Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị tại điểm uốn, và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.. Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuy
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 2: TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
A – HÀM SỐ BẬC BA
Bài 1 Cho hàm số y x= −3 3x 1+
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M 2;3 ( )
Bài 2 Cho hàm số y 1x3 1x2 2x 4
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )d : y 4x 2= +
Bài 3 Cho hàm số y 1x3 x 2
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
( )d : y 1x 2
Bài 4 Cho hàm số y=4x3−6x2+1
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị, biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1; 9(− − ) .
Bài 5 Cho hàm số 1 3 2
3
y= x −2x +3x Viết phương trình tiếp tuyến ( )∆ với đồ thị tại điểm uốn, và chứng minh rằng ( )∆ là tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất
(Chính thức…….khối B năm 2004)
Bài 6 Cho hàm số y x= +3 3x2−9x 3+
Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến, tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 7 Cho hàm số y= − +x3 3x2−9x 3+
Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến, tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất
Bài 8 Cho hàm số y x= +3 3mx2+(m 1 x 1+ ) + ( m là tham số )
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1− đi qua A 1;2 ( )
Bài 9 Cho hàm số y= − +x3 (2m 1 x+ ) 2− −m 1 ( m là tham số )
Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng ( )d : y 2mx m 1= − −
Bài 10 Cho hàm số y 1x3 mx2 1
= − + ( m là tham số )
Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1− Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại M song song với đường thẳng ( )d : 5x y 0− = .
(Chính thức…….khối D năm 2005)
Trang 2Bài 11 Cho hàm số y x= +3 mx2+1 ( m là tham số )
Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng ( )d : y= − +x 1 tại ba điểm phân biệt A 0;1 , B, C sao cho ( )
tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau
Bài 12 Cho hàm số y x= +3 3x2
Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Bài 13 Cho hàm số y x= −3 6x2+9x 1−
Từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng x = 2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Bài 14 Cho hàm số y mx= 3−(m 1 x− ) 2− +(2 m x m 1) + − ( m là tham số )
Khi m = 1, tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị
Bài 15 Cho hàm số y x= −3 3x2+2
Tìm trên đường thẳng y= − 2 những điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị vuông góc với nhau
Bài 16 Cho hàm số y x= −3 3 m 1 x( + ) 2+2 m( 2+4m 1 x 4m m 1+ ) − ( + ) ( m là tham số )
Khi m = 0, tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho qua M chỉ vẽ được duy nhất một tiếp tuyến
Bài 17 Cho hàm số y x= −3 3x 2−
Xét ba điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc đồ thị Gọi A , B , C lần lượt là giao điểm của đồ thị 1 1 1
với tiếp tuyến của đồ thị tại A, B, C Chứng minh A , B , C thẳng hàng.1 1 1
Bài 18 Cho hàm số y x= −3 3x2+1
Chứng minh rằng trên đồ thị có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp điểm này đồng quy tại một điểm cố định
Bài 19 Cho hàm số y x= +3 mx2− −m 1 ( m là tham số )
Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà họ đồ thị luôn đi qua Khi đó tìm giao điểm của các tiếp tuyến đó
Bài 20 Cho hàm số y 2x= 3+3x2−12x 1−
Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M đi qua gốc tọa độ
Bài 21 Cho hàm số y x= + −3 1 m x 1( + ) ( m là tham số ).
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 chắn trên hai trục tọa độ một tam giác
có diện tích S = 8
B – HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Bài 1 Cho hàm số y= − +x4 2x2
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A( 2;0 )
Trang 3Bài 2 Cho hàm số y 1x4 2x2 9
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại các giao điểm của đồ thị với trục Ox
Bài 3 Cho hàm số y 1x4 2(x2 1)
4
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị, biết tiếp tuyến đi qua điểm A 0;2 ( )
Bài 4 Cho hàm số y x= 4+2x2−3
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 1x 2
8
Bài 5 Cho hàm số y x= 4−8x2+7
Tìm m để đường thẳng y mx 9= − tiếp xúc với đồ thị.
Bài 6 Cho hàm số y= − +x4 2x2−1
Tìm trên đường thẳng y = 0 ( trục Ox ) mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
Bài 7 Cho hàm số y x= 4− +x2 1
Tìm trên đường thẳng x = 0 ( trục Oy ) mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
Bài 8 Cho hàm số y x= 4+mx2− −m 1 ( m là tham số )
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y 2x= , với A là điểm cố định
có hoành độ dương của đồ thị
Bài 9 Cho hàm số y 1x4 3x2 5
Gọi M là điểm thuộc đồ thị có hoành độ xM =a Tìm a để tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt đồ thị tại 2 điểm P, Q phân biệt khác M Tìm quỹ tích trung điểm của PQ
C – HÀM BẬC NHẤT / BẬC NHẤT
Bài 1 Cho hàm số y 2x 1
x 1
−
=
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại A 2;3 ( )
Bài 2 Cho hàm số y x 1
2x 1
− +
= +
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị, biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trụcOx
Bài 3 Cho hàm số y x
x 1
=
− .
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành tam giác cân
Bài 4 Cho hàm số y 3x 1
x 1
+
=
Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M 2;5(− ).
Bài 5 Cho hàm số y x 2
2x 3
+
=
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và ΔOAB cân tại O
Bài 6 Cho hàm số y 2x
x 1
= + .
Tìm M thuộc đồ thị, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt Ox, Oy tại A và B và ΔOAB có S 1
4
Trang 4Bài 7 Cho hàm số y x 2
x 1
+
=
− .
Cho A 0;a Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị sao cho 2 tiếp điểm tương( )
ứng nằm về hai phía đối với trục Ox
Bài 8 Cho hàm số y 3x 2
x 1
+
=
Chứng minh rằng không tồn tại điểm nào thuộc đồ thị để tiếp tuyến tại đó đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận
Bài 9 Cho hàm số y 2x 1
x 1
−
=
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông góc với IM
Bài 10 Cho hàm số y 6x 5
3x 3
+
=
Chứng minh rằng trên đồ thị tồn tại vô số các cặp điểm sao cho tiếp tuyến tại các cặp điểm này song song nhau, đồng thời tập hợp các đường thẳng nối các cặp điểm này đồng quy tại một điểm cố định
Bài 11 Cho hàm số y 4x 5
2x 3
−
=
− + và điểm M bất kỳ thuộc đồ thị Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tiếp
tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B
1) Chứng minh M là trung điểm AB.
2) Chứng minh rằng SΔIAB không đổi.
3) Tìm M để chu vi ΔIAB nhỏ nhất
Bài 12 Cho hàm số y 2mx 3
x m
+
=
− ( m là tham số ).
Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tạo nên một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 13 Cho hàm số y (3m 1)x m
x m
=
+ ( m là tham số ).
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với Ox song song với đường thẳng y= − −x 5.
Bài 14 Cho hàm số y x m
x 2
+
=
− ( m là tham số ).
Tìm m để từ điểm A 1;2 kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC đến đồ thị sao cho ΔABC đều (ở đây ( )
B, C là hai tiếp điểm)