Xác Suất Thống Kê (phần 11) ppsx

Ý nghĩa của của hiệp phương saiTừ định lý: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau thì CovX, Y = 0 , ta thấy có thể xem hiệp phương sai như là dấu hiệu để biết X và Y có độc lập n

Ý nghĩa của của hiệp phương sai

Từ định lý: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập nhau thì

Cov(X, Y) = 0 ,

ta thấy có thể xem hiệp phương sai như là dấu hiệu để biết X và Y có độc lập nhau hay không Hơn nữa, hiệp phương sai còn được dùng để xem xét chiều phụ thuộc lẫn nhau của 2 biến X, Y Thật vậy hãy xét ví dụ sau:

Example

Gọi X và Y lần lượt là hai biến chỉ định của biến

cố A và B Tính Cov(X, Y) rồi suy luận kết qủa nhận được

Ý nghĩa của của hiệp phương sai

I Cov(X, Y) > 0: X và Y phụ thuộc “thuận”

I Cov(X, Y) < 0: X và Y phụ thuộc “nghịch”

Hệ số tương quan

Để đo mức độ phụ thuộc của 2 biến X, Y, ta dùng hệ số tương quan:

Corr(X, Y) = Cov(X, Y)

pVar(X)Var(Y)

Tính chất:

I −1 ≤ Corr(X, Y) ≤ 1

I Hệ số tương quan càng gần -1: X và Y phụ thuộc tuyến tính nghịch

I Hệ số tương quan càng gần 1: X và Y phụ thuộc tuyến tính thuận

I Hệ số tương quan bằng 0: X và Y không phụ thuộc nhau

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và kỳ vọng

Biến ngẫu nhiên - Các dạng của biến ngẫu nhiên Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng

Phương sai

Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn

Bất đẳng thức Markov

Nếu X là biến ngẫu nhiên có giá trị không âm, thì với mọi a > 0

P(X ≥ a) ≤ E(X)

a

Chứng minh:

Bất đẳng thức Chebyshev

Nếu X là biến ngẫu nhiên kỳ vọng µ và phương sai σ2, thì với mọi k > 0

P(|X −µ| ≥ k) ≤ σ2

k2

Chứng minh:

Bất đẳng thức Chebyshev

Example

Giả sử tổng sản phẩm sản xuất trong nhà máy trong vòng 1 tuần là một biến ngẫu nhiên X với trung bình (kỳ vọng) là 50

a) Có thể kết luận gì về xác suất để tổng sản phẩm được sản xuất trong tuần này là lớn hơn 75?

b) Nếu biết phương sai của X là 25, thì có thể nói

gì về xác suất để tổng sản phẩm trong tuần là từ

40 đến 60 sản phẩm?

Luật số lớn (yếu)

Cho X1, X2, là một dãy các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất và độc lập lẫn nhau Khi đó, với mọi số  > 0,

P

X1 + + Xn

n −µ

> 

!

−→ 0 khi n → ∞

Luật số lớn (yếu)

Example

Tung xúc sắc 6 mặt cân bằng n lần, gọi Xi là số nút nhận được ở lần tung thứ i

Trung bình số nút nhận được sau n lần tung là:

X 1 + +X n

Kỳ vọng số nút nhận được mỗi lần tung:

E(Xi) = 3, 5 với mọi i

Theo luật số lớn:

P

X1 + + Xn

n −3, 5

> 

!

−→ 0 khi n → ∞ tức là trung bình số nút nhận được sẽ càng gần giá trị 3,5 khi số lần tung n càng lớn

Luật số lớn (yếu)