tài liệu ontap đs 9 chương 2

Chơng IIHàm số bậc nhất một ẩn.. đợc gọi là hàm số bậc nhất một ẩn... Dạng 3: Một số dạng khác... Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng... a Xác định toạ độ các điểm A, B, C b Tính d

Chơng II

Hàm số bậc nhất một ẩn.

I Lý thuyết

1, Định nghĩa:

Hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trớc, a ≠ 0 đợc gọi là hàm số bậc nhất một ẩn

2, Tính chất:

- Hàm đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0

- a gọi là hệ số góc của hàm số

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

3, Đồ thị.

a, Hình dạng: Đồ thị là một đờng thẳng

b, Cách vẽ đồ thị:

B

ớc 1 : Chọn hai điểm thuộc đô thị.

Thông thờng chọn hai điểm đặc biệt: A( 0, b) và B( , 0 )

a

b

−

B

ớc 2: Vẽ hệ trục toạ độ và vẽ đờng thẳng đi qua hai

điểm đó

c, Tính chất đồ thị: Xét hai hàm số y = ax + b và y = a’x + b’

- Khi a = a’, b = b’ thì đồ thị hai hàm số trùng nhau

- Khi a = a’, b ≠ b’ thì đồ thị hai hàm số song song với nhau

- Khi a ≠ a’ thì đồ thị hai hàm số cắt nhau Nếu b = b’ thì cắt nhau tại điểm trên trục tung có tung độ bằng b

4, Cách xác định toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ax + b và y = a x +’

b (a ’ ≠ a )’

* Tìm hoành độ: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax + b = a’x + b’

⇔ (a - a’)x = b’ - b ⇔ x =

a a

b b

−

− '

'

= x0

* Tìm tung độ: Thay x = x0 vào một trong hai hàm số ta đợc y = y0

Vậy toạ độ giao điểm là A( x0; y0)

II- các dạng bài toán A- Đối với học sinh TB, yếu

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số, tìm giao điểm

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x - 2

Ví dụ 2: Vẽ hai đồ thị hàm số y = x – 1 và y =

2

1

x + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ và tìm giao điểm của chúng

O -2

x

y

2

2

y = x - 2

Giải:

Chọn x = 0 thì y = -2 Chọn y = 0 thì x = 2 Đồ thị hàm số y = x – 2 là một

đường thẳng đi qua hai điểm ( 0; - 2) và ( 2;

0)

O

y

- 4

2

1

.C

y = x - 1

y = 2 1

x +2

+) Gọi C là giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x – 1 và y =

2

1 x+ 2

Khi đó hoành độ điểm C là nghiệm của phơng trình

x – 1 =

2

1

x+ 2 ⇔ x –

2

1

x = 2 + 1 ⇔

2

1

x = 3 ⇔ x = 6 Thay x = 6 vào hàm số y = x – 1 ta đợc y = 5

Vậy toạ độ điểm C là ( 6; 5)

Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số

Ví Dụ 1: Xác định hệ số a của hàm số y = ax +3 biết đồ thị hàm số đi qua

điểm A(1; 1)

Giải:

Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 1) có nghĩa là: 1 = a.1 + 3 ⇔ a = - 2.Vậy a

= -2

Ví Dụ 2: Xác định các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi

qua điểm A(1;5) và song song với đờng thẳng y = 2x - 1

Giải:

Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = 2x – 1 nên a = 2 khi đó hàm số trở thành: y = 2x + b

Giải

+) Hàm số: y = x – 1:

Chọn x = 0 thì y = -1; Chọn y = 0 thì x = 1

Đồ thị hàm số y = x – 1 là một đường thẳng

đi qua hai điểm ( 0;- 1) và ( 1; 0)

+) Hàm số y = x+ 2

Chọn x = 0 thì y = 2; Chọn y = 0 thì x = - 4

Vậy đồ thị hàm số y = x+ 2 là một đường

thẳng đi qua hai điểm ( 0; 2) và (- 4; 0)

Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 5) có nghĩa là: 5 = 2.1 + b⇔ b= 3

Vậy a = 2, b = 3

Ví dụ 3 : Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;-1)

và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Giải

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2 khi đó hàm số trở thành: y = ax + 2

Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 5) có nghĩa là: -1 = a.2 + 2⇔ a = 2

3

−

Vậy hàm số là y =

2

3

− x + 2

Bài tập:

Bài 1.Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x + 2 b) y = 2x - 3

Bài 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y =

-3

1 2

3 +

x

a) Với trục tung

b) Với trục hoành

Bài 3: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 3x - 1 và y = 2x + 3 Bài 4: Xác định hệ số góc của hàm số y = ax + b biết dồ thị hàm số y = ax +

b song song với hàm số y = 2x – 1

Bài 5: Cho hàm số y = ax + 2, tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; 3) Bài 6: Cho hàm số y =

2

1

x + b, tìm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(4; 1)

Bài 8: Cho hàm số y = ax + b, tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( -2;

1) và song song với đờng thẳng y = - x +3

Bài 9: Cho hàm số y = ax + b, Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M( 1;

-3) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 2

Bài 10: Xác định hàm số bậc nhất biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại

điểm có tung độ bằng 2, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

-2

1

B- Đối với học sinh Khá, giỏi

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x - 2

Giải:

Ta có: y = x – 2 nếu x ≥ 0 ; y = -x – 2 nếu x < 0 từ đó ta có đồ thị hàm số

Ví dụ 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x− 1 + −x+ 2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x− 1 + −x+ 2

Giải:

a) Ta có y =











≥

<

≤

<

+

2 x nếu 3

-2x

2 x 1 nếu 1

1 x nếu 3 2x

- Từ đó ta có đồ thị

b) Từ đồ thi hàm số y = x− 1 + −x+ 2 ta thấy y ≥ 1

Vậy A = x− 1 + −x+ 2 ≥ 1 với mọi x

O

y

2

2 -2

O -1

x 1

3

2 y

1

⇒ Giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi 1 ≤ x ≤ 2

Dạng 2: Xác định hệ số của hàm số

Ví dụ 1 : Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua hai

điểm A(2;-1) và B(-2; 3)

Giải

Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; -1) có nghĩa là: -1 = a.2 + b ⇔ 2a + b = -1

Đồ thị hàm số đi qua điểm B( -2; 3) có nghĩa là: 3 = a.(-2) + b ⇔ -2a + b = 3

Từ đó ta có hệ:







= +

−

−

= +

3 2

1 2

b a

b a

⇔







−

=

= 1

1

a b

Vậy hàm số là y = - x + 1

Ví dụ 2 : Xác định hàm số y = ax +b biết đồ thị hàm số đi qua hai

điểm A(2;-1) và cắt đồ thị hàm số y = 2x - 1 tại điểm có tung độ bằng 5

Giải

Đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; -1) có nghĩa là: -1 = a.2 + b ⇔ 2a + b = -1

Đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số y = 2x -1 tại điểm có tung độ bằng 5 tức là đi qua điểm có tung độ bằng 5 trên đờng thẳng y = 2x – 1

Điểm đó có hoành độ là x = 3 Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm ( 3, 5), hay 5 = a.3 + b ⇔ 3a + b = 5

Từ đó ta có hệ:







= +

−

= + 5 3

1 2

b a

b a

⇔







−

=

= 13

6

b a

Vậy hàm số là y = 6x -13

* Lu ý: Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c có thể đa về dạng hàm số

bậc nhất y = ax + b bằng cách: ax + by = c ⇔ by = - ax +c ⇔ y =

b

c

x

b

a +

−

và có hệ số góc là

b

a

− , ax + by = c cũng đợc gọi là một đờng

thẳng.

Dạng 3: Một số dạng khác

Ví dụ 1 : Cho hai điểm A( x1 ; y1) và B(x2 ; y2), chứng minh rằng nếu đờng

thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A và B thì

1 2

1 1

2

1

x x

x x y y

y y

−

−

=

−

−

Giải:

Do đờng thẳng y = ax + b đi qua A( x1 ; y1) nên y1 = ax1+ b

Do đờng thẳng y = ax + b đi qua B(x2 ; y2) nên y2 = ax2+ b

Suy ra: y – y1 = a(x – x1)

y2 – y1 = a(x2 – x1)

Từ đó ta có

1 2

1 1

2

1

x x

x x y y

y y

−

−

=

−

−

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( x1 ; y1) và B(x2 ; y2), chứng minh rằng độ dài đoạn

thẳng AB đợc tính theo công thức

1 2

2 1

(x −x + y − y

Bài tập

Bài 1 Vẽ đồ thị các hàm số :

2

y=− x

b) y= 2x

Bài 2: Xác định hàm số bậc nhất biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm A(

)

1

;

3

1

;B(-2;3)

Bài 3: Tìm các hệ số a,b của hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua

điểm M( 1, 3) và cắt đờng thẳng y =

-3

1 2

3x+ tại điểm có tung độ bằng 1

Bài 4: Xác định hàm số f(x) biết rằng f(x -3) = 3x + 1

y1

yy2

A

B

C

Giải

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có AB2 = AC2 + BC2

Mặt khác AC = , BC =

Suy ra AB2 = (x2 - x1)2 + ( y2 – y1)2

Hay AB =

x

Bài 5: Cho bốn điểm A(0 ; -5); B(1 ; -1) ; C(2 ; 3); D( 2,5 ; 5) Chứng minh

bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng

Bài 6: Tìm x biết ba điểm A( x; -5), B(-5; 20); C (7; - 16) thẳng hàng

Bài 7: Chứng minh rằng nếu đờng thẳng không đi qua gốc toạ độ , cắt trục

tung tại điểm có tung độ bằng b, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a thì đờng thẳng có phơng trình: + = 1

b

y a x

Bài 8: Xác định hệ số nguyên a, b sao cho đồ thị hàm số y = ax + b đi qua

điểm A(4; 3) cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên dơng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên dơng

Bài 9: Tìm hệ số a > 0 sao cho các đờng thẳng y = ax – 1; y = 1, y = 5 và

trục tung tạo thành một hình thang có diện tích bằng 8

Để kiểm tra chơng II

Môn: đại số

Thời gian :90 phút Câu 1: Cho hàm số y = ax + b

a) Vẽ đồ thị hàm số khi a = 1, b = 2

b) Tìm a, b biết đồ thị hàm số đi qua A(1; 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

Câu 2: Xác định giao điểm của hai đờng thẳng y = 2x – 1 và y = - x + 1 Câu 3: Cho ba đờng thẳng d1: y = x – 2; d2 y = 2x + 1; d3: x + y = -2 Gọi

A là giao điểm của d1 và d2; B là giao điểm của d2 và d3; C là giao điểm của

d3 và d1

a) Xác định toạ độ các điểm A, B, C

b) Tính diện tích tam giác ABC