PP Chứng minh BDT

CMR: Phương pháp 6: Phương pháp làm trội... Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.- Phương pháp chung để tính tổng hữ

Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa

- Lập hiệu A-B

- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B 0

- Kết luận A B

- Xét trường hợp A=B khi nào

VD: CMR:

với mọi a, b cùng dấu

CM: Ta có:

a, b cùng dấu => ab>o =>

Vậy

Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b /

Bài tập tương tự : CMR:

với ab>1

Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp

- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:

=>

Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0

VD: CMR:

với mọi x

CM:

Ta có:

=>

Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2

Bài tập tương tự:CMR:

Phương pháp 3: Phương pháp so sánh

- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả Suy ra đpcm.

Nếu

VD: CMR:

CM:

=>

Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số

Cho 3 số dương a,b,c :

Nếu thì

Nếu b,d>o thì từ

VD: a,b,c là 3 số dương CMR:

CM:

cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:

(đpcm)

Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:

CMR:

Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương

Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng Chú ý các BĐT sau:

- Bình phương của tổng, hiệu

- Lập phương của tổng, hiệu

-VD: Cho a,b là các số thực CMR:

CM:

Ta có:

<=>

<=>

<=> (luôn đúng)

=>đpcm

Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực CMR:

Phương pháp 6: Phương pháp làm trội

Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.

- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:

là biểu diễn số hạng tổng quát về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau :

Lúc đó :

liên tiếp nhau

Lúc đó

VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:

a,

(k>1) b,

CM:

a

Với k>1 ta có

Lần lượt thay k=2,3, ,n rồi cộng lại có:

=> đpcm b

Với mọi k>1 ta có:

Vậy :

Lần lượt thay k=2,3, ,n vào rồi cộng lại ta được:

Bài tập tương tự

CMBĐT: :

Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác

Sử dụng điều kiện của biến

VD:

CM: Điều kiện:

Đặt

Khi đó:

với

Bài tập tương tự:

CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:

Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác

Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c

|a-c|<b<a+c

|a-b|<c<a+b

VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:

CM:

a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :

Cộng vế với vế của BĐT trên ta được

(đpcm)

Bài tập tương tự:

Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác CMR:

với a<b<c

Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp

Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau : + Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất) + Giả sử BĐT T(k) đúng

+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng

Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n

VD: CMR với n>2 ta có :

CM:

Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:

Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM:

Thật vậy, ta có:

Vậy BĐT đúng với mọi n

Bài tập tương tự:

Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi

Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :

Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2

với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi

VD:

CM:

Ta có:

Vì

và

Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)= nên f(x) là hàm lõm trên và ta có BĐT 1

Bài tập tương tự:

Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR:

Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm

Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.

Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )

Biện luận phương trình ( * ) theo y, =>

=>đpcm

CM:

+, Với y=1=>x=0

+>Với y khác 1, ta có

(đpcm)

Bài tập tương tự:

Phương pháp 13: Dùng đạo hàm

Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số

Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)

+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b] Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a)

+ Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b] Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)

VD: CMR : với mọi x khác 0

* Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>

* Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0 Dó đó f(x)>f(0)=0 =>

Kĩ thuật Cô-si ngược dấu:

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét BĐT Cô-si và một kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ của BĐT Cô-si Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau:

VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3 CM BĐT:

LG:

Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT sẽ đổi chiều

Tuy nhiên, rất may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác:

Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số ở dưới mẫunhưng lại có được một BĐT thuận chiều Nếu không biết cách sử dụng phương pháp " Ngược Cô-si" thì BĐT trên sẽ rất khó và dài!

Từ BĐT trên, xây dựng 2 BĐT tương tự với b,c rồi cộng cả 3 BĐT lại suy ra :

VD2: CMR: với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:

LG:

Áp dụng BĐT Cô-Si:

xây dựng 3 BĐT tương tự với b,c,d rồi cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh Đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d

Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau:

1 Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a+b+c=0 CMR:

2 CMR: với mọi a,b,c,d dương có tổng bằng 4 thì