Tập xác định: D=R... Chú ý: HS có thể chứng minh MN thuộc mf α nào đó song song với DA'C'... 0,5 M 1350 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com F
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1, NĂM 2011
MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút
1 (1,0 điểm)
Khi m = 2 hàm số trở thành
3
1 4 5 3
4 3− 2+ +
a Tập xác định: D=R
b Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên: Ta có y'=4x2−10x+4
=
=
⇔
=
2
2 / 1 0
'
x
x
y ; y'<0⇔1/2<x<2 và
>
<
⇔
>
2
2 / 1 0
'
x
x y
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1/2) và (2;+∞), hàm nghịch biến trên
) 2
;
2
/
1
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1/2, y CĐ =5/4 và đạt cực tiểu tại x=2, y CT =−1
* Giới hạn: =+∞
+∞
−∞
0,5
* Bảng biến thiên
x −∞ 1/2 2 +∞
'
y + 0 − 0 +
y
+∞ 5/4
−1
∞
−
c Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung
tại A(0;1/3)
0,5
2 (1,0 điểm)
Ta có A(0;1/3) vày'=4x2−2(2m+1)x+m+2 Suy ra y'(0)=m+2
Tiếp tuyến của đồ thị tại A là
3
1 ) 2 ( :y = m+ x+
6 3
1 ( +
−
m
0,5
I
(2,0
điểm)
Khi đó diện tích của tam giác tạo bởi d với hai trục tọa độ là
2 18
1 6
3
1 3
1 2
1 2
1
+
= +
−
×
×
=
×
=
m m
OB OA S
1 2 3
1 2 18
1
m
13
−
=
6
11
−
=
0,5
1 (1,0 điểm)
II
(2,0
điểm)
Điều kiện: x3+3x≥0⇔x≥0
Khi đó phương trình đã cho trở thành x2+8x+3−6 x3+3x =0 (1)
O
1
−
2 1
y
2
4 5
x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only
Trang 2Nhận thấy x=0 không thỏa mãn nên (1) tương đương với +8+3 −6 +3 =0
x
x x
12 ,
3
≥
= + t t x
x ta được t2−6t+8=0⇔t=2 hoặc t=4 (tm đk)
0,5
+) Với t=2 ta có x=1,x=3
2 (1,0 điểm)
Điều kiện: sinx≠0,cosx≠1 hay x≠kπ
Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với
1 cos
sin 2 sin
3 cos cos
2 2
−
=
−
−
x
x x
x x
1 cos
sin 2 sin
) 1 )(cos 3 cos 2
(
−
= +
−
⇔
x
x x
x x
x x
x 3)sin2 2sin2
cos 2
⇔
0,5
2
1 cos 2 3 cos
x=± +
0(2 9) 3.2 2
2
dx I
x x
x
Đặt 3.2x −2=t Với x=0⇒t=1, với x=1⇒t=2
x
x
=
−2 2 3 2
2 ln 2 3
hay
2 ln 3
2 2
2 3
dx
x
x
=
2 2
2+
=t
0,5
III
(1,0
điểm)
Khi đó = ∫2 −
1 2
25 2
ln
2
t
dt
t t
+
−
−
2
1 5
1 2 ln 5
1
1
2
5 ln 5 ln 2 ln 5
14
9 ln 2 ln 5
1
+) Gọi I là trung điểm DC’ Vì NI // CC’
2
1
CC
NI = nên NI = MA’ và NI // MA’
Suy ra MN // A’I Do đó MN // (DA’C’)
Chú ý: HS có thể chứng minh MN thuộc
mf (α) nào đó song song với (DA'C')
+) Vì MN // AI, B’C // A’D
nên ∠(MN,B'C)=∠(A'I, A'D) (1)
0,5
IV
(1,0
điểm
Sử dụng giả thiết và định lí cosin cho các tam giác ta thu được A'D=a, DC'=A'C'=a 3 Suy ra
2
5 '
4
5 4
' 2
' ' '
'
2 2 2
2
I A a DC C
A D A I
Trong ∆A' DI ta có
5 2
3 '
' 2
' '
' cos
2 2 2
=
− +
=
∠
I A D A
DI I A D A I
10
5 3 5 2
3
| ' cos
| ) ' ,
0,5
V
(1,0
điểm
Áp dụng BĐT Côsi ta có
2 2
2 2
2 2
) 1 (
4
1 ) 1 ( 2
1 ) ( 2
1
+ +
3
3
3 )
1 )(
1 )(
1
+ + +
≤ + +
A
B
I
M
'
'
C
'
D
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only
Trang 3Suy ra 3
) 3 (
54 1
2
+ + +
− + + +
≤
c b a c
b a
Đặt t=a+b+c+1,t>1 Khi đó ta có 3
) 2 (
54 2
+
−
≤
t t
0,5
) 2 (
54 2 ) (
+
−
=
t t t
f trên (1;+∞) Ta có
4 1 0 ) ( '
; 4
1 )
2 ( 9 0 ) 2 (
3 54 2 ) (
=
=
⇔ +
=
⇔
= + +
−
t
t t
t t
t t
Suy ra BBT
t 1 4 +∞ )
(
' t
f + 0 −
)
(t
f
4 1
Dựa vào BBT suy ra
4
1
≤
P Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t=4⇔a=b=c=1
Vậy giá trị lớn nhất của P là
4
1 , đạt được khi a=b=c=1
0,5
1 (1,0 điểm)
) 4
; ( ),
5 3
;
d
Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA = 3MB
−
=
=
⇒
) 2 ( 3
2
) 1 ( 3
2
MB MA
MB MA
Ta có MA=(x1−1;3x1−6),MB=(x2−1;3−x2)
0,5
*)
=
=
⇔
−
−
=
−
−
⇔
2 2
5 )
3
; 1 ( 3 ) 6 3
; 1 ( 2 )
1
(
2
1 2
2 1
1
x
x x
x x
x
Suy ra , (2;2)
2
5
; 2
5
B
Suy ra phương trình d:x− y=0
*)
=
=
⇔
−
−
−
=
−
−
⇔
1
1 )
3
; 1 ( 3 ) 6 3
; 1 ( 2 )
2
(
2
1 2
2 1
1
x
x x
x x
x
Suy ra A(1;−2),B(1;3) Suy ra phương trình d:x−1=0
0,5
2 (1,0 điểm)
Giả sử B(0;b;0),C(0;0;c) trong đó bc≠0 (vì nếu bc = 0 thì tam giác ABC suy biến)
2 : )
c
z b
y x
2
1 1 1
= +
c
384 4
4 6
4 ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2
1 ] , [ 2
= + +
⇔
= +
+
=
0,5
VIa
(2,0
điểm)
Đặt b+c=u,bc=v Khi đó từ (1), (2) ta có
=
− +
=
384 ) 2 ( 4
2
2 2
v u v
u v
−
=
−
=
=
=
⇔
12 ,
6
16 , 8
v u
v u
Suy ra
−
−
=
−
=
+
−
=
−
=
=
=
21 3
21 3 4
c b
c b
c b
4 4 2 : ) (P1 x + y + z = hay 2x+ y+z−4=0,
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only
Trang 41 21 3 21 3 2
:
)
−
−
+ +
−
x
P hay 6x+(3+ 21)y+(3− 21)z−12=0,
1 21 3 21 3 2
:
)
+
−
+
−
−
x
0,5
Giả sử số thỏa mãn bài toán là abcd Theo bài ra ta có a∈{2,3,4,5, 6, 7}; d∈{0,2,4,6} Xét hai trường hợp:
TH 1: d=0 Khi đó a có 6 cách chọn, b có 6 cách chọn, c có 5 cách chọn
Suy ra có: 6×6×5=180(số)
0,5
VIIa
(1,0
điểm)
TH 2: d∈{2,4,6} Khi đó d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 6 cách chọn, c có 5
cách chọn
Suy ra có: 3×5×6×5=450(số)
Vậy số các số thỏa mãn là 180 + 450 = 630
0,5
1 (1,0 điểm)
Giả sử M(x; y) Kẻ MH ⊥ AB
Từ giả thiết suy ra
2
10
=
MH và ∆MAH vuông cân
Suy ra AM =MH 2= 5
Yêu cầu bài toán
=
=
⇔
5
135 ) ,
AM
AM AB
=
− +
−
−
=
=
− +
−
− +
−
⇔
5 ) 2 ( ) 1 (
2
1 135
cos )
2 ( ) 1 ( 10
) 2 ( 1 ) 1 ( 3
2 2
0 2
2
y x
y x
y x
0,5
−
⇒
=
−
=
−
=
−
=
⇔
= +
−
= +
) 3
; 1 (
) 0
; 0 ( 1
, 2
2 , 1 5
5 3
2
M v
u
v u
v u
v u
0,5
2 (1,0 điểm)
Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0) Vì V OABC >0 nên ab≠0
2 :
) ( + + z =
b
y a
x
α Vì K∈(α) nên 6−3=1
b
OABC là tứ diện vuông tại O nên | |.| |.2 3
6
1 6
1
=
=
= OA OB OC a b
V OABC
−
=
=
⇔
=
⇔
) 3 ( 9
) 2 ( 9
9
|
|
ab
ab ab
0,5
VIb
(2,0
điểm)
= +
− +
=
− + +
⇒
−
=
−
=
=
=
⇔
0 6 3 4 : ) (
0 6 3 2 2 : ) ( 2
3 ,
6
3 , 3
z y x
z y x b
a
b a
α α
*) Hệ (1) và (3) vô nghiệm
Chú ý: Nếu HS chỉ xét 1 trường hợp thì trừ 0,25 điểm
0,5
Điều kiện: x≠0, y>0
−
=
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
−
y x
y x y x y x
y
x log 0 log | | log | | log
2
1
3 3
3 2 3
* Với x= y, thay vào phương trình thứ nhất ta được 32+x+3x =10⇔x=0 (ktm)
0,5
VIIb
(1,0
điểm)
* Với x=−y, thay vào phương trình thứ nhất ta được 9.3x +3−x =10
−
=
=
⇔
=
=
⇔
= +
−
⇔
2
) ktm ( 0 9
1 3
1 3 0 1 3 10 3
9 2
x
x
x
x x
x
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x=−2, y=2
0,5
M
1350
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only