SKKN giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Xuân Mỹ Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 Người thực hiện: NGUYỄN THỊ TH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Xuân Mỹ

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG

CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

Người thực hiện: NGUYỄN THỊ THU LIỀN

Lĩnh vực nghiên cứu:

Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn Phương pháp giáo dục

Lĩnh vực khác

Có đính kèm

Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác

Năm học: 2012 - 2013

SƠ YẾU LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

I/ THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN:

1.Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Liền

2.Sinh ngày 26 tháng 04 năm 1978

3 Nam, nữ: Nữ

4 Địa chỉ: xã Nhân Nghĩa - Huyện Cẩm Mỹ - Tỉnh Đồng Nai

5 Điện thoại: Cơ quan Nhà riêng

6 Fax: E-mail:

7 Chức vụ: Giáo viên

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Mỹ;

II.TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân

- Năm nhận bằng: 2001

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC:

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm:

- Số năm có kinh nghiệm 12 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 5

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG

CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Toán học là môn học có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan trọng trong khoa học

kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả Thông qua việc học toán giúp học sinh có thể vận dụng vào các môn học khác Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông,

nó đòi hỏi người thầy giáo phải sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp học sinh giải quyết bài toán

Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn khác mà học thuộc bài một cách cứng nhắc Không chịu suy nghĩ để các kiến thức tiếp thu được trở thành một kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được trong bất cứ trường hợp nào Là một giáo viên THPT, trong tình hình hiện nay tôi thấy mình phải tìm tòi, nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng như kỹ năng giảng dạy được tốt hơn Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và phục vụ tốt cho chủ trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra

Tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 11 nhiều năm Vì đa số học sinh nhận thức còn chậm; tiếp thu kiến thức một cách máy móc Do đó giáo viên cần đi sâu vào phần trọng tâm; đưa ra phương pháp thật là cụ thể cho học sinh dễ hiểu và dễ nhớ

Phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT, đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng –THCN.Tuy nhiên các dạng phương trình được học ở lớp 11 này đều có phương pháp giải

cụ thể nhưng đa số các em không hiểu rõ nên khi giải mắc phải một số sai lầm không đáng có Tại sao lại như vậy?

Lý do chính ở đây là: Khi các em tiếp cận với một phần lượng giác trong

chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình bày rơi vào những tiết cuối năm; công thức lại nhiều; ví dụ áp dụng lại ít và thời gian rất là ít hạn hẹp chỉ có 6

tiết trong lúc lượng kiến thức rất là nhiều Nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Do đó khi bước sang đầu năm học của lớp 11 các em lại gặp một phần lượng giác trong đó có phương trình lượng giác nên các em đã gặp khó khăn trong quá trình biến đổi và giải phương trình lượng giác Nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ nhất định và phải nhớ chính xác giá trị lượng giác của cung (góc) đặc biệt Tôi thấy các em học sinh chỉ cần nắm vững phần giải phương trình lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các cung (góc) đặc biệt được thể hiện trên đường tròn lượng giác là được Vì đa số

là học sinh yếu kém nên kiến thức phải được cô động và dễ nhớ thì các em may ra mới giải được toán Do đó theo tôi việc giải phương trình lượng giác có kết hợp với một số yếu tố trên đường tròn lượng giác là rất hay nên tôi đã hình thành một chuyên đề : ‘’ Giải phương trình lượng giác trong chương trình lớp 11’’.

II) THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

a) Thuận lợi:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhìn thấy đa số học sinh muốn nắm vững kiến thức toán học; muốn tìm cho mình một cách học toán sao cho phù hợp với khả năng Các em còn muốn kiến thức mà mình có được phải nhớ lâu và dễ vận dụng vào giả toán.… Bên cạnh đó sự trao đổi và học hỏi lãnh nhau giữa các đồng nghiệp

để trau dồi, nâng cao chuyên môn Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản để giải toán Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, chính xác từng con số Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải phương trình lượng giác

b) Khó khăn:

Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết Do đó học sinh vào lớp 10 không phải thi tuyển và cũng không xét tuyển nên có nhiều học sinh còn yếu về học lực Khả năng tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng đều nên vấn đề giảng dạy còn khó khăn, là vấn đề làm cho người giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng luôn phải trăn trở

Trong quá trình giảng dạy môn toán tại trường THPT tôi nhận ra rằng đa số học sinh vẫn chưa ý thức được việc học Phần lớn học sinh lười học, không làm bài tập

về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà thôi Đa số học sinh không có thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề này cũng khó khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con của các gia đình công nhân, nông dân có hoàn cảnh khó khăn, sau những buổi đi học về các em còn phải phụ giúp gia đình Sự quan tâm của ba mẹ đối với việc học của con cái còn hạn chế nhiều mặt

Trước khi làm sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy học sinh lớp 11 giải các phương trình lượng giác thường mắc phải những sai lầm trong quá trình biến đổi Đa số học sinh không tìm cho mình một cách nhớ công thức lượng giác; bảng giá trị lượng giác của các cung ( góc ) đặc biệt mà chỉ sử dụng máy tính hoặc học thuộc lòng nên khi giải toán có thể quên; không chủ động để biến đổi

III) NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

1 Cơ sở lý luận

Có lần tôi đọc quyển “tạp chí tuổi trẻ của Bộ Giáo Dục và Đào tạo”, một lời khẳng định của thầy “Nguyễn Thái Hoè” ( Nguyên giáo viên khối chuyên toán ĐHSP Vinh) như sau: “Phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm lời giải có nhiều ưu điểm và phát huy tác dụng tốt cho nhiều loại đối tượng” Tôi cũng đồng tình với lời khẳng định và bài viết của thầy mà điều này tôi cũng đã từng trăn trở Vai trò của người thầy (cô) giáo trực tiếp giảng dạy môn toán chủ yếu và quyết định ở khâu hướng dẫn tìm lời giải bài toán “Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ” thầy “Phan Đức Chính” (Trường Đại học Tổng hợp) đã viết “Có thể nói rằng sự linh hoạt trong suy nghĩ là một điều kiện cần thiết để đạt được kết quả tốt trong việc học toán”.Bên cạnh đó việc vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản thuộc chương trình môn học cùng việc tích luỹ dần dà các phương pháp và kỹ năng hữu hiệu cũng là vấn đề quan tâm của GS “Trần Tuấn Điệp” (Trường ĐHBK Hà Nội)

Hiện nay phần lớn các em học sinh không chịu đào sâu suy nghĩ, sử dụng kiến thức đã học một cách máy móc vào giải toán Và các em chỉ biết giải theo những bài toán cụ thể theo một phương pháp nhất định; Không chịu phân tích, tổng quát hoá, bằng cách liên hệ đến các trường hợp tương tự Hay nói một cách đơn giản là không biết đề ra những câu hỏi, những thắc mắc xoay quanh bài toán đó, tự giải quyết và rút ra những kết luận cần thiết

Giải phương trình lượng giác trong chương trình 11 cũng đã được đề cập đến nhưng còn lẻ tẻ chưa phổ biến rộng rải, chưa kết hợp chặt chẽ hơn nữa là chưa phổ biến rộng rải trong quá trình giảng dạy Hơn nữa một số tác giả trình bày về phương trình lượng giác rất hay và rất đầy đủ nhưng học sinh yếu kém thì không thể hiểu và nhớ hết được Do đó tôi đã quyết định sáng kiến ra đề tài này mong rằng giúp các em nắm bắt từ từ các kiến thức một cách chắc chắn hơn trong việc học toán Từ đó nhằm rèn luyện kỹ năng và phẩm chất tư duy về môn học, tiếp thu tri thức của loài người

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

Các giá trị lượng giác của các cung (góc) đặc biệt được thể hiện trên đường tròn

lượng giác sau đây giúp các em tái hiện lại một phần kiến thức để vận dụng vào giải phương trình Tuy nhiên các em có thể dùng máy tính cầm tay để tính cung (góc) đó

Các em có thể quy đổi từ độ sang radian như sau:

cos tan

1 2

1 2

- 1 2

3 2

- 3

2

-2 2

- 1 2 -

2 2

- 3 2

2 2

3 2

3 3

3 3

- 3 3

- 3

- 3 3

2 1 Phương trình lượng giác cơ bản:

2.1.a Phương trình sin x  a

 a 1: Phương trình vô nghiệm

- 2 2

1 2

-3 2 1 2

2 2

-30 o -135 o

Từ đường tròn lượng giác chúng ta cũng suy ra công thức nghiệm của phương

trình trên Chẳng hạn như sinx = 2

2 thì tại điểm (0; 2

2 ) trên trục sin kẻ đường thẳng vuông góc với trục sin ta thấy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm M và

M’ Khi đó số đo của cung AM và cung AM’ được viết là:

+) Nếu a T thì nghiệm của phương trình là:

xarcsina k 2 hoặc x  arcsina k 2 ; kZ (2)

Ví dụ1 Giải các phương trình sau:

Dựa vào công thức nghiệm (1) trên và đường tròn lượng giác trên Chọn 

sao cho sin 1

5arcsin 2

Ví dụ2: Giải các phương trình sau:

Khi mở rộng sin x thành sin f(x) thì chúng ta xem f(x) có vai trò như x sau đó

biến đổi rồi tìm x chính là nghiệm của phương trình Phần này đa số các em không

hiểu nên viết f(x) là x nên nghiệm phương trình là sai Xem ví dụ a), b) dưới đây

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy sin f(x) bằng 0 hoặc 1, -1 chỉ cần ghi

d) Phương trình: sin(2 ) sin( )

2 2

- 2 2

- 3

-1 2

1 2

-30 o -135 o

Từ đường tròn lượng giác chúng ta cũng suy ra công thức nghiệm của phương

trình trên Chẳng hạn như cosx = 2

2 thì tại điểm ( 2

2 ;0) trên trục cos kẻ đường thẳng vuông góc với trục cos ta thấy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm M và M’ Khi đó số đo của cung AM và cung AM’ được viết là:

+) Nếu a T thì nghiệm của phương trình là:

xarccosa k 2 hoặc x arccosa k 2 ; kZ (4)

Ví dụ1 Giải các phương trình sau:

Từ đường tròn lượng giác các em suy ra hai họ nghiệm của phương trình ngay

Như ví dụ a) và b) dưới đây

2 

đó biến đổi rồi tìm x chính là nghiệm của phương trình Phần này đa số các em không hiểu nên viết f(x) là x nên nghiệm phương trình là sai Xem ví dụ a), b) dưới đây

Ví dụ2: Giải các phương trình sau:

Khi giá trị của cos bằng 0 ta thấy đường thẳng qua điểm O(0;0) và vuông góc

với trục cos cắt đường tròn tại hai điểm (điểm ngọn) cách đều nhau Vậy cung làm cho cos bằng 0 có số đo là

Khi giá trị của cos bằng 1 ta thấy đường thẳng qua điểm A(1;0) và vuông góc

với trục cos cắt đường tròn tại 1 điểm (điểm ngọn) Vậy cung làm cho cos bằng 1

23

k Z k

2.1.c Phương trình tan x  a

 Điều kiện của phương trình là:

x  k kZ

3

- 3 3

3 3

-30 o -135 o

Từ đường tròn lượng giác chúng ta cũng suy ra công thức nghiệm của

phương trình trên Chẳng hạn như tanx = 3 thì tại điểm ( 1; 3) kẻ đường thẳng qua gốc toạ độ ta thấy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm M và M’ cách đều nhau Khi đó số đo của cung AM và cung AM’ hơn kém nhau bội nguyên của 

Do đó ta viết chung thành một họ nghiệm là x = 600

 Phương trình có nghiệm với mọi a Gọi 3

Một số ví dụ sau cho ta thấy việc dùng đường tròn lượng giác để viết ra

nghiệm của phương trình cơ bản rất là rõ ràng và dễ hiểu

Ví dụ1 Giải các phương trình sau:

Phương trình: tanx = tan   x  k (kZ)

Phương trình tanx = tana0  x a0k1800 (kZ)

Tổng quát:

Phương trình tan f(x) = tan g(x)  f x( )g x( )k (kZ)

Khi mở rộng tan x thành tan f(x) thì chúng ta xem f(x) có vai trò như x sau đó biến đổi rồi tìm x chính là nghiệm của phương trình Phần này đa số các em không hiểu nên viết f(x) là x nên nghiệm phương trình là sai Xem ví dụ a), b) dưới đây

Ví dụ2: Giải các phương trình sau:

a) Phương trình: tan 3x = 0 3xk  x k (kZ)

3 3

Từ đường tròn lượng giác chúng ta cũng suy ra công thức nghiệm của phương trình trên Chẳng hạn như cotx = 3 thì tại điểm ( 3;1) kẻ đường thẳng qua gốc toạ độ ta thấy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm M và M’ cách đều nhau Khi đó số đo của cung AM và cung AM’ hơn kém nhau bội nguyên của  Do đó

ta viết chung thành một họ nghiệm là x = 300 + k 1800 hay x =

6 k

  

( với k là số nguyên)

 Phương trình có nghiệm với mọi a Gọi 3

Ví dụ1 Giải các phương trình sau:

Từ đường tròn lượng giác trên các em viết ngay ra nghiệm của phương trình như

Phương trình: cot x = cot    x  k (kZ)

Phương trình cot x = cot 0

Tổng quát:

Phương trình cot f(x) = cot g(x)  f x( )g x( )k (kZ)

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Khi mở rộng cot x thành cot f(x) thì chúng ta xem f(x) có vai trò như x sau

đó biến đổi rồi tìm x chính là nghiệm của phương trình Phần này đa số các em không hiểu nên viết f(x) là x nên nghiệm phương trình là sai Xem ví dụ a), b) dưới đây

Phải nói rằng đường tròn lượng giác hổ trợ cho việc giải phương trình lượng giác

cơ bản giúp các em khắc phục được nhiều khó khăn trong việc giải phương trình lượng giác Qua nhiều năm dạy lớp 11 tôi thấy vấn đề giải phương trình lượng giác quan trọng nhất là hiểu được và giải được phương trình lượng giác cơ bản Từ đó các em làm quen và giải một số phương trình lượng giác khác dễ dàng hơn Đó là các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác và phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx sau đây

2.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp:

2.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

2.2.1.a Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là

phương trình có dạng at b 0 trong đó a,b là các hằng số a0và t là một trong

các hàm số lượng giác

2.2.1.b Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

2.2.1.c Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1) 2sin 1 0; 2) os2 1 0; 3) 3tan 1 0; 4) 3 cot 1 0

2

Giải

Vấn đề khó khăn ở dạng phương trình này là các em học sinh chưa quen coi sinx

có vai trò như ẩn của phương trình bậc nhất một ẩn Đưa phương trình sau về

phương trình lượng giác cơ bản rồi giải

 (1) 2) (2cosx 2)(cos3x 1) 0

Giải

Trong trường hợp này một số em học sinh đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa nhưng không biết giải như thế nào Đây cũng là giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác sau đó thay dấu “=” thành dấu “”, thay ngoặc vuông thành ngoặc nhọn

3

x  k k

Z