Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thịC của hàm số.. Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến C và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.. Kiểm chứng A,
Trang 1THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 CÂU I:( 2 điểm)
Cho hàm sốy x2 3x 2
x
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) của hàm số
2 Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
CÂU II: ( 2 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm A(1,1,3), B(-1,3,2) và C(-1,2,3)
1 Kiểm chứng A, B ,C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 3 điểm này Tínhkhoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P)
2 Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC
CÂU III : (2 điểm)
1.Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm
2
3
2.Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt :
2
3
2
log ( 1) log ( 1) log 4
log ( 2 5) logx x 2 5
CÂU IV : (2 điểm)
Cho hai hàm số:
f(x) = (2sinx+cosx)(2cosx-sinx)
và ( ) 2cos sin 2sin cos
2sin cos 2 cos sin
g x
1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
2.Xác định mọi giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm (m-3) g(x) =3 [f(x)
- m]
CÂU V : ( 2 điểm)
1.Cho hai hàm số f(x)= ax+b ,với a2 +b2 >0 Chứng minh rằng:
2.Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau
ĐAP AN
CÂU I:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
3 2
x
• TXĐ: D = R\ {0}
Trang 2• y' x2 2 2
x
−
=
2 ' 0
2
x
y
x
= −
=
• TCĐ: x = 0 vì limx y→0= ∞
• TCX: y = x – 3 vì lim2 0
x x
→∞
=
• BBT:
• Đồ thị:
Cho y = 0 ⇔ x2 – 3x +2 = 0
1
2
x x
=
⇔ =
2) Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1
Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k:
y= k(x - 1) + b
(d) tiếp xúc với (C)
2
2 2
3 2
2
k(x - 2) + b (1)
k (2)
x x x
có nghiệm
Trang 3Thay (2) vào (1):x2 3 2 (x2 2)(2 x 1) b
⇔ (b + 2)x2 – 4x + 2 = 0 (3) Từ M kẻ 2 tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với nhau
⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ≠ 0 sao cho k1, k2 = -1
' 0
1
b
k k
− + >
∆ >
= −
= −
1 2
1 2
2 x
với
4
2
x
b
>
+
2
0 0
b b
<
CÂU II:
A(1, 2, 3), B(-1, 3, 2), C(-1, 2, 3)
1) Ta có:
( 2,2, 1)
, ( 2,1,0)
AB
AB BC AC
uuur
uuur uuur uuur khác phương
⇒A, B, C thẳng hàng.
• Mặt phẳng (P) chứa A, B, C ⇒n P = AB AC,
uur uuur uuur
⇒ Phương trình (P): x + xy + 2z – 9 = 0.
9
2) Diện tích tam giác ABC= 1 , 3
2 AB ACuuur uuur = 2 (đvtt)
Thể tích OABC= 1 ( ,( ))
3S ABC d O ABC
= 1 3 .3 3
3 2 = 2 (đvtt).
CÂU III:
1) Tìm a để hệ có đúng 1 nghiệm:
2
3
Điều kiện cần:
Nhận xét: Nếu ( , )x y0 0 là nghiệm của hệ thì (−x0,−y0) cũng là nghiệm của hệ.
Do đó: Hệ có nghiệm duy nhất:
Trang 40 0 0
0 0
Thế 0
0
0 0
x
y
=
=
vào hệ ta được a= 3.
Điều kiện đủ:
Với a= 3: Hệ trở thành:
2
3 3 (1)
Ta có: (1) ⇔ x2 + −3 3+ =y 0 (*)
Vì: x2 + ≥3 0 và y ≥0
Nếu: (*)
0
x y
⇔
=
0 0
x y
=
Dễ thấy (0, 0) thoả (2)
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất
2) Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt:
2
3
2
log ( 1) log ( 1) log 4 (1)
Ta có:
• (1) ⇔2log (3 x+ −1) 2log(x− >1) 2log 23
log (x 1) log (x 1)
x
+ > −
⇔ 1 < x < 3
• Đặt t=log (2 x2−2x+5) thì (2) trở thành:
2 5
m t t
⇔t2 – 5t = m
Ta có: ' 2 2 2 0, x (1,3)
x t
−
2 2
⇒ = − + = đồng biến trên (1, 3)
Lại do: t = f(x) đồng biến trên (1, 3) nên mỗi t ∈ (2, 3) tương ứng có duy nhất một x ∈ (1, 3).
Vậy hệ có 2 nghiệm phân biệt
2
5
t
< <
có 2 nghiệm phân biệt.
Xem hàn số: y = t2 – 5t trên (2, 3)
Bảng biến thiên:
Trang 5Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp số 25 6
− < < −
CÂU IV:
Cho: f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx –sinx) và
( )
g x
1) Tìm già trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x)
Ta có: y = f(x) = 3sinxcosx + 2(cos2x – sin2x)
3 s 2 cos2 (*) 2
(*) có nghiệm
2
⇔ − ≤ ≤
Suy ra: Miny = 5
2
− và Maxy = 5
2
2) Tìm m để (m - 3)g(x) = 3 ( )[ f x −m] có nghiệm
Ta có: g(x) =
=
Đặt t = f(x) 5 5
⇒ − ≤ ≤
Khi đó phương trình trở thành: (m 3).3 3(t m)
t
⇔m – 3 = t(t - m) (điều kiện t≠ 0)
⇔t2 + 3 = m(t + 1)
2 3 1
t
+
+ (*) (vì t = -1 không là nghiệm)
Xem hàm số
2 3 1
t y t
+
= +
Ta có:
2 2
2 3 ( 1)
y t
+ −
= +
y’= 0 ⇔ = ∨ = −t 1 t 3
Trang 6Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:
Phương trình có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm 5 5,
2 2
37 6
m
−
≤
⇔
≥ ∧ ≠
CÂU V:
1) Cho f(x) = ax + b với a2 + b2 > 0 Chứng minh:
Đặt 2
0 I= f(x)sinxdx
π
∫ và 2
0 J= f(x)sinxdx
π
∫
Đặt u = f(x)= ax + b ⇒du = adx
dv = sinxdx, chọn v = -cosx
dw = coxdx, chọn w = sinx Suy ra:
0 0
π π
+ ∫
0
b + (asinx) π = +a b
0 0
π π
+ ∫
0
= + b + (acosx)
π
Ta có: I2 + J2 ≥0
Già sử I2 + J2 = 0 I =0
J = 0
⇔
Trang 7
0 0 2
a b
aπ b a
+ =
0
0
a b
=
(Trái với giả thuyết a
2 + b2 > 0) Vậy: I2 + J2 ≥0 (đpcm)
2) Có 7 nam, 3 nữ Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc sao cho 7 nam đứng liền nhau
Ta xem 7 nam sinh được xếp như 1 vị trí và 3 nữ sinh là 3 vị trí
Số cách sắp xếp 4 vị trí trên là: 4!
Nhưng mỗi vị trí, ta có mỗi hoán vị 7 nam sinh cho nhau ta được một cách xếp
Vậy số cách xếp theo yêu cầu bài toán là:
4!.7! = 120960 (cách)
