Hàm số không có cực trị.. Giao của hai tiệm cận I ; là tâm đối xứng.
Trang 1ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 1 TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN NĂM 2009 Câu I 2 điểm
a)
Tập xác định: Hàm số 1
1
x y x
+
=
− có tập xác định D R\= { }1 .
Giới hạn:
1
0,25
Đạo hàm: ( )2
2
1
x
−
− Hàm số nghịch biến trên các khoảng
(−∞;1) và (1;+∞). Hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên:
x −∞ 1 +∞
y' − −
y 1 +∞
−∞ 1
0,25
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=1; tiệm cận ngang y=1. Giao của hai tiệm cận I ; là tâm đối xứng.( )1 1
0,25
b)
Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y x 11( )C'
x
+
=
−
Học sinh tự vẽ hình
0,5
Số nghiệm của 1
1
x
m x
+
=
− bằng số giao điểm của đồ thị
1 1
x y x
+
=
− và y m.=
0,25
Suy ra đáp số
1 1
m< − ;m> : phương trình có 2 nghiệm
1
m= − : phương trình có 1 nghiệm
1 m 1:
− < ≤ phương trình vô nghiệm
0,25
Câu II 2 điểm
a)
Ta có 4 4 1 2
2
sin x c+ x= − sin x và cos4x= −1 2sin22x. 0,25
Do đó ( )1 ⇔ −3sin22x+2sin x2 + =3 m
Đặt t sin x= 2 Ta có 0 2 [ ]0 [ ]0 1
2
x∈ ;π⇒ x∈ ;π ⇒ ∈t ;
Suy ra ( ) 2 [ ]
0,25
Ta có bảng biến thiên
( )
f t
10 3
0,25
Trang 2Từ đó phương trình đã cho có nghiệm trên 0 π 2 10
0,25
b)
Giải phương trình ( ) ( )8 ( ) ( )
2
2log x+ +4log x− =log x
Trường hợp 1: x>1
( )2 ⇔x2−2x= ⇔ =0 x 2
0,25
Trường hợp 1: 0< <x 1
( )2 ⇔x2+6x− = ⇔ =3 0 x 2 3 3−
Vậy tập nghiệm của (2) là T ={2 2 3 3; − }
0,25
Câu III
a)
0
1
x
cos x
→
=
−
Ta có
0
3 1 1 2 1 1
x
L lim
→
0,25
2
2
x
+ −
0,25
2
2
x
− +
0,25
b) Chứng minh rằng 0 2 4 100 50
C −C +C − + C = − .
Ta có
( )
0,5
Mặt khác
1+i = + + = ⇒ +1 2i i 2i 1 i = 2i = −2
Vậy C1000 −C1002 +C1004 − + C100100= −250.
0,5
Câu IV Cho a, b, c thoả a b c+ + =3. Tìm GTNN của
4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c
Đặt ur=(2 3 4a ; ; b c) (,vr= 2 3 4c ; ; a b),wuur=(2 3 4b ; ; c a)⇒M = + +ur vr wuur
w 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c
0,25
Theo cô – si có 22+ + ≥2b 2c 3 23 a b c+ + =6 Tương tự … 0,5 Vậy M ≥3 29. Dấu bằng xảy ra khi a b c= = =1. 0,25 Câu Va Học sinh tự vẽ hình
a) ( ) ( )C : I1 1 0 2; ,R1=3; C : I( )2 2(3 4;− ),R2 =3. 0,25
Gọi tiếp tuyến chung của ( ) ( )C , C là 1 2 ∆: Ax By C+ + =0(A2+B2 ≠0)
∆ là tiếp tuyến chung của ( ) ( )C , C1 2
0,25
Trang 3( )
Từ (1) và (2) suy ra A=2B hoặc 3 2
2
C= − +
Trường hợp 1: A=2B
Chọn B= ⇒ = ⇒ = − ±1 A 2 C 2 3 5⇒ ∆: x y2 + − ±2 3 5 0=
Trường hợp 2: 3 2
2
C= − +
Thay vào (1) được
3
0,5
b)
Gọi H là trung điểm của BC ( ( ) ) 3
2
a
d M ; BB' C AH
Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình)
Ta có B' C ⊥MI ; B' C⊥BC' ⇒B' C⊥MB.
0,5
Câu VIa
(Học sinh tự vẽ hình)
Gọi K là hình chiếu của A trên d ⇒K cố định;
Gọi ( )α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( )α
0,25
Trong tam giác vuông AHK ta có AH ≤AK
Vậy AH max = AK⇔( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.
0,25
Gọi ( )β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d ⇒( )β : x y2 + +2z− =15 0
(3 1 4)
K ; ;
⇒
0,25
( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK ⇒( )α : x−4y z+ − =3 0 0,25 Câu Vb
a)
Gọi ( )H : x22 y22 1
a −b =
(H) tiếp xúc với d : x y− − = ⇔2 0 a2− =b2 4 1( )
0,25
16 4
Từ (1) và (2) suy ra 2 8 2 4 ( ) 2 2 1
8 4
b)
(Học sinh tự vẽ hình)
Lấy B’ trên OB; C’ trên OC sao cho OA OB' OC'= = =4 0,25
Lấy M là trung điểm của B’C’ ⇒(OAM) (⊥ OB' C' )
Kẻ AH ⊥OM ⇒AH ⊥(OB' C')
0,25
·
OBC
Trang 4Vậy 1 10 2
3
OABC OBC
Câu VIb
Gọi M(1 2 3 3 2+ t; − t; t ,N) (5 6 4+ t'; t';− −5 5t')
( )
d M ; P = ⇔ t− = ⇔ =t ;t= .
0,25
Trường hợp 1: t= ⇒0 M ; ; ,MN(1 3 0) uuuur=(6t'+4 4; t'− − −3 5; t' 5)
uuuur uur uuuur uur
0,25
Trường hợp 2: t= ⇒1 M(3 0 2; ; ) (,N − −1 4 0; ; ) 0,25
