Bài toán được chứng minh.
Trang 1Thử làm 1 bài toán:
Bài toán 1:
Cho các số dương
3
:
3
x y z
CMR
x y z
+ + ≤
+ + ≥
Bài làm
Bài toán trên được chứng minh rất đơn giản như sau:
3 3
x+ + ≥y z x y z ≥ =
Lời giải trên áp dụng bất đẳng thức:
2
1
1
1
n
n
i i
i i
n
=
=
≥
∑
∑
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy vấn đề đặt ra với bài toán ngược của bài toán trên bạn làm thế nào???
Tức là với bài toán:
3
:
3
x y z
CMR
x y z
+ + ≥
+ + ≤ NX: với bài toán này bạn không thể làm với cách tương tự như bài toán 1 được!
Nhưng bằng cách phản chứng bạn có thể đưa bài toán này vê bài toán 1 được Thật vậy mệnh đề cần chứng minh tương đương với:
3
:
3
x y z
CMR
x y z
+ + <
+ + <
Như vậy bài toán trở lên đơn giản (không nói là hết sức đơn giản)
Với lời giải này thì ít người nghĩ đến (với những bài toán đơn giản thì dễ nhìn, nếu biến đổi đi 1 chút có thể không nhận ra được) vậy còn 1 lời giải khác, thông dụng hơn?! Còn!
Ta có đpcm tương đương với :
x 1 y 1 z 1 0
− + − + − ≥ Thật vậy :
− + − + − = − + − + − ≥ + + −
Bài toán trở về chứng minh
ta có :
+ + − + + ≥
+ + − + + ≥ + + − + + = + + + + −
Dễ thấy với đk đề cho thì (*) luôn đúng Bài toán được chứng minh
Trang 21 bài toán tương tự như bài toán trên chỉ được “ngụy trang” 1 chút làm lạc hướng Bài toán:
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 chứng minh rằng:
2
S
Bài làm
Dễ nhìn thấy được dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 Theo hướng chọn điểm rơi đó ta biến đổi S như sau:
S
Thoạt nhìn ta định đánh giá mẫu nhưng vô hiệu!
Biểu thức đối xứng, nhưng nhìn có vẻ cồng kềnh, vậy tại sao ta không đặt ẩn phụ?!
+ = = −
+ = ⇔ = − ⇒ − − − = =
Được bài toán mới:
:
T =
CMR
Tới đây cân tối ưu hóa giả thiết để sử dụng có hiệu quả hơn:
3
27
x y z
Thế là ổn! lại đưa về được bài toán 1!
+ + + làm như vậy ta có được 3 bất đẳng thức tương tự cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều lạ được 1 1 1 1
3
T
x y z
≤ + + ÷
Trở lại bài toán ban đâu!
(đến đây bạn đọc tự giải)
1 bài toán kiểu khác
ab bc ca abc
CMR
ab a b bc b c ca c a
+ + =
Bài làm
Dùng cosy ngược dấu cho bài này:
S=
xet
a b b a b c c b ac a c
a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a
Trang 34 4
1 1 1 2
a b
a b
a b b a
Tương tự ta có được S 1 1 1 1
a b c
≥ + + =