Tài liệu chyên đề bất đẳng thức cosi

Lời nói đầu :Thực hiện nhiệm vụ năm học 2008 – 2009, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa có khuyến khích các giáo viên dạy môn chuyên làm chuyên đề để xây dựng tài nguyên của tổ chuy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

-Chuyên đề :

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH

ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

Giáo viên : Huỳnh Kim Linh

Năm học 2008 - 2009

Lời nói đầu :

Thực hiện nhiệm vụ năm học 2008 – 2009, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa có khuyến khích các giáo viên dạy môn chuyên làm chuyên đề để xây dựng tài nguyên của tổ chuyên môn

Chính vì vậy tôi đã thực hiện và làm chuyên đề về

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

Huỳnh Kim Linh



Trong các kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, có một hay hai câu khó để

phân loại thí sinh và thường có một câu về bất đẳng thức

1) Định lý ( Bất đẳng thức Cô si) :

Cho n số thực không âm : a ,a , ,a1 2 n

Ta có :

1 2 n

a a a

a a a n

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 an

2) Một số bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si :

2.1) Các Bất đẳng thức dạng phân thức

Với x, y > 0 Ta có :

 

1

x yx y

 2  

2

xy x y

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Chứng minh : (1) và 2  x y 2 4xy (đúng)

Với x, y, z > 0 Ta có :

 

3

x y z x y z 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

2.2) Các bất đẳng thức dạng đa thức :

 

x y z xy yz zx  4

 2 2 2  2  

3 x y z  x y z  5

x y z  2 3 xy yz zx     6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

3) MỘT SỐ BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC :

Bài toán 1 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005

x y z   .

2x y z x 2y z x y 2z        

Lời giải :

Cách 1 :

x y x y   với x, y > 0, ta được :

 

               

Tương tự

 

2

x y y z z x x y x z x y y z y z z x

2x y z x 2y z x y 2z

Từ (1) và (2) suy ra

8 8

2x y z x 2y z x y 2z

2x y z x 2y z x y 2z        

4

  

Cách 2 :

x y x y   với x, y > 0, và bất đẳng thức Côsi ta có :

2x y z   x y  x z 2 xy xz

Do đó :

Tương tự :

x 2y z 8 xy yz

x y 2z 8 xz yz

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được :

 

2x y z x 2y z x y 2z 4 xy yz zx

Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi

 

           

Từ (3) và (4) suy ra :

2x y z x 2y z x y 2z        

Cách 3 :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương

x x y z 1 1 1 1 16

x x y z

       

Suy ra

2x y z 16 x y z

    

Tương tự

x 2y z 16 x y z

    

x y 2z 16 x y z

    

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được :

2x y z x 2y z x y 2z        

Mở rộng bài toán 1 :

Cho n số thực dương cho trước :a , a , a1 2  nthỏa điều kiện :

a a a  Với n > 1 và k > 0 cho trước Chứng minh rằng :

                

m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m m

Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005

Chứng minh rằng : với mọi x  R, ta có :

Khi nào đẳng thức xảy ra

Lời giải :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi

x

x

x

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Đặt a = 3, b = 4, c = 5 ta đi đến bài toán tổng quát sau :

Mở rộng bài toán 2 :

Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý Chứng minh rằng : với mọi x  R, ta có :

Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005

Cho các số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1 Chứng minh rằng :

Lời giải :

Đặt

P

Áp dụng bất đẳng thức Côsi

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

3

1 x y 3 x y 3xy

1 y z 3 y z 3yz

1 z x 3 z x 3zx

Từ đó suy ra

 

Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi

 

2

xy  yz  zx  xyz 

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Mở rộng bài toán 3 :

Cho các số thực dương a , a , a1 2  n thỏa mãn : a a1 2an 1

Chứng minh rằng :

n n



Trong đó m 2  là số nguyên dương, p, q là các số thực tùy ý

Hướng dẫn :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n số

 p

1 a a  n a a a 

Bài toán 4 : DỰ BỊ 1 KHỐI A Năm 2005 :

Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0 Chứng minh rằng :

3 4  x  3 4  y  3 4  z  6

Lời giải :

Ta có:

4

3 4    1 1 1 4 4 4  3 4 x 2 44x 2 4 8 x Tương tự

Vậy

 

3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 0

Bài toán 5 : DỰ BỊ 2 KHỐI A Năm 2005 :

Chứng minh rằng : với mọi x, y > 0 ta có :  

2

9

1  1     1     256

y x

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải :

Ta có:

3 4 3

3 4

3 3

 

3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y = 9

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 3 và y = 9

Bài toán 6 : DỰ BỊ 1 KHỐI B Năm 2005 :

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = 3

4 Chứng minh rằng :

3a 3b 3b 3c 3c 3a 3 Khi nào đẳng thức xảy ra ?

Lời giải :

Cách 1:

Ta có :

3 3 3

a 3b 1 1 1

b 3c 1 1 1

c 3a 1 1 1

Suy ra

   

Dấu = xảy ra

3

a b c 4

4

a 3b b 3c c 3a 1



  





Cách 2:

Đặt

3 3

4

Bất đẳng thức cần chứng minh  x y z 3  

Ta có :

3

x 1 1 3 x 1.1 3x   

y 1 1 3 y 1.1 3y   

3

z 1 1 3 z 1.1 3z   

 9 3 x y z     (Vì x3y3z3  ).3 Vậy

x y z 3   Hay

3a 3b 3 b 3c 3c 3a 3  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   a b c 1

4

Bài toán 7 : DỰ BỊ 2 KHỐI B Năm 2005 :

Chứng minh rằng nếu 0   y x 1 thì

1 4

x y y x Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải :

Ta có

2

Theo bất đẳng thức Cauchy :

1

x y y x

4

Dấu = xảy ra



  





2 2

y

yx

4

Bài toán 8 : DỰ BỊ 1 KHỐI D Năm 2005 :

Cho x, y, z là ba số dương và x yz = 1 Chứng minh rằng :

1 1 1 2

y  z x 

  

Lời giải :

Ta có:

Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:

 

     

 

3.3 3 9 3 6 3

Vậy

1 y 1 z 1 x 2     

Bài toán 9 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006

Cho hai số thực x 0, y 0  thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x y xy  x2y2 xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 13 13

x y

Lời giải :

Từ giả thiết suy ra: 2 2

x yx y  xy

x  y  ta có: a b a  2b2 ab  1

Khi đó A a 3b3 a b a   2b2 ab a b  2

Từ (1) suy ra: a b a b 2 3ab

Vì

2

a b ab

2



4

a b2 4 a b  0 0 a b 4

Suy ra: Aa b 2 16

2

  thì A 16  Vậy giá trị lớn nhất của Alà 16

Bài toán 10 : Đề Dự bị 1 Đại học khối A năm 2006

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 x 3 y 3 z 1

Chứng minh rằng:

4

3 3  3 3  3 3 

 

Lời giải :

a b c      

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a bc b ca c ab 4

 

a abc b abc c abc 4

 

           

(1)

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

3

3

3

Cộng theo từng vế các bất đẳng thức (2), (3), (4) ta suy ra

           

 

Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh

Bài toán 11 : Đề Dự bị 1 Đại học khối B năm 2006

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2

Lời giải :

Áp dụng bất đẳng thức : a2b2 c2 d2ac bd 2

2 2

     

     

     

Khi x = 3 thì y =15

2 nên giá trị nhỏ nhất của y là 15

2

Bài toán 12 : Đề Dự bị 2 Đại học khối B năm 2006

Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x y 4. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2

3x 4 2 y

Lời giải :

Ta có A =

3x 4 2 y 3x 1 2

y

      

   

Với x = y = 2 thì A = 9

2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 9

2

Bài toán 13 : Đề Dự bị Đại học khối A năm 2007

Cho x, y, z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

P 4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2

Lời giải :

Với x, y > 0 ta chứng minh :

4(x3 + y3)  (x + y)3 () Dấu = xảy ra  x = y Thật vậy ()  4(x + y)(x2 – xy + y2)  (x + y)3

 4(x2 – xy + y2)  (x + y)2 do x, y > 0

 3(x2 + y2 – 2xy)  0  (x – y)2  0 (đúng) Tương tự ta có

4(y3 + z3)  (y + z)3 Dấu = xảy ra  y = z 4(z3 + x3)  (z + x)3 Dấu = xảy ra  z = x

Do đó

 3 3  3 3  3 3   3

3 4 x  y  3 4 y  z  3 4 z  x  2 x y z    6 xyz

Ta lại có

3 2 2

6 x

z z

y y

x

2 













Suy ra

12 xyz

1 xyz 6 P

3

















Dấu = xảy ra  







 z y x

1 xyz

 x = y = z = 1 Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1

Bài toán 14 : Đề Dự bị Đại học khối D năm 2007

Cho a, b > 0 thỏa mãn ab + a + b = 3. Chứng minh :

2

3 b a b a

ab 1 a

b 1 b















Lời giải :

Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3. Suy ra:

ab 3 (a b)   , (a+1)(b+1) = ab +a +b + 1 = 4

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

2 2 3 3a(a 1) 3b(b 1) 3

2 (a 1)(b 1) a b

    1

b a

3 b a 4

3 b a 4

3 2

3 b



















      4

b a

12 b a 3 b a 3 6 b a

4 2 2 2 2





















 

a b

Đặt x a b 0    x2 (a b) 24ab 4(3 x) 

 x24x 12 0   x6 hay x 2  x 2 ( vì x > 0)

x a b 2ab  a2b2 x2 2(3 x) x  22x 6

Khi đó bất đẳng thức (*) thành

x

 x3 x24x 12 0  , với x 2

x 2 x x 6 0

Vậy bất đẳng thức cho đã được chứng minh

4) Một số bài toán để các bạn tự làm :

Bài toán 15 : Cho x, y > 0 thỏa : x + y +z = 1 Chứng minh : xy16xyz

Bài toán 16 : Chứng minh rằng với a + b + c = 0 thì 8a 8b 8c 2a 2b 2c

Bài toán 17 : Cho a, b, c >0 : a + b + c = 1 Chứng minh

(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 – a)(1 – b)(1 – c)

Bài toán 18 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh :

b a

c a

c

b c

b

a b

a

c a c

b c b

a























1

1 1

1 1

1











a b c Chứng minh : 8

1



abc

Bài toán 20 : Chứng minh rằng : với a> b  0 thì

  1 3

4

2 







b b a a

2

1

c b a b a

c a c

b c b

a





















b c d

3

4

43 3 3 3

2 3

3 3

2 3

3 3

2 3

3 3

2























d d

b a

c d

c a

b d

c b a

Bài toán 23 : Cho các số thực dương a, b,c,d thỏa :a + b + c + d = 1 Chứng minh :

1 2

3 3 3

1 2

3 3 3

1 2

3 3 3

1

2 2

2

































a b c d d

b a c d

a c b d

b c

a

P

abc

c b a a

c c

b b







Bài toán 25 : Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh :

d c b a d c b

64 16

4 1 1

Bài toán 26 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh :

c b a c b a c b a c b

4 2

4 2

4 1

1 1























Bài toán 27 : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa tích xyz = 1 Chứng minh:

           

Bài toán 28 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh :

2 1 1

1 3

4 1 1 1





























a c c b b a ca

bc ab

Bài toán 29 : Cho a.b > 0 và ab 1 Chứng minh : 2 2 3 2 14





b a ab

Bài toán 30 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh :

          2

3 2

2

1 2

2

1 2

2

1

c b a a c a b c a c b b c b

Bài toán 31 : Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh

2

1 2

1 2

1

2 2









 bc b ca c ab a

Bài toán 32 : Cho x, y, z > 0 thỏa : x + y +z = 1 Chúng minh :

4

3 1 1

1    

z y

y x

x





















c b a c b a c b

Bài toán 34 : Cho a, b, c > 0 thỏa :ab + cb + ca = 1 Chứng minh :

a b c

c b

Bài toán 35 : Cho a,b,c > 0 thỏa a+b+c =1 Chứng minh :

3

100 1

1

















































c

c b

b a

a

Bài toán 36 : Chứng minh : với mọi x , y , z > 0 ta luôn có :

x y z

Bài toán 37 : Chứng minh : với a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 3 ta có :

3 2

Bài toán 38 : Cho a, b, c  0 Chứng minh :

Bài toán 39 : Cho a, b, c, d dương với a + b + c + d = 4 Hãy Chứng minh

c) 12 12 12 12 4

Bài toán 40 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Hãy chứng minh :