Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình l­ượng giác

từ đó sử dụng công thức lượng giác phù họp để tìm ra lời giải.Giói hạn nghiên cứu của đề tài: -Một số phương trình lượng giác trong kì thi Đại học - Cao đẳng.. Mục đích là làm cho học si

- • i l s 1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT

LÊ QUÝ ĐÔN

Tên đề tài:

RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 11

KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Lam

To Toán Trường THPT Lê Quý Đôn thanhlamlqd(S)gmail.conn

SÁNG KIEN KINH NGHIỆM

2012-2013

từ đó sử dụng công thức lượng giác phù họp để tìm ra lời giải.

Giói hạn nghiên cứu của đề tài:

-Một số phương trình lượng giác trong kì thi Đại học - Cao đẳng

III Cơ SỞ LÍ LUẬN:

Nhiệm vụ trọng tâm ở trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trồ Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững những

kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học

là việc làm rất cần thiết

Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học

vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi

học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, ừong quá trìnhdạy học giáo viên cần giúp cho học sinh cách học và biết sử dụng các kiếnthức đã học vào từng bài toán cụ thể Mục đích là làm cho học sinh khi đứngừước một bài toán, các em biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển bàitoán mới về bài toán đơn giản hơn hoặc một bài toán quen thuộc đã biết cáchgiải Đối vói bài toán giải PTLG cũng vậy, khi dạy học sinh phần này, ngoàiviệc phải ừang bị cho các em những kiến thức cần thiết và phương pháp giảinhững dạng PTLG thường gặp, bên cạnh đó giáo viên cần phải dạy các emcách nhận dạng một bài toán, biết phân tích các yếu tố về cung góc, biết nhậnxét về các hàm số lượng giác có mặt ừong mỗi bài toán để từ đó có thể cócác bước biến đổi phù họp nhằm đưa bài toán cần giải quyết về một một bàitoán đơn giản hơn

IV Cơ SỞ THỰC TIỄN:

Xuất phát từ thực tế giảng dạy phân môn Giải tích lóp 11 Cụ thể chương I

- Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Đối với phần PTLG, mục tiêu của chương là học sinh biết cách tìm nghiệm của PTLG cơ bản và phương pháp giải một số dạng PTLG đơn giản, về kĩ năng, học sinh phải biết giải một số dạng PTLG không quá phức tạp có thể quy được về phương trình lượng giác đã biết cách giải Tuy nhiên, trong thực tế các PTLG trong các đề thi Đại học hầu hết là những PTLG không mẫu mực, một số phương trình đòi hỏi biến đổi khá phức tạp Vì vậy, để học sinh học tốt phần này, ngoài việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi lượng giác thật thành thạo, giáo viên cần phải dạy học sinh cách sử dụng các công thức đã học vào việc giải phương tình lượng giác như thế nào cho phù họp

V NỘI DUNG:

Trước khi bắt tay vào việc giải phương trình lượng giác, các em phải thuộc lòng tất cả các công thức lượng giác đã học và phải có kĩ năng biến đổi lượng giác thành thạo Tiếp đến, các em phải nắm vững công thức nghiệm của các PTLG cơ bản và nắm vững phương pháp giải các PTLG thường gặp Ngoài những PTLG thường gặp mà học sinh đã được học và đã có cách giải riêng cho từng loại, các em sẽ gặp phải một lóp các phương trình không nằm ừong các dạng thường gặp, đó là PTLG không mẫu mực Trong quá trình dạy phần này cho học sinh, tôi đặc biệt quan tâm đến việc phân tích các yếu tố về cung, góc và các hàm số lượng giác có mặt trong PTLG để từ đó hướng dẫn các em nên sử dụng các công thức lượng giác nào cho phù họp Sau đây tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lòi giải cho một số PTLG không mẫu mực thông qua một số ví dụ minh họa

1 Dựa vào mối quan hệ giữa các cung:

Trong khi giải PTLG, thì việc xem xét mối quan hệ giữa các cung là việc làm hết sức cần thiết, từ đó kết họp với các công thức lượng giác để đưa về PTLG quen thuộc ỉà một vấn đề then chốt Chứng ta xét các vỉ dụ sau đây đế thấy được việc xem xét mối ỉiên hệ giữa các cung quan trọng như thể nào

Bài 1: (DIIXD -1997)

IfN 1

- • il s 1 1

SÁNG KIEN KINH NGHIỆM 1

, 1 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „ 13

1 , , 13 cung 2x cỏ thể đưa về cung 4x bằng công thức nhân đôi Với nhận xét trên ta có cách giải bài toán như sau:

<=> — cos2* + cos— íOo cos2* íOo sin2* ^ ±1

2{ 2j

pt <=> sin4 2x I cos4 2x - cos4 4x o 1 2 sin2 2xcos 2 2x - cos 4 4x

1- —sin 2 4x = cos4 4x <^> 2cos4 4x + sin 2 4x - 2

= 0 2

o 2cos 4 4x I (1 cos2 4x) 2 - 0 o 2cos 4 4x cos 2 4x 1-0

Chú ý: Đối với PTLG trên, việc nhận xét tổng hai cung ị[~ ~x + ị — + x^ = — làrất cần thiết, bởi nếu không cỏ sự nhận xét đó, mà quy đồng và biầi đổi thì phươngtrình trở nên rất phức tạp Với sự nhận xét về tong hai cung như bài toán trên, giáoviên cỏ thế cho học sinh rèn luyện thêm bài toán tương tự sau:

А Л 7Ĩ -Ị 7Ĩ coslx - 0 ö X - — + k—

3(2cos 2 X 1) 2cos 4 X- cos2X - 0(1)

sin2x

sin2x

Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ sổ tỉ lệ xởi nhau, ta nghĩ đến việc nhóm các hạng

tử và đưa về phương trình tích Từ đó, ta có cách giải sau:

Cách 3: pt <=> 3(1 cos4x) 2COS2 x(4cos 4 X 1) = 0

о 3.2cos 2 2x-2COS2 x(2cos 2 X + l)(2cos 2 X -1) - 0 < > 6cos 2 2x-2cos 2 x(2cos 2 x+1)COS2x - 0

Cí> cos2x[3cos2x COS 2 x(2cos 2 X I 1)]- 0

quan hệ nào, cỏ đưa được về nhân tử chung hay cùng một cung hay không?

rrt r ^ ^ COS 2X — sin2 X 2cos2x J Л -4 r í , , 7 7

sin X COS X

COS х-ĩ

2 ĩ COS X- — 2

ATííớì xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cosx ta có thể nghĩ đến

việc chuyến về cung 2x bằng công thức hạ bậc và từ cung 4x ta chuyến về cung

2x bằng công thức nhân đôi, với hướng suy nghĩ đó, ta có cách giải khác như

sin* ÍÈ 0

sinx

tànx- 1 V2 \

sin 2x= —— (thoa)

(sin * + cos * fay/2 sin*.cos* + l)= 0

ĐK:

IfN

- • il s 1

SÁNG KIEN KINH NGHIỆM

, 1 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „

1 , ,

2 Bài 5: (ĐH-A2008) Giải phương trình: = 4sin(— *) 3 TZ \ 4 sin(x - —) Nhận xét: Với bài toán này, có lẽ khó khăn mà các em gặp phải đổ là sự xuất -Ị 9 y 3íZ" ^ 7 JI rr> > Xí 7 - ' 7 • _ "3^ hiện của hai cungx —rvà —-X Từ sự xuât hiện hai cưng x r- và —-X 2 4 2 4 chứng ta nghĩ đm việc đưa hai cưng về một cung X Đe làm được việc đó, đầu tiên là ta nghĩ đầi sử dụng công thức cộng hoặc công thức về cung góc có tiên quan đặc biệt Với hướng suy nghĩ đó ta có các cách biến đổi sau: Giải: + Cách 1: Sử dụng công thức cộng: rp / 1 3 TT ] 3?Z” 3 7Ĩ la Có: sin *—— ^sinx.cos— cosx.sin—= cosx IfN

- • il s 1

SÁNG KIEN KINH NGHIỆM

, 1 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „

1 , ,

Pt w ——h—-— - -4sin(* + — ) Ci» sin X + cos X - -2V2 sin X.cos x(sinX - cos x ) 4 s m x c o s x sin X + cos * = 0 = U« r c=> 2v2 sin*.cos* + l = 0 8 X - - — + k n n X =

2 x = - — + k i n X

-4

2 x - — + klĩĩ X- — 4

Ci

>

» sin(— 5%) = sin * »

KL : Nghiệm của phương trình là: x = -— + k j ĩ - , x = - — + kn-,x =

Giải phương trình: -\/3 cos5x-2sin3xcos2x-sinx - 0 Giải:

Nhận xét l:Từ sự xuất hiện các cưng 5x, 3x, 2x, X và 3x + 2x = 5x ta nghĩ đến việc ápdụng công thức biến đỗi tong thành tích để đưa về cung 5x Cồn cung X thì thể nào, giảo viên hướng dẫn học sinh trong phần chú ý sau bài toán.

pt o -\^cos5*-(sin5* + sin*)-sin* = 0o — cos5x-— sin 5* =

<2'sin foc I b'coskx thì phương pháp giải tương tự như đối vói phương trình dạng «asinx b c o s x - c Để khắc sâu dạng này, giáo viên cho học sinh giải

thêm các phương trình sau:

a) sin3x - -J 3 cos 3x = 2sin 2x.

kln

X 7

-71 k2ĩĩ X - — H -—

2 n „

« = ± — + kln 3

— 7Ĩ x _ _ y X

Cí> cos(2x - —) = cos(x + —)

2 Biến đổi tổng thành tích và ngược lại:

Trong PTLG nấỉ xuất hiện tích của các hàm sổ lượng giác sin và cos thì ta có thế bìm đổithành tống (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để rút gọn) Nầi xuất hiệntổng thì ta biến đổi thành tích (mục đích là làm xuất hiện nhân tử chung) Đặc biệt khidùng công thức bỉm đối tống thành tích ta thường ghép những cặp sao cho tổng hoặchiệu hai cung bằng nhau

Bài 1: Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x = 0.

Giải:

Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos)ta cần

để ỷ đm cung để sao cho tỏng hoặc hiệu các cung bằng nhau Cụ thể:

pt o (sin 6x - sin x) + (sin 5* + sin 2x) + (sin 4x + sin 3x) = 0 7x 5x _ 7x 3x _

, 1 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■

Bài 2: Giải phương trình: cos3x.cos 3 * - sin3* sin3 *

-Nhận xét: Đối với phương trình này, nầi ta sử dụng công thức nhân ba thì cũng đưađầi được phương trình giải được nhưng khá phức tạp, hơn nữa học sinh lại it nhớ côngthức này Vì vậy, giảo viên có thể hướng dẫn học sinh khéo ỉẻo phân tích để áp dựngcông thức biầi đổi tích thành tong

= -2-3^2 cos X cos 4x + cos cos 2* - sin X cos 2x + sin X cos 4x -

cos 2x - 0 2sinx + 2cosx

*J2 = 0

Cí

>

» cos4*(cos x + sin x) + cos 2x(cos * sin *) -»cos4* + cos 2*

= -4 4 Cí> cos4x + — (l + cos4x) = -—Ĩ2ỈẴ <^> 4cos4x+2(l+cos4x) = 2 3-JĨ Cí> 6cos4* = 3^2 c=> cos4* = -2Ẽ- <z> cos4* = cos— Cí> 4* = +— + k2ĩr 2 4 4 3/ĩ kn o X - ± — + - 7 - 16 2 Cách 2: Ngoài cách trên, học sinh cỏ thế sử dụng công thức nhân ba, tuy nhiên khi dùng công thức này học sinh phải chứng minh và việc chứng minh cũng khá đơn giản Ta cỏ: cos3x.cos 3 X sin3x.sin 3 X = cos3x| —cos3x I —cosx l sin3x — sinx — sin3x IfN

- • il s 1

SÁNG KIEN KINH NGHIỆM

, 1 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „

1 , ,

Bài 3: (ĐH-D2012) Giải phương trình: sin 3* + cos 3* sin * + cos X - ~ỊĨ cos 2x. Nhận xét: Trong vế trải của phương trình xuất hiện các cặp (sin3x sinx), (cos 3* + cos x), đồng thời 3x X 4x, ta nghĩ đến công thức bỉm đỗi tổng thành tích để xuất hiện nhân tử chung cos 2x. Giải: pt <=> (sin 3x sin x) + (cos 3x I cos x) -Jĩ cos 2x - 0 Cí> 2cos 2x.sin XI 2cos 2x.cosx Vĩcos 2x - 0 Cí> cos 2x(2sin * + 2cos * - Vĩ) - 0 71 ĩ _ 2x - — + kn sin * + cos * = 2 71 kn X-— +— IfN

- • il s 1

SÁNG KIEN KINH NGHIỆM , 1 2 _ 1 { ■ (A Tỉ ' ■ „

6x + 2x 4x, ta nghĩ đầi

Khi gicd phương trình lượng giác, gặp bậc của sin và cos là bậc hai ta thường giảmbậc bằng cách dừng các công thức hạ bậc, từ đó đưa vê phuơng trình lượng giác cơbản

Bài 1:

Giải phương trình: sin 2 * + sin 2 2x + sin2 3x - —.

Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của sin và tống

Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và cos ta nghĩ đầi việc hạ bậc và

kết hợp với công thức biến đỏi tổng thành tích để đưa về phương trình tích Cụ thể:

1 cosóx 1 cos8x 1 coslOx 1 Icosl2x

pt

(cos 12x - cos10x) -(cos 8x- cos 6x) - 0 < > 2cosllx.cosx-2cos7x.cos X - 0

cos x(cos 1 lx - cos Ix) 0 <:> cos x.sin9x.sin 2x0 <: > sin 9x sin 2x = 0

Bài 3: (DII- A2005)

Giải phương trình: cos 2 3*.cos2x cos 2

X = 0.

Giải:

pt <=>(1 + cos6*)cos2x \ cos2x~ữ o cosóx.cos2x \-ữ

— (cos4x I cos2x) 1- 0 <— cos 4x cos 2x 2 - 0

» (1 sin x).(l cos x)(l + cos x) (1 I cos x).(l sin x)(l + sin x) Cí> (1

sin x).(l + cos x).(sin * + cos x) - 0

Kết họp với điều kiện (*) ta có: s = I* = lĩ + k l ĩ ĩ , x = -—+Jbr Ị

Chú ý: Trong phương trình trên, ta ỉoại nghiêm bằng cách biấi dim ngọn cung đầi kiện và ngọn cưng đáp số trên trên đường tròn lượng.

4 Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và các đẳng thức lượng giác thường gặp:

Bài 1: (ĐH-D2007)

Giải phương trình: Ị^sin - + cos - j + %/3 cos X = 2 Giải:

pt o 1 + 2sin—cos — + -Jĩ cos * = 2 e=> sin X + £ cosx = 1:PTBN đối vói sinx và cosx 2

Nhận xét: Từđẳngthức sin 4 x cos 4 x 1 —sin 7 2xvà 3x — X — 2x ta

nghĩ đến việc đưa về cùng một cung đó là 2x Cụ thể:

sin 4 x + cos 4 * = 1-Ạsin 2 2x -1- — (l-cos4x) = — + — cos4*.

Bài tập tương tự:

a) sin4 — + cos 4 — = 1 2sin*

2 2

b) cos3 * - sin 3 * = cos 2 * - sin 2 *

c) cos3 * + sin 3 * = cos 2x

lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách nhóm, đặt nhân tửchung Sau đây là một số lưu ý và các ví dụ minh họa.

n 7

Một số limỷ khi tìm nhân tử chung:

Giải phương trình: (2cos X - l)(2sin X + cos x) = sin 2x - sin X.

Giải: pt <=> (2cosX-1)(2sinX - cosx) - sin2x-sin*

Cí> (2 cos * -1)(2 sin * + cos x) - sin x(2 cos * -1)

Bài 2: (ĐH-A2007)

x)cosx+(1+ cos2 x)sinx = 1+ sin2x Giải:

pt <=> cos X sin2 X cos X + sin X+ cos2 xsinx - (sinx cos x) 2

o (cos X sinx) sinx cos x(sin X + cos x) - (sinx cos x) 2 (cos X

- sin x)(l - sin X cos X - sin X - cos x) 0 sin * + cos X -0

1 + sin x.cosx-sinx -cosx = 0

Vóipt(l)tacó x = -— + kn

Vói pt (2): Đặt t = sìíia; + cosx, ta đựợc pt: t 2

2t +1 = 0 <=>t = 1

pt o sin7x sinx (1 2sin2 2x) = 0

Cí> 2cos4*.sin3* cos4* = 0 Cí> cos4*(2sin3* 1) = 0 Cí>

Bài 4: (ĐH-D2008)

Giải phương trình: 2sinx(l+cos2x)-sin2x-1-2cosX.

Giải:

pt < > 4sinx.cos2 x + 2sinx.cosx -1-2cosx

Cí> 2sin*.cos*Ợ + 2cosx) = 1 + 2COSX Cí> (1 + 2cos*).(sin2*-l) = 0

Giải phương trình: (sin2* + cos2x)cosx + 2cos2x sinx = 0

pt Cí> sin2x.cos* + cos2x.cos * + 2cos2x-sinx - 0 Cí> 2sin x.cos 2 x sinx I cos 2x.cosx 2cos2x - 0

o sin x(2cos X 1) I cos 2x(cos X+2) =

0 Cí> sin X. cos 2x + cos 2x(cos X I 2) - 0

Cí> cos 2x(sin * + cos X I 2) - 0

cos 2x - 0 ^ V2sin(x + £)

= -2 ơ 2x = — + kn

sin(x + —) = yỉĩựoai) 4

Bài 6: (ĐH-D2010)

Giải phương trình: sin2x cos2x+3sinx cosx 1 = 0

Giải

pt 2sin X.cos X - (1 - 2 sin2x) + 3 sin X - cos X -1 = 0

o cosx(2sinx-l) + 2sin 2 x+3sinx-2 = 0 o cosx(2sinx-l) + (2sin 2 x+4sinx)-(sinx+2) = 0 (tách

3sinx - 4sinx sinx)

Cí> cosx(2sinx 1) 2sinx(sinx 2) (sinx 2) = 0 Cí> cos

x(2sin X1) (sin * + 2)(2sin X1) - 0

pt -Jĩsin(x + —)(1 + sin * + cos 2x) = (1 + tan x) cos X

(2sin * -l)(cos* + sin* + 2) = 0o

V2sin(* + -)= 2 4

Cí> sin * + cos * = 0 sin* + cos2x = 0

*sin.x+cos.x = 0 <^> tan.x= 1(loại)

sinx = l

*sinx +cos2x = 0» 2sin 2X sin* 1 = 0<=> 1

sin* = —

2

Chú ỷ: Trong phương trình trên, ta đã kết hợp nghiệm bằng phương pháp biểu diễn

(1+sin 2x+cos 2x).sin2 X - 2 V 2 SÌÍI2 X cosx »1 +

sin 2x + cos 2x =2V2.COS X (do sinx 0)

Cí> 2sin*cos* + 2cos2 * 2 V 2 COS* = 0

0 2cos x(sin X+cos X -Jĩ) = 0

cos * - 0 ịthoà) x2

sin X + cos X- 4Ĩ ~ x_ Lị k l ĩ ĩạ h o a )

Bài 9: (ĐH-A2012)

Giải phương trình:sin 2x+cos 2x - 2cos X -1.

Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy có sự xuất hiện của sinlx, 2cos.It và

1 + cos 2x đế xuất hiện nhân tử chung 2 cos X.

In , „

X = h k LTĨ 6

cos * = 0 (loai)

n »

sin* = sin(-—)

Cí>

Giải phương trình:

sinx^ 0 Jĩ

sin * * +

-— 2

Ngoài việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải PTLG, thông qua mỗi vi dụ trên giảoviên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng kết họp nghiệm trong PTLG cỏ điầi kiện Đếgiúp các em có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm, thông qua một sổ vỉ dụ giáoviên cỏ thể đúc kết lại một sổ phương pháp pho bỉm thường dừng khi kết hợp nghiệm

Cách 1: Biầi diễn nghiệm của phươngtrình hệ quả và điều kiện của phương trìnhban đầu qua cùng mội hàm sổ lượng giác

Vi dụ 1: (Tụp chỉ Toán học Tuồi trẻ thảng 11/2009)

1 1 2

cos Xsin 2x sin 4x

Khi dùng phương pháp này, các em cỏ thể kiần tra điầi kiện ngay trong quả trình giải

chứ không cần phải đến kết quả cuối cùng Chăng hạn, các PTLG trong đề thi Đ H B

*Với X - k— thì :cos5* = cosẼằĩL - cosỢc — + kín') = c o s í O c > k - 2m(m e Z)

*Với X — — + —— thì: cos 5* = cos(— — k—)

2

Vi dụ 2: Giải phương trình: 3sinx 2cosx-3(l tanx)

Giải: ĐK: cosx-0 < >sinx^±l pt<^> cos *(3 sin * +

2

X

2 cos x) - 3(sin X + cos x)-l Cí> cos *(3 sin * + 2 cos

x) - cos X - 3sinx 2 cos X1 Cí> cos x(3 sin X - 2 cos X

-1) - (3 sin X + 2 cos X -1)-0

cos X 1- 0(1)

» (3sin* + 2cos* l)(cos* 1) = 0<=>

3 sin X+ 2 cos x-1-0(2)