20 đề thi vào 10 (Hay)

Chứng minh: a Tứ giác IECB nội tiếp được một đường tròn b A M2= AE.. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.d Chứng minh: I là trung điểm của MN... Chứng minh rằng: a Tứ giác DEFN

b) Tính giá trị của P biết x 7 4 3 

Bài 2: Tổng chữ số hàng chục và 2 lần chữ số hàng đơn vị của 1 số có hai chứ số là 18 Nếu đổi chỗ 2

chữ số cho nhau thì được số lớn hơn số ban đầu là 54 Tìm số ban đầu

Bài 3: Cho (P):

2

1 4

và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −4 ;2

.a) Vẽ (P)

b) Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A và B

Bài 4: Cho (O), đường kính AB cố định, lấy I thuộc AO (AI>IO), kẻ dây MN vuông góc AB tại I Gọi C là

điểm thuộc cung lớn MN (C≠M, N, B), AC cắt MN tại E Chứng minh:

a) Tứ giác IECB nội tiếp được một đường tròn

b) A M2= AE AC

c) AE AC− AI IB=A I2

d) Xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ MCE nhỏ nhất

Bài 5: Cho a+b>1 Chứng minh rằng:

8

Bài 1: Cho biểu thức:

Bài 2: Hai địa điểm A và B cách nhau 66 km Lúc 6 giờ 45 phút, một người đi từ A với vận tốc 10 km/h.

Sau đó 2 giờ một người khác đi từ B với vận tốc 14 km/h Hỏi mấy giờ họ gặp nhau?

Bài 3: Cho phương trình x2−4 x+m+1=0 (1) (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m sao cho phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12

+ x22=26

Bài 4: Cho ∆ ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O có đường kính AA’ Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tiađối của tia CA lấy N sao cho MB=CN

a) Chứng minh : ∆ A ' MN cân

b) Chứng minh tứ giác AMA’N là tứ giác nội tiếp

c) MN cắt BC tại I Chứng minh: MBA’I là tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.d) Chứng minh: I là trung điểm của MN

Bài 5: Cho x, y R thỏa mãn x2 4y2  Chứng minh:1

5

x y

2

Bài 1: Cho biểu thức:

b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để P nhận giá trị nguyên dương

Bài 2: Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian đã định Nhưng trong thực tế xí nghiệp

lại giao 80 sản phẩm Vì vậy mặc dù mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm song thời gian hoàn thành côngviệc vẫn chậm so với dự định 12 phút Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá

20 sản phẩm

Bài 3: Cho phương trình: x2−6 x−m2+3 m−5=0 (m là tham số)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m

b) Tìm m sao cho: x12

+ x22=7(x1+ x2)

Bài 4: Cho đường tròn ( O1) và ( O2) cắt nhau tại A, B Vẽ tiếp tuyến chung với 2 đường tròn ( O1) và( O2) (E ∈(O1) và F ∈(O2) ¿ (EF thuộc nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B) Qua A kẻ cát tuyếnsong song với EF cắt ( O1) ,(O2) lần lượt tại C và D Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I.Chứng minh:

a) EF là tia phân giác của góc IEA

b) IA ⊥ CD

c) IEBF là tứ giác nội tiếp

d) Đường thẳng AB đi qua trung điểm EF

Bài 5: Biết rằng a, b là các số thỏa mãn a>b>0 và ab=1 Chứng minh:

Bài 1: Cho biểu thức:

Bài 2: Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h Sau khi đi được một nửa quãng

đường thì xe bị hỏng nên người đó nghỉ 20 phút Rồi đi ô tô với vận tốc 36 km/h, do đó đến B sớm hơn

dự định 1 giờ 20 phút Tính quãng đường AB

Bài 3: Cho (P):

2

xy2





và (D): y=2 x

.a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P) bằng phép toán

c) Viết phương trình đường thẳng (D’) biết (D’)//(D) và (D’) tiếp xúc (P)

Bài 4: Cho đường tròn ( O ; R) đường kính AB và điểm M chuyển động trên đường tròn (O) Vẽ đườngtròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M, tiếp xúc với AB tại N Đường tròn (I) cắt MA, MB tại C, D.Chứng minh:

a) CD // AB

b) MN là tia phân giác của góc ^ AMB

c) MN luôn đi qua một điểm cố định K

Bài 1: Cho biểu thức:



c) Tìm các giá trị của a để A<1

Bài 2: Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng song 28 km hết một thời gian bằng thời

gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốccủa nước chảy trong hồ là 3 km/h

Bài 3: Cho (P):

2

xy2

b) Tìm điều kiện m để (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

c) Cho m=1 Tính diện tích tam giác AOB

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x 3y 4z   biết rằng x, y, z thỏa mãn hệ:

2x y 3z 6

(x, y, z 0)3x 4y 3z 4

Bài 5: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cắt tuyến

AMN với (O) (AM<AN) Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với(O) Chứng minh:

a) Bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn

b) ^ AOC=^ BIC

c) BI // MN

d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích ∆ AIN lớn nhất

Bài 1: Cho biểu thức:

b) Tìm các giá trị của a sao cho B<1

c) Tính giá trị của B biết a 19 8 3 

Bài 2: Một đám đất hình chữ nhật có chu vi là 124 m Nếu tăng chiều dài 5 m và tăng chiều rộng 3 m thì

diện tích sẽ tăng 225 m2 Tính chiều dài và chiều rộng của đám đất

Bài 3: Cho phương trình x2−10 x+ 3 m+4=0 (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

b) Tìm điều kiện của m để x1 và x2 đều dương

c) Tìm m sao cho √ x1+ √ x2=3 √ 2

Bài 4: Cho (O; 5 cm) và một điểm A trên (O) Trên tia tiếp tuyến Ax lấy B sao cho AB=5 cm Đường tròn

tâm (B; BA) cắt (O) tại C

a) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của (O)

b) Tứ giác OABC là hình gì? Tại sao?

c) Tính diện tích hình giới hạn bởi cung lớn AC của hai đường tròn (O) và (B)

d) Từ B kẻ một cát tuyến bất kì cắt (O) tại E, F Tính: BE.BF

Bài 5: Cho hai số dương a và b thỏa mãn điều kiện a+b=1 Chứng minh rằng:

Bài 1: Cho biểu thức:

Bài 2: Một người đi xe máy dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian nhất định Người đó tính

rằng nếu đi với vận tốc 45 km/h thì sẽ tới B chậm mất nửa giờ nhưng đi với vận tốc 60 km/h thì sẽ tới Bsớm hơn 45 phút Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi

Bài 3: Cho (P):

2

xy4



và (D): y=−x−1

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ

b) Chứng tỏ (P) tiếp xúc (D), bằng phép toán tìm tọa độ tiếp điểm

Bài 4: Cho ba điểm A, B, C cố định (B nằm giữa A và C) Một đường tròn (O) thay đổi đi qua B và C Vẽ

đường kính MN ⊥ BC tại D (M nằm trên cung nhỏ BC) Tia AN cắt (O) tại một điểm thứ hai là F Haidây BC và MF cắt nhau tại E Chứng minh rằng:

a) Tứ giác DEFN nội tiếp

b) AD.AE=AF.AN

c) Đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5: Chứng minh rằng, nếu x, y là các số dương thì:

x y x y

Bài 1: Cho biểu thức:

Bài 2: Theo kế hoạch, 2 tổ sản xuất 600 sản phẩm trong 1 thời gian nhất định Do áp dụng khoa học kĩ

thuật mới nên tổ 1 vượt mức 18% và tổ 2 vượt mức 21% Vì vậy trong thời gian qui định họ đã hoànthành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao theo kế hoạch của mỗi tổ là bao nhiêu?

b) Gọi A, B là các giao điểm của (P) và (d) Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho S∆ CAB lớn nhất

Bài 4: Cho (O), dây AB Gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, vẽ đường kính CD cắt AB tại M Gọi E

là một điểm trên cung nhỏ AD (E ≠ A , D), CE cắt AB tại F

a) Chứng minh: Tứ giác MDEF nội tiếp

b) Chứng minh: A C2= CF CE

c) Chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF nằm trên AD

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 1: Cho biểu thức:

Bài 2: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 50 km, rồi ngược khúc sông ấy 32 km thì hết 4 giờ 30 phút.

Tính vận tốc dòng nước biết vận tốc của canô là 18 km/h

Bài 3: Cho phương trình x2−2 (m+4 ) x +m2−8=0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2

b) Tìm m để x1+ x2− 3 x1x2 có giá trị lớn nhất

Bài 4: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) M là điểm di động trên cung nhỏ BC Trên đoạn

thẳng MA lấy D sao cho MD=MC

a) Chứng minh: ∆ DMC đều

b) Chứng minh: MB+MC=MA

c) Chứng minh: Tứ giác ADOC nội tiếp

d) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường thẳng cố định nào?

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của

ym x 1 xm y 2 xy m 3M

xym



Bài 1: Cho biểu thức:

Bài 2: Hai người thợ quét vôi cùng làm chung thì sau 12 giờ xong công việc Sau khi làm chung 8 giờ thì

một người phải đi làm việc khác nên người còn lại phải làm nốt trong 5 giờ nữa mới xong Hỏi nếu làm 1mình thì mỗi người phải làm mấy giờ mới xong

Bài 3: Cho phương trình: ( m−1) x2+ 2(m+3) x+ m+5=0 (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1

x1 + ¿

1

x2 ¿ −1.

Bài 4: Cho (O; R) có AB là đường kính cố định, còn CD là đường kính thay đổi Gọi d là tiếp tuyến với

đường tròn (O) tại B Đường thẳng AD cắt d tại a, đường thẳng AC cắt d tại P

a) Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp được một đường tròn

b) Chứng minh: Trung tuyến AI của ∆ AQP vuông góc với DC

c) Tìm tập hợp tâm E của đường tròn ngoại tiếp ∆ CPD

Bài 5: Cho ∆ ABC: ^ A=90o có AB<AC, trung tuyến AM, ^ ACB=α , ^ AMB=β Chứng minh:

( sinαα+ cosα )2=1+sinαβ

Bài 1: Cho biểu thức:

b) Tìm đường thẳng y=ax+ b(a ≠ 0) đi qua A và tiếp xúc với parabol (P)

Bài 4: Cho 5 điểm cố định A, B, C, D, E thẳng hàng sao cho AB=BC=CD=DE=R Vẽ các đường tròn (C;

2R) và (B; R) Dây MN của (C) vuông góc với AE tại D AM cắt (B) tại K

a) Chứng minh: Tứ giác KMDC nội tiếp

b) Chứng minh: DK là tiếp tuyến của (B)

c) Các tam giác: DKM, AMN là tam giác gì?

d) Tính diện tích hình giới hạn bởi 3 đường tròn (C; 2R); (B; R) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMDC

Bài 5: Cho x>0, y>0 và x+y=1 Chứng minh:   xy

Bài 2: Một tập đoàn đánh cá dự định đánh mỗi tuần 20 tấn cá nhưng đã vượt 6 tấn mỗi tuần nên chẳng

những đã hoàn thành kế hoạch 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn cá Tính mức kế hoạch đã dựđịnh

Bài 3: Cho hệ phương trình:

ax-2y=a2x y a 1





a) Giải hệ phương trình khi a=−2

b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x-y=1

Bài 4: Cho (O), dây AB, 1 điểm C thuộc tia đối BA Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính

PQ của (O) cắt dây AB tại D Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai là I Các dây AB, QI cắt nhau tại K.a) Chứng minh: Tứ giác PDKI nội tiếp

b) Chứng minh: CI.CP=CK.CD

c) Chứng minh: IC là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh I của ∆ AIB

d) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh rằng: Khi (O) thay đổi nhưng đi qua A, B thì QI luôn đi qua mộtđiểm cố định

a) Cho a+b+c=1 Chứng minh rằng: a4b4c4 abc



c) Chứng minh

2C3



Bài 2: Hai ô tô khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau Sau 1 giờ 40 phút thì gặp

nhau Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biết rằng vận tốc canô khi đi xuôi lớn hơn vận tốc canô đi ngược

b) Chứng minh rằng với mọi m 1 hệ luôn có nghiệm duy nhất

c) Tìm giá trị của m để nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: x+y<0

Bài 4: Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và một đường thẳng d vuông góc với

AC tại A Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy 1 điểm M bất kì Tia CM cắt d tại D, tia AM cắtđường tròn tại điểm thứ hai là N, tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai là P

a) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp ABMD

c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?

d) Chứng minh: Trọng tâm G của ∆ MAC chạy trên 1 đường tròn cố định khi M di động

Bài 5: Giải phương trình:  x 5  x 2 1    x27x 10  3

Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 56 km Sau đó 1 giờ 30 phút có một xe máy đi từ A

đến B và đến sớm hơn xe đạp 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vậntốc xe đạp

Bài 3: Cho phương trình x2−2 (m−1) x −3+2 m=0 (m là tham số)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m sao cho x12

+ x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại A, B Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài

(O)) kẻ 2 tiếp tuyến CM, CN với (O) (M, N ∈ (O)) Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia

CN tại K

a) Chứng minh: C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh: KN.KC=KH.KO

c) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I Chứng minh: I cách đều CN, CM, MN

d) Một đường thẳng đi qua (O) và song song MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E, F Xác định vị trí C trên

d sao cho diện tích ∆ CEF nhỏ nhất

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:  x2 1

2

 

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 2: Một canô chạy trên sông trong 7 giờ xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km Một lần khác, canô

chạy trong 7 giờ xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km Tính vận tốc dòng nước và vận tốc riêng củacanô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của canô không đổi

b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc (P)

c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P)

Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R), (O’; R’) (R>R’) tiếp xúc ngoài tại A và 1 dây cung cố định của đường

tròn (O) Một cát tuyến di động luôn qua A cắt đường tròn (O) tại M và cắt đường tròn (O’) tại N Đườngthẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai P.a) Chứng minh: OM // O’N

b) Chứng minh: BM R

c) Tứ giác ABQP là hình gì? Vì sao?

d) Chứng minh: Trọng tâm G của ∆ MAB chạy trên một đường tròn cố định

Bài 5: Cho P (a b)(b c)(c a) abc     (a, b, c là các số nguyên)

Chứng minh rằng: a b c  chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4



Bài 2: Trong một buổi liên hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự Vì lớp học có 40 học sinh nên

phải kê thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi ghế phải ngồi thêm một người mới đủ chỗ ngồi Biết rằng mỗi dãyghế đều có người ngồi như nhau và không quá 5 người Hỏi lớp học ban đầu có bao nhiêu dãy ghế?

b) Chứng minh (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

Bài 4: Cho (O; R) cắt (O’; R’) tại A, B (tâm của đường tròn nằm ngoài đường tròn kia) Đường thẳng cắt

(O) tại C, cắt (O’) tại E Đường thẳng AO’ cắt (O’) tại F, cắt (O) tại D

a) Chứng minh: Tứ giác CDEF, ODEO’ nội tiếp

b) Chứng minh: A là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BDE

c) Chứng minh: Các đường thẳng CD, EF, AB đồng quy

3 1





c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A nếu a b 4

Bài 2: Cho phương trình x2−2 (m−1) x +2 m−5=0 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

Bài 3: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 6 giờ 40 phút Nếu

mỗi đội làm công việc đó 1 mình thì thời gian đội 1 làm xong công việc ít hơn so với đội 2 là 3 giờ Tínhthời gian mỗi đội làm một mình xong công việc nói trên

Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó lấy điểm M Trên đường kính AB lấy điểm C sao cho

AC<AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By tại A và B với (O) Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P,đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại Q Gọi D là giao điểm của CP và AM; E là giao điểm của

CQ và Bm Chứng minh:

a) Các tứ giác ACMP và CDME nội tiếp

Bài 2: Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ A đi về hai phía Sau 1 giờ hai xe cách nhau 75 km Tính vận

tốc mỗi xe biết nếu cùng đi một quãng đường dài 180 km thì xe thứ hai đi ít hơn xe thứ nhất là 2 giờ

Bài 3: Cho phương trình ( m−4) x2−2(m−2) x +m−1=0 (m là tham số)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệmdương

Bài 4: Cho đường tròn (O; r) có đường kính AB và dây CD vuông góc với AB (AC<AB) Hai tia BC và DA

cắt nhau tại E Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ E tới đường thẳng AB

a) Chứng minh rằng: Tứ giác AHEC nội tiếp trong một đường tròn Tìm tâm và bán kính của đường trònđó

b) Gọi F là giao điểm của 2 tia EH và CA Chứng minh: HC=HF

c) Chứng minh: HC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 5: Tìm cặp số tự nhiên m, n thỏa mãn hệ thức: m2n2 m n 8 

Bài 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, còn 60 km

nữa thì được nửa quãng đường AB Người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại

Do đó, ô tô đến sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính quãng đường AB

Bài 3: Cho: 2 x2+( 2 m−1) x+ m−1=0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm

c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Bài 4: Cho (O; R) và dây cung AB (AB<2R) Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC lớn hơn AB Từ C kẻ hai

tiếp tuyến với đường tròn tại P và K Gọi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh: Tứ giác CPIK nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh: CP2=CA.CB