HS suy nghĩ và trình bày cách giải HS suy nghĩ và trình bày cách giải ĐS: Vậy hàm số đã cho không liên tục tại điểm x0 = 0.. HS suy nghĩ và trình bày lời giải... a/ Viết phơng trình tiếp
Trang 1TIET 1 GIỚI HẠN
Bài tập về giới hạn của dãy số :
* Bài 1 : Tìm các giới hạn sau:
1
) lim
( 1)
) lim
1
) lim
2
n
a
n
b C C const
c
n n d
n
=
−
−
* Bài 2 : Chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi
1
1
2
u
=
* Bài 3 : Tìm các giới hạn
n
n n
lim ,
sin lim
* Bài 4 : Tìm các giới hạn sau:
e
n
n n
d
n n
n n
c
n
n b
k N k n
− + +
−
+ +
+ +
−
− +
− +
≥
∈
2 2 lim
)
2 3
4 1 lim
)
9 7 3
3 2 4
lim
)
1 3
2 5
lim
)
) 2 , (
1 lim
)
2
2 2 2
*
* Bài 5 : Tính tổng
1 1 1
3 9 27
S = − + − +
* Bài 6 : Tìm các giới hạn sau:
2
3 3
) lim
3 2
a
n
−
+ −
ĐS: a) 1
n =
b) limC C=
c) lim( 1) 0
n
n
− =
d) lim1 1
2 2
n n
− = −
* chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên (u n < 4, ∀ n) bằng phương pháp quy nạp.
ĐS: limsin = limcos = 0
n
n n
n
HS suy nghĩ và giải
2 2 2
2
) lim lim lim lim 0
2 5
1
k a
b
n
n
c
d
n
+
−
HS suy nghĩ và giải ĐS:
1 4 1
3
− −
ĐS:
2
3 3
3 2
a
n
−
Trang 2TIET 5 GIỚI HẠN
Bài tập tổng hợp :
* Tìm các giới hạn sau:
2
2 2 3
2
2 2
3
1 lim
4 lim 3 5
5 lim
4
6 lim
4
1 2
7 lim
x a
x a
k
x a
x
x
x
x
x
C C const
x
x
x x x
→
→
→
→
→−
→
→
=
∈
−
−
− + −
−
* Tìm các giới hạn sau:
3 2 3
7 5 lim
3 2 3
7 5
lim
3 2 3
7 5 lim
3 21 13
7 6 2
lim
3 2 3
7 5
lim
2
2 3
2
3 2 3
2 2
2 4
2
2 3
2
2 3
+ +
+
−
+ +
+
−
+ +
+
−
+ +
+
−
+ +
+
−
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
* Tìm các giới hạn sau:
) 34 3
82
8
lim(
) 40 3
72
7
lim(
) 10 3
62
6
lim(
) 12 3
52
5
lim(
) 3 42
4
lim(
) 3 32
3
lim(
) 2 3 22
4
lim(
) 1 3 12
41
lim(
4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
10 3 11
3 3 4
2 3 3
4 3 2
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x x
x x
x
x x
x
x x x
HS suy nghĩ và tính các giới hạn
đã cho Đáp số:
2 2 2 3 2 2 2
3
1 lim
2 lim
3 lim
5 lim
6 lim
7 lim
2
x a
x a
k k
x a x x x x
x a
C C
x
x
x x x
→
→
→
→
→−
→
→
=
=
=
−
− + − =
−
HS suy nghĩ và tính các giới hạn
đã cho Đáp số:
0
9 1
∞
∞
∞
HS suy nghĩ và tính các giới hạn
đã cho Đáp số:
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
Trang 3Ti ết 7 Hàm số liên tục
Bài tập về hàm số liên tục :
* Bài 1 :
Cho hàm số
=
≠
−
−
=
2 2
2 2
4 )
(
2
x khi a
x khi x
x x f
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm
x0 = 2,
biết rằng a = const
* Bài 2 :
Cho hàm số
( )
0
f x
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 0
* Bài 3 :
Xét tính liên tục của hàm số:
( 2) sin ( )
3
x tgx x
f x
x
− +
=
+
* Bài 4 :
Xét tính liên tục của hàm số:
2
( )
ax khi x
f x
x x khi x
= − + <
• Xét tính liên tục của hàm số khi x < 1, x > 1
• Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1 (có
biện luận theo a)
* Bài 5 : Chứng minh rằng phương trình f(x) =
x4 -5x2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trên
khoảng (0; 1)
HS suy nghĩ và trình bày cách giải
HS suy nghĩ và trình bày cách giải
ĐS: Vậy hàm số đã cho không liên tục tại điểm
x0 = 0
HS suy nghĩ và trình bày lời giải
ĐS: hàm số liên tục trên tập xác định
2
D R= − π +kπ k Z∈
HS suy nghĩ và giải theo sự hướng dẫn của GV
+ Khi x < 1 thì f(x) = ax + 2
là hàm số liên tục
+ Khi x > 1 thì f(x) = x2- x +1 là hàm số liên tục
+ Tại x =1 ta có f(1) = a + 2
1 1
lim ( ) 1
x x
f x a
f x
+
−
→
→
= +
=
- Nếu a = -1 thì hàm số liên tục tại x = 1
- Nếu a ≠ -1 thì hàm số gián đoạn tại x = 1
Kết luận:
Trang 4TIET 2 Giới hạn của hàm số
Ví dụ 1.Tìm giới hạn sau:
( ) ( )
2
4
x
Ví dụ 2 Tìm giới hạn sau:
2
3
1 3.3 1 5
lim
x
x
x
→
Ví dụ 3 Tìm giới hạn sau:
2
x x
Luyện tập: Tìm giới hạn sau:
9 4
3 2
lim
36
6 lim
5
25 lim
2
4 lim
9
3 lim
2 2 3
2 6
2 5
2
2
2 3
− +
−
−+
−
−
−
− +
−
→
→
−
→
→
−
→
x x x x x x x x x x
x x x x x
Trang 5
13 15
2
1 lim
24 14
12 lim
21 10
3 lim
6 5
6 lim
2 3
2 lim
2 3
1 lim
2 1
2 12
2 3
2 6
2 2
2 1
+ +
+ + +
+ + +
+− + ++
−
− + + +
−
→
−
→
−
→
−
→
→
−
→
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x x x x x
TIET 3 Giới hạn của hàm số
VD: Tính giới hạn:
2
2
x
− = − ÷= −∞ = −∞
b)
5 6 3
5 2
2
+ +
+
+ +∞
→
x x
x
x
x
VD: Tính giới hạn:
a)
1
lim
x
x
x
−
→
− =− = +∞
− (vì x-1 < 0)
b)
1
lim
x
x
x
+
→
− (vì x-1 > 0)
c)
4
1 )
2 (
−
+
−
→
x
x x
x
Luyện tập: Tìm giới hạn sau:
Trang 6(3 2)(3 2)
2 lim
25 2
3
2 lim
2 3
7 2
lim
2 3
2
lim
2 3
121 2
lim
5
2 5
lim
1
4 3
lim
2 3
2
lim
3
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
5
1
3
2
− +
−− +
− + + +
− +
+ + +
−+
−
+
−
→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tiết 4 Giới hạn của hàm số
VD: Tính giới hạn:
1 2 2
1 lim
2 2 6
6 lim
2 2 6
4 2 lim
6
2 2 lim
6
1 3 3
1 lim
3 3 6
6 lim
3 3 6
9 3 lim
6
3 3 lim
6
6 6
6
6
6 6
6
= +
−
=
+
−
−
−
= +
−
−
−
−
=
−
−
−
= + +
=
+ +
−
−
= + +
−
− +
=
−
− +
→
→
→
→
→
→
→
→
x
x x
x x
x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
VD: Tính giới hạn:
Trang 7( )
( )
3
2
2
2 2
.1
3 5
2
2 5
.1
1
5
x x
x x
x
d
x
x
− + − = − + − ÷
= +∞ = +∞
− + − = − + − ÷
= −∞ − = +∞
= +∞ = +∞
+ +
+ + = = = −
Luyện tập: Tìm giới hạn sau:
1
5 3 2
lim
1
5 3 2
lim
4
5 5 3
lim
1
5 3 2
lim
2 2 2 2
+
− + +
− + +
+
− +
− +
−∞
→
−∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
TIET 6 hàm số liên tục
VD: Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
2
x
x− tại x0 = 3.
Ta có:
2
x
x
− Vậy hàm số liên tục tại x0 = 3.
VD:Cho hàm số
2
1
khi x
5 khi x = 1
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó
Trang 8
2
1
1
1
* 1: (1) 5
lim ( ) (1)
x
x
x x
x
x h
h x h
→
→
−
−
Vậy: hàm số gián đoạn tại x = 1
Luyện tập: Xét tính liên tục của hàm số sau:
1
4
1
2
2
3
3 5
3
1 2
6 sin 6
tan
2
3
1
2
2 2
−
−
=
+
−
+
=
+
− +
=
+
= −
−
=
x
x
y
x x
x
y
x
x x
y
x x
y
x
x
y
=
−
≠ +
−
+
=
=
≠ +
−
+
=
4 ,
2
4 ,
4
12 5
2
1 ,
15
1 ,
1
8 5 3
2
2
x
x x
x x
y
x
x x
x x
y
TIET 8 ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Bài 1
Xét tính liên tục trên R của hàm số:
x x
− −
= −
khi x > 2 5- x khi x 2
Giải
2
2
2 lim ( ) lim 5 3 lim ( )
x
− −
−
Hàm số g(x) liên tục tại x = 2 Hàm số g(x) liên tục trên R Bài 2
Trang 9Chứng minh pt x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trên khoảng (-2;5) Giải
f(-2).f(-1) = 4(-11) < 0
⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (-2;-1)
f(-1).f(1) = (-11).1 < 0
⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (-1;1)
f(1).f(2) = 1.(-8) < 0
⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (1;2)
Vậy : pt có ít nhất 3 nghiệm trên khoảng (-2;5)
Luyện tập: Xét tính liên tục của hàm số sau:
−
≤
−
−
≥ +
−
=
≤ +
≥
−
−
=
−
≤ +
−
−
≥ +
−
=
≤
≥
−
−
=
−
≤
−
−
−
≥ +
−
=
, 2 ,
10
9 ,
9 81
, 6 ,
12
6 ,
6 36
, 2 ,
15
5 ,
5 25
, 3 ,
5
3 ,
3
9
, 2 ,
14 5
2 ,
2
4
2
2
2
2
2
2
x x
x x
x
y
x x
x x
x
y
x x
x x
x
y
x
x x
x
y
x x
x x
x
y
TIET 9 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ : tính đạo hàm của các hàm số sau:
x
y= 1 tại x0 = 2
y = 2x2 + 3x -2 tại x0 = - 1
y = x−3 tại x0 = 4
Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
+) y = 4x+5
+) y = x2
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
2 +
y tại x =3
Trang 105 −
y tại x=7
11
13 +
y tại x =5
9
5 +
−
y tại x =-2
9
2 +
= x
y tại x =1
3 2
2 − +
y tại x = -1
4
2 2 + −
y tại x = 0
3
2 −
y tại x = 2
43
20 +
y tại x = -2
7
12 −
y tại x = 3
5
−
y tại x = 9
30
25 −
y tại x = -10
Tiết 10 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ : Viết pttt với đường cong y = x3 tại x = -1
Pttt : y- y0 = f’(x0)(x – x0)
f’(-1) = 3 ; y(-1) =-1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y + 1 = 3(x + 1)
Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
+) y = 4x2+5
+) y = x2+3x+2
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
2 +
Trang 115 −
y
11
13 +
9
5 +
−
9
2 +
= x
3 2
2 − +
4
2 2 + −
3
2 −
y
43
20 +
7
12 −
5
−
30
25 −
-Viết pttt với đường cong y = x2 tại x = -2
-Viết pttt với đường cong y = x2+2 tại x = 3
Tiết 11 QUI TẮC T NH Í ĐẠO HÀM
Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
y = x2 – x4 + x
y = x3( x- x5 )
Ví dụ : Tìm đạo hàm của :
a y = 7+x-x2 tại x0 = 1
b y = x2 - 2x + 1 tại x0 = 2
2 x 2
y = 5 − +
tại x0= 1
Ví dụ : Tìm đạo hàm của :
a y= x5 - 4x3 + 2x - 3
Trang 12b
4
2 0 , x x
x 3
1 4
1
y = − + −
x 4 3
x 2 2
x
y
2 3
4
− +
−
=
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
12 4
3 2
3 5
3
12
1 4
3 3
5
1 3
3
40
4 30
3 7
1
1
4
1 3
1 2
1
1
2 3 3
2
1
3 2
3
3 3 2
3 4
4 3
5
3
3 2
x x x
x
y
x x
x
y
x
x
x
y
x x
x
y
x x
x
y
x x x x x x
y
x
x x
x
y
x x
x
y
+ +
−
=
+ +
−
=
+ +
−
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
+
=
+
+
−
=
+ +
=
Tiết 12 QUI TẮC T NH Í ĐẠO HÀM
Bài 1 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a y= (x 2 +1)(5-3x 2 )
b
1 x
x 2
y 2
−
=
c y=(x+1)(x+2) (x+3)
Bài 2: Tìm đạo hàm của:
a y = (2x - 3) 5
b y = x − 2
c y = 2 + x 2
Trang 13Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
5 2
4 2
3 2
2 2
2
2 4
2
3
2 3
2 4
3 2
4
2
) 3 5 2
(
) 3 5 3
(
) 12 4
(
) 2
3 9 (
1
3 3
2
6 2
2 3
2
) 1 2
(
) 2 3
(
2
) 24 61
)(
15 3
2
(
) 2 )(
3 2
(
) 2 3 )(
3 2
(
+ +
=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
+
=
+ +
+
−
=
+
+
−
=
+
+
=
+
− +
=
+ +
+
=
+
− + +
=
x x
y
x x
y
x x
y
x x
y
x x
x x
x
y
x x
x x
y
x x
x
x
y
x x
x x
x
y
x x
x x
y
x x
x
y
.
Tiết 13 Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài 1 : Bài 10: Cho y=x 3 -3x 2 +2 Tìm x để:
a y’>0
b y’< 3.
Bài 2: Tìm đạo hàm của:
y = sin3x
y = sin 2 3x
y = sin 2 4x
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
Trang 14x y
x
y
x
y
x
y
x
y
x y
x
y
x
y
x
y
x y
x y
x y
x
y
6
tan
5
tan
9
cot
3
cot
3
cot
6
tan
5
tan
3
tan
3
tan
6
cos
5
cos
3
cos
3
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Tiết 14 Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài 12: Tìm đạo hàm :
y = 5sinx - 3cosx
x cos
x
sin
x cos
x
sin
y
−
+
=
y = sin(sinx)
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
Trang 15( )( )
1 2
tan
2 cos sin
cos 3
sin
2 cos 4 sin 3 cos 4 2
sin
2 cos 4 3
sin
3
+
=
− +
=
+
−
=
−
=
x
y
x x
x x
y
x x
x x
y
x x
y
) 7 sin(sin )
5 sin(sin
) 7 sin(sin )
5 (sin
sin
) 5 sin(sin )
3 sin(sin
cos sin
3 cos 2
sin cos sin
cos sin
cos sin
3 cos 2
sin cos
sin
cos sin
cos sin
3 cos 2
sin
cos sin
cos sin
x x
y
x x
y
x x
y
x x
x x
x x
x x
y
x x
x x
x x
x x
y
x x
x x
y
x x
x x
y
+
=
+
=
−
=
−
−
− +
−
=
−
− +
+
−
=
−
−
=
+
−
=
Tiết 15 Đạo hàm cấp hai và vi phân
Bài 28 : Tìm y’’,biết :
a)
m x
m x
y
−
+
=
b) y=mx3+2m2x2+4m4x+m2
Bài 29 :Tìm y” ,biết :
a y = ax3+bx3+c
Trang 16b y = ax4+bx2+c
c
d cx
b ax
y
+
+
=
Bài 30 :Tỡm vi phõn của mỗi hàm sau:
a y = tg2x b
x 1
x cos y
−
=
c y = x3-2x2+1 d y = sinx
Luyện tập: tớnh đạo hàm cấp hai của cỏc hàm số sau:
x
x y
x
x y
x
x y
x
x y
x
x y
x
x x
y
x
x x
y
x
x x
y
x
x x
y
cos 8
1
2 sin
5
2
cos 15
1
2 sin
5
3 cos
2
1
2 sin
4
cos
2 sin
3
cos
1
2 sin
2
cos 5
1
2 sin 4
2
cos 3
1
2 sin
2
3 cos
2
2 sin
2
cos
1
2 sin
2
−
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
+
=
+
+
=
−
−
=
+
+
=
+
=
Tiết 16 ễn t ập
1 Tính đạo hàm của hàm số sau:
2
2 5
3
/
1 sin
/
+
−
=
+ +
=
x x
y
b
x x
y
a
2 Cho hàm số y = x3 + 2 x − 3 có đồ thị (C)
a/ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x0=-1
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có tung độ yo= -2
Trang 173 Cho hµm sè : f ( x ) = 3 ( x + 1 ) cos x
a/ TÝnh f’(x), f’’(x)
b/ TÝnh f’’(π), f’’(π/2), f’’(1)
Giải
( 3 5 2 ) ( 6 5 )
2 /
1 2 1 cos
/
2 '
2 '
− +
−
=
+ +
+
=
x x
x y
b
x x
x y
a
2
a/ f(-1) = 4, f’(-1) = 1
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ: y= x+5
b/Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ : y = 4 x + 3 − 4 2
vµ y = 4 x + 3 + 4 2 3
a/ f’(x) = 3 cos x – 3(x+1) sin x;
f’’(x) = - 6 sin x – 3(x+1) cos x;
b/ f’’(π) = 3(π+1) , f’’(π/2)= - 6, f’’(1) = - 6(sin1+ cos 1)