Xác Suất Thống Kê (phần 21) ppsx

Phân phối của các đặc trưng mẫuExample Gọi X là tuổi thọ tính theo tháng của một loại pin.. Các Xi có cùng phân phối không nhất thiết là phân phối chuẩn với kỳ vọng EX = µ và VarX = σ2..

Phân phối của các đặc trưng mẫu

Example

Gọi X là tuổi thọ (tính theo tháng) của một loại pin Giả sử là X ∼N (60, 36) Lấy ngẫu nhiên 25 pin Gọi ¯X là tuổi thọ trung bình của mẫu thử này

1) Tính P( ¯X 6 32)

2) Tìm c sao cho P( ¯X > c) = 95%

Kỳ vọng và phương sai của các đặc trưng mẫu

Nếu X1, X2, , Xn là n giá trị quan sát từ mẫu Các Xi có cùng phân phối (không nhất thiết là

phân phối chuẩn) với kỳ vọng E(X) = µ và

Var(X) = σ2 Ta có các kết quả sau:

I E( ¯X) = µ; Var( ¯X) = σn2

I E(S2) = σ2; Var(S2) = n1 µ4 − n−3n−1σ4

Ước lượng phân phối xác suất của trung bình mẫu

Từ định lý giới hạn trung tâm, ta có kết quả sau: với n đủ lớn, thì

¯

X = 1 n

n

X

i=1

Xi ∼ N (µ, σ2/n)

tức là

¯

X −µ σ/√n ∼ N (0, 1) Thông thường, với n > 30 có thể xem như là đủ lớn để xấp xỉ phân phối của trung bình mẫu bằng phân phối chuẩn

Ước lượng phân phối xác suất của trung bình mẫu

Example

Xét lại ví dụ công ty bảo hiểm có 25000 khách hàng Chọn ngẫu nhiên 100 khách hàng Gọi ¯X là trung bình lợi nhuận hằng năm của nhóm khách hàng này Tính P( ¯X > 400)

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Giả sử X ∼ B(n, p), với X là số lần biến cố A (thành công) xảy ra trong n phép thử Bernoulli độc lập, và xác suất để biến cố A xảy ra trong mỗi lần thử là p

Ta có thể biểu diễn X bởi:

X = X1 + X2 + + Xn

trong đó

Xi = ( 1 nếu lần thử thứ i là thành công

0 nếu lần thử thứ i là thất bại

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Ta có E(Xi) bằng p và Var(Xi) = p(1 − p) với mọi

i = 1, , n, vì các Xi có cùng phân phối

Bernoulli B(1, p)

Theo định lý giới hạn trung tâm, với n đủ lớn, thì

X = X1+ .+Xn ∼N (np, npq) với q = 1−p Điều này giải thích vì sao với n đủ lớn thì ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn Thông thường, với n thỏa mãn

np(1 − p) > 10 thì ta có thể dùng phân phối

chuẩn để xấp xỉ phân phối nhị thức

Xấp xỉ phân phối của tỷ lệ mẫu

Theo định nghĩa, tỷ lệ mẫu của biến cố A được định nghĩa là:

pn = X

n trong đó X là số lần biến cố A xảy ra trong n lần quan sát

Với n đủ lớn, vì X ∼ N (np, npq), nên

pn ∼ N (p,pq

n )

Xấp xỉ phân phối của tỷ lệ mẫu

Example

Tỷ lệ mắc bệnh Alzheimer ở phụ nữ Pháp trên 75 tuổi là 20,5%

1) Chọn ngẫu nhiên 200 phụ nữ Pháp trên 75 tuổi, tính xác suất trong số đó có từ 50 đến 60 người bị mắc bệnh Alzhermer

2) Cần chọn tối thiểu bao nhiêu người để xác suất có ít nhất một người trong số họ bị bệnh Alzhermer không nhỏ hơn 99%?

3) Chọn ngẫu nhiên 300 người, gọi pn là tỷ lệ mắc bệnh Alzhermer trong số này Tính P(pn 6 0.1)

Bài tập 1

Điểm môn XSTK của sinh viên khoa KTTM năm học 2009 được cho trong bảng sau

6 3 8 9 10 4 2 1 6

1) Lập bảng phân phối tần số và tần suất

2) Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, mode và median (trung vị) của mẫu

Bài tập 2

Câu hỏi tương tự như bài tập 1 nhưng với bảng

số liệu sau