Bất đẳng thức Svacxơ - Vận dụng trong hình học

Bất đẳng thức Svacxơ Vận dụng thiết lập khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng I...  Vận dụng phương pháp quy nạp toán học..  Vận dụng phương pháp tích vô hướng hai vectơ trong h

Bất đẳng thức Svacxơ

(Vận dụng thiết lập khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng)

I Bất đẳng thức Svacxơ :

1 Cho hai số hạng bất kỳ : (a.x) và (b.y) , với a,b,x,y ∈ R

Dấu “=” xảy ra khi: a y b x. = . ( một cách dễ nhớ ta viết:

x = y

)

 Hướng chứng minh 1: vận dụng phương pháp đánh giá tương đương

( ) *

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 0

0

ay bx

⇔ − ≥ ( luôn đúng ∀a b x y R, , , ∈ ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a y b x. = .

 Hướng chứng minh 2: vận dụng tích vô hướng hai vectơ

Xét hai vectơ: ur =( )a b; và vr=( )x y; ; với

( )

u vr r= u vr r u vr r ⇔ u vr r = u vr r cos ,( )u vr r

⇔ r r ≤ r r (vì cos ,( )u vr r ≤ 1

)

( ) ( )

Dấu “=” xảy ra khi : cos ,( )u vr r = 1

( )u v, kπ

⇒ r r =

, k Z∈

cùng phương vr

a b

a y b x

a y b x

 Hướng chứng minh 3: vận dụng tam thức bậc hai

Xét tam thức bậc hai sau:

f t( ) =(a2 +b t2) 2 − 2.ax by t+ +(x2 +y2)

( ) 0

f t

• Nếu: a2+ = ⇔ = =b2 0 a b 0 ⇒

f t =x +y ≥ , (đúng ∀x y R, ∈ )

• Nếu: a2+ >b2 0 ( nghĩa là a,b không đồng thời bằng 0), lúc này f t( ) trở thành tam thức bậc hai thật sự nên tồn tại biệt số Δ

( 2 2) ( 2 2)

Dấu “=” xảy ra khi : ∆ = 0

 Hướng chứng minh khác: ………

2 Mở rộng nhiều số hạng: ( còn gọi là BĐT Bunhiacopski – BĐT Cauchy )

,

k k

∀ ∈ với k = 1;n , ta luôn có:

1 1 2 2 n. n 1 2 n 1 2 n

a x +a x + +a x ≤ a + + +a a x + + +x x

k k k k

≤  ÷   ÷

Dấu “=” xảy ra khi :

1 2

1 2

n n

a

Chứng minh:

 Vận dụng tam thức bậc hai

 Vận dụng phương pháp quy nạp toán học

 Vận dụng phương pháp tích vô hướng hai vectơ trong hệ tọa độ không gian n chiều

 Vận dụng phương pháp khác:………

II Vận dụng BĐT Svacxơ thiết lập khoảng cách từ một điểm M o (x o ;y o ) đến một đường thẳng (D): Ax + By +C = 0

Mo(xo;yo)

Ta có:

M M = x x− + −y y

(D):Ax+By+C=0

( )

0

Ax +By + =C Ax +By + − =C Ax +By + −C Ax By C+ +

( 2 2) ( ) (2 )2

2 2

o o

+

2 2

o o o

M M

+ Dấu “=” xảy ra khi: M≡H , nghĩa là :

0

Ax By C







o o o

M M

=

2 2

o o

MH

=

+

o o

M D

d

=

+