; |b , cỊ ; |a} ; I b ị ; (cỊ ; ộ

2) { 1 , 2 , 3 , 4 1 ; { 1 , 2 , 3} ; 1 1 , 2 , 4 } ; | 1 3 , 4 Ị ; | 2, 3, 4} ; 11, 2} ;

| 1 , 3 Ị ; | 1 , 4 | ; 12 31 ; 12, 4} ; Ị 3 , 4 | ; I K ; | 2 | ; | 3 Ị ; | 4 | ;()>

4 1) đ ú n g ; 2) sai ; 3) đúng ; 4) đúng

5 1) vô hạn ; 2) hữu hạn ; 3) vô hạn

6 1)B u c = Ip, q, s, u, l, V, w |

A n (B C) = Iq, t, uỊ ; A n B = Iq, u |

A n c = |t , u | , (A n B) u (A n C) = Iq, t, uỊ Vậy

A n (B C) = (A n B) (A n C)

2) B n c = I u I ; A B = {q, r t, u, p, s I

A ^ C = (q, r, t, u V, w | , A u (B C) = Iq, r, t, u |

(A u B) n (A C) = {q, r, l, u | Vậy

A u (B n C) = (A B) n (A u C)

7 Gọi card (A) = m ; card (B) = n ; card (A n B) = p Khi đ ó , V!

A u B = (A n B) u (B n A ) u (A n B) nên :

card (A u B) = card ( A n B) + card (B n A ) + card (A n B)

= ( m - p ) + ( n - p ) + p = m + n - p

nghĩa là card (A u B) = card (A) + card (B) - card (A n B)

8 1) A X B = {(0, 1), ( 0 , 3 X ( 1 , 1 ) , ( U 3 X ( 2 , 1), (2 ,3)1

B X A = 1(1, 0), (1, 1), (1, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2)Ị

2) card (A X B) = card (B X A) = 6 ; card (A X A) = 9 ; card (B X B) = 4

9, f không đơn ánh vì với 0 < y < ỉ, phương Irình 2x

1 + x hai nghiệm, f cũng không loàn ánh vì với y > 1 phương trình 2x

= y ^ yy } - 2x -ỉ“ y = 0 (ẩn là x) vô nghiệm Ngoài ra, theo

1 + x"

bất đẳng thức Cauchy :

1 + > 2 X , đạt dấu = khi X = 1, do đó luôn có

1< 2x

1 + x

<1 ; v à f ( R ) = [ - l , 1]

10 Giả sử >/3 là ĩĩiộl số hữu tỉ, khi đố có thể viết \ / ĩ = — : m n là

n

2 2

2 số nguyên dương chi có ước sô' chung là 1 ; !ừ đó : m = 3n ; do 2

đó m chia hết cho 3, do đó m chia hêì cho 3, và có thê viết m = 3k

với k nguyên dưcmg ; suy ra m = 9k = 3n , nghĩa là n = 3k , n chia hết cho 3 ; do đó n chia hết cho 3 ; nghĩa là m và n cùng có

10

ước số chung là 3 ; và đicu đó mâu thuẫn với giả thiết Vậy y / ỉ là

m ộ t số vô tỉ

1 1 1 ) Hiển nhiên cỏng Ihức đúng với n = 1 ; bây giờ giả sử công thức

đ ú n g với n = k, sẽ chứng minh rằng công thức cũng đúng với

n = k + 1 Thậl vậy, vì công ihức đúng với n = k nên có

k(k + l)

suy ra

k ík + n

1 + 2 + H k 4 k + 1 = ^^ + ( k + l)

(k + l)(k + 2)

2) Công Ihức hiển nhiên đúng với n = 1 ; giả sử công thức đúng với n = k, nghĩa là giả sử có :

Khi đó :

1^ + 2 ^ + „ + k ^ + ( k + n ' +

= (k + l) k(2k + l) + (k + l)

(k + l)(2k^ + 7 k + 6)

6

_ ( k- t - l ) [ 2k( k + 2) + j ( k + 2)] (k + l)(k + 2)(2k + 3)

Hô thức cuối cùng chứng tỏ rằng công thức cũng đúng với n = k + 1

12 1) Giao hoán ; 2) Đồng nhất ; 3) Đ ổng nhất ; 4) Kết hợp ; 5) Đ ổ n g nhất ; 6) Đ ổng n h ấ t ; 7) Nghịch đảo ; 8) Nghịch đảo

11

13 1) ac “ bc = (a - b)c (kết hợp)

a > b = > a - b > 0 , ( a - b)c > 0 (liên đề 8)

2) Luôn c ó a - b = a + c “ c - b = (a + c ) - ( b + c)

a - b > 0 (theo giả thiết) => (a + c) - (b + c) > 0

=:>a + c > b + c

3) Theo định nghĩa a < 0 <=> 0 - ( - a ) = a > 0

Từ giả thiết a > 0, suy ra kết luận

4) Nếu a > 0 => > 0 ; nếu a < 0 = > - a > 0 = > a ^ > 0

5) o > 0 o (a ~ b)(a + b) > 0, bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng vì a > b (giả thiết) và a + b > 0

14 1) | x + 3| = 7<=>(x + 3)^ = 7 ^ » ( x + 3)^ - 7^ = 0

o ( x + 3 - 7 ) ( x + 3 + 7) = 0 o ( x - 4 ) ( x + 10) = 0 <=> X ị = 4 ;

X2 = “ 10

2) 12x - 6 | = 14<=>( 2 x - 6 ) ^ = (14)^ <=> Xj = - 4 ; X-? = 10.

3) | x ~ 4 | < 7 o ( x - 4 ) ^ < 7 ^ o ( x - 4 ) ^ - 7 ^ < 0 o ( x - 4 ~ 7 ) ( x - 4 + 7 ) < 0 o ( x - l l ) ( x + 3 ) < 0 o - 3 < X < 1 1

4) | 5 x - l | < 4 o ( 5 x - l ) ^ < 4^ <=> ( 5 x - l ) ^ - 4 ^ < 0 o

5

5 ) > A ( 4 x - 2 ) > 4 X < h o ă c X > —•

6) | 5 + 9 x | > 4 c í > ( 5 + 9x)^ > 4 ^ o x < - l hoặc x > “ —•

15 1) Theo giả thiết, A, B bị chăn Irên, do đó tồn tại supA và supB ;

và A + B < supA + supB,

12

do đó sup(A + B) < supA -f supB ( ỉ ) Mật khác, theo định nghĩa cộn trôn đúng, có :

supA < A + £ị supB < B + £2 với Eị, £2 dương dú bé, do đó :

supA + supB < A + B + £, với £ = E| + £2

So sánh (1) và (2) suy ra sup(A + B) = supA + supB

2) Cũng lập luận tương tự câu 1 ; (supA)(supB) là cận Irên của lích

AB ; (A > 0 ; B > 0), dùng định nghĩa cận trên đúng suy ra

sup (AB) = (supA)(supB)

16 n -f-1 > n => ^ ^ > 1 =:> Xp > I Mặt khác Xp < 0 khi n lẻ và Xj^ > 0

n khi n chẵn, do đó k hông thể lổn tại lim , dãy ( Ị phân kì

n —>oo

17 1) = i L t l - Ị J_ - dãy IXj^} giảm và bị sớ 1 chặn dưới, do đó

U n l hội lụ

2 ) Xn = — = - -= 1 - ^— ; dãy { 1 lảng và 01 sô I chân

trên nèn ịXpl hội tụ

3 ) \ p “ — L , ị x ^ \ g i ả m v à 0 < x „ , d o đ ó |Xj ,Ị h ộ i tụ

4) Xj^ = — 5— = — , mảu số của x„ tăng vô hạn, do đó 1x^1 hội

n +1 n + _

n

tụ đến 0

13

18 I) == n

n

2)

yjn(n + a) + n

n

_ }f, u _ (n + ^ l - n ^ ) ( n ^ - n ^ l - n ' * + ^ ( l - n^) ^)

3 ) X n = n + V l - n = - - , , ' -r -

-+1 - n^

n^-nỉ/l-n3+^(l-„3)2 -^0

4) Khi n - > oo thì sin — không xác định, do đó dãy Xj^

phân kì

-n -n7ĩ

—sin —

2 2

sin n - c o s n 2

- < ~ = ^ lim = 0

19 1) Từ định nghĩa suy ra I x„ I tâng ; > 1, Vn ; giả sử lim = /,

n —><»

(/ > 1) Khi đó, theo định lí vể giới hạn và theo biểu thức ta có :

/ = / + -=>- = 0.

/ /

Phương in n h - = 0 vO nghiẽm, d o dó khồng Ihé có giới luiii hữu hạn

2) Vì x ^ > 1, và lXj,} tăng nên

lim x„ = +00

n -^ +o o

14

20 1) T ừ các biểu ihức định nghĩa, có :

Bị = + 3b^ > 0, b | = a„ + 2 b^5 > 0 (vì a„ > 0 ; > 0)

suy ra > 0, bj, > 0, Vn

2) TTieo định nghĩa :

X ^ ^n+l ^ 2 a n + 3 b n ^ 2 x „ + 3

bn+1 a n + 2 b n x „ + 2

2x + 3 (chia tử và mẫu ch o bn > 0) ; do đó Xn+1 = — '

_ v _ ^ ^ n + 3 _ ( N / 3 - X n X ^ + Xn)

Vì X[, = — > 0 nên dâu của - Xp là dấu cùa y Í 3 - \ f ị , măt

bn

khác, từ câu 2), có :

^/5 ^ ^ n - 1 + 3 ^ 7 3 X n _ | + 2n/3 - 2Xn_i - 3

CÓ thể viết lử số c ủ a phân số trên (hành

V 3 X p _ j “ Xj-j_Ị + > / 3 “ Xp„Ị + > ^ — 3

= ( V 3 - l ) X n _ , + > / 3 ( l - V 3 ) + N ^ - X n _ i

= ( V 3 - l ) ( X n _ i - \ f ì ) + y ỉ ĩ - \ „ _ ị

= ( 7 3 - x„_, )(1 + i - V 3 ) = (>/3 - X n _ | )(2 - ^/3).

Do vậy, dấu của V3 - x„ là dấu cùa - X n _ | ; tiếp tục suy diễn,

có dấu của V3 - x„ là dấu cùa s/ĩ - Xo- Khi đó

• Nếu \ / 3 - X o > 0 = > | X n Ị tang và bị \Ỉ3 chặn trôn do đó I x„ I hội

tụ, hơn nữa, từ hộ thức

15

+ 2

suy ra lim Xp = V3

n -^00

• Nếu >/3“ X(^ < 0 = > |XpỊ giảm và {Xnl bị \Í3 chận dưới, cũng

suy ra lim = >/3

n-^00

• Nếu >/3 - x„ = 0 => Xn =yÍ3 ■

Vậy trong mọi trường hợp có

lim x„ = \/3

n—>00

21 Trước hết để ý rằng nếu có giới hạn là / thì lừ hộ thức định nghĩa suy ra :

/ 4 1 / Hơn nữa vì X(5 = 1 nên > 1, do đó suy ra / là nghiệm duơng của phương trình bậc hai

- 1 - 2 = 0.

Nghĩa là / = 2

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng dãy (x^Ị hội lụ

Thật vậy, ta biểu diễn x^+1 theo Xj^_| :

^n-1

x _ 2 - ^ n - 1 yX „ ~ ^ n - l ^ n - 1

Do đó nếu x„_| > 2 => Xn+I > 2

16