DE +DA CAP TOC T6/2010

Tớnh theo a khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng SAC.. Lập phương trỡnh mặt phẳng P đi qua A, song song với d và khoảng cỏch từ d tới P là lớn nhất.. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một

Sở gd & đào tạo quảng ninh đề thi thử đh , cĐ 09

I.Phần chung:

Câu 1(2,0 điểm): Cho hàm sốy x= 3 +2mx2 +(m+3)x+4 cú đồ thị là (Cm)

1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trờn khi m = 1

2) Cho (d) là đường thẳng cú phương trỡnh y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số

m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phõn biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú diện tớch bằng 8 2

Câu 2: ( 2 điểm) 1 Giải hệ phương trỡnh:

8 27 18





2 Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m sao cho phương trỡnh sau cú nghiệm thực:

91 1+ −x2 −(m+2)31 1+ −x2 +2m+ =1 0

Câu 3: ( 1đ) Cho hỡnh chúp S ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a Tớnh theo a khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC)

Câu 4 ( 1đ) Tìm nguyên hàm =∫

x x

dx

cos sin

Câu 5( 1đ) Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2010 + b2010 + c2010 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a4 + b4 + c4

II Phần riêng( Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)

Theo chơng trình chuẩn

Câu 6 a ( 2 đ)

1.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ∆ ABC cú diện tớch bằng 3

2; trọng tõm G của ∆ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0.Tỡm bỏn kớnh đường trũn nội tiếp ∆ ABC.

2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d cú phương trỡnh

3

1 1

2

1= = −

x

Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cỏch từ d tới (P) là lớn nhất

Câu 7a( 1đ)

Tính : z = 1 + (1 + i) + (1+ i)2 + (1+ i)3 + + (1+ i)… 20

Theo chơng trình nâng cao

Câu 6b (2đ)

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đờng thẳng d

có phơng trình x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình

3

1 1

2

1= = −

x

Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P)

là lớn nhất

Câu 7b(1đ) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ

số chẵn và ba chữ số lẻ

Hết

Sở gd & đào tạo quảng ninh đáp án thi thử đh , cĐ 09

trêng thptyªn hng M«n to¸n - khèi a



1 1 1) ( Các bướ c kh o sát HS t th c ả ự ự hi n) ệ

B ng bi n thiên ả ế :

+ H m s luôn à ố đồng bi nế

1®

2 Phương trình ho nh à độ đ ể i m chung c a (Củ m) v d l :à à

=





2

0

2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0

( ) 2 2 0 (2)

x

(d) c t (Cắ m) t i ba i m phân bi t A(0; 4), B, C ạ đ ể ệ ⇔phương trình (2) có 2 nghi m phân bi tệ ệ

khác 0

≤ − ∨ ≥

∆ = − − > 

⇔ = + ≠ ⇔ ≠ −

/ 2 2 0 1 2 ( )

2 (0) 2 0

m

M t khác: ặ − +

= 1 3 4 =

2

∆ =8 2⇔ 1 ( , ) 8 2= ⇔ =16⇔ 2=256

2

KBC

(x B x C) (y B y C) 256

⇔ − + − = v i ớ x x l hai nghi m c a ph ng trình (2) B, C à ệ ủ ươ

⇔(x B −x C) (2 + x B + −4 (x C+4))2 =256⇔2(x B−x C)2 =256⇔(x B +x C) 42− x x B C =128

2

1 137 2

1®

2 1 T (1) ừ ⇒ y ≠ 0

H ệ⇔

3

3

2 2

t a = 2x; b =

y Ta có h :ệ

1 ( ) 3

a b

ab

ab a b

+ =



S: H ã cho có 2 nghi m

3 5; 6 , 3 5; 6

1

2 Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho phị ủ ố ự ương trình sau có nghi m th c:ệ ự

91 1+ −x2 −(m+2)31 1+ −x2 +2m+ =1 0(1)

* k Đ x∈[-1;1], đặt t = 31 1 + −x2 ; x∈[-1;1]⇒t∈[3;9]

Ta có: (1) vi t l i ế ạ

2

2

t

− +

−

Xét h m s f(t) = à ố

2 2 1 2

t

− +

− , v i ớ t∈[3;9] Ta có:

2

3 ( 2)

t

t t

=



− +

L p b ng bi n thiên ậ ả ế

7

4

C n c b ng bi n thiêng, (1) có nghi mă ứ ả ế ệ x∈[-1;1] ⇔ (2) có nghi m ệ t∈[3;9]⇔

48 4

7

m

≤ ≤

1

3 G i M l trung i m c a BC v O l hình chi u c a S lên AM ọ à đ ể ủ à à ế ủ

Suy ra: SM =AM =a23; ·AMS= 60 0 v SO à ⊥ mp(ABC)

⇒ d(S; BAC) = SO =34a

G i Vọ SABC- l th tích c a kh i chóp S.ABCà ể ủ ố

⇒ VS.ABC =1 . 3 3

3S ABC SO a16

∆ = ( vtt)đ

M t khác, Vặ S.ABC =1 ( ; )

3S∆SAC d B SAC

∆SAC cân t i C có CS =CA =a; SA =ạ a23

⇒ S SAC a2 1613 3

1

C S

A

B

V y: d(B; SAC) = ậ 3 3

13

S ABC SAC

S∆ = ( v d) đ đ

4

=

x x

dx x

x x

dx

cos 2 sin

8 cos cos sin

đặt tanx = t

dt t t t

t

dt I

t

t x x

dx dt

+

=

⇒

+

=

=

⇒

3

3 2

3 2

2 2

) 1 ( ) 1

2 ( 8

1

2 2 sin

; cos

C x x

x x

dt t t t t

dt t

t t t

+

− +

+

= +

+ +

=

+ + +

=

∫

∫

−

2 2

4 3

3

3

2 4 6

tan 2

1 tan

ln 3 tan

2

3 tan

4

1 )

3 3 (

1 3 3

1

5 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có

) 1 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4

2005

a a

a a a a

a a

+ + + +   



Tơng tự ta có

) 2 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4

2005

b b

b b b b

b b

+ + + +   



) 3 ( 2009

2009 1

1

1 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4

2005

c c

c c c c

c c

+ + + +   



Cộng theo vế (1), (2), (3) ta đợc

) (

2009 6027

) (

2009 )

( 4 6015

4 4 4

4 4 4 2009

2009 2009

c b a

c b a c

b a

+ +

≥

⇔

+ +

≥ +

+ +

Từ đó suy ra P=a4 +b4 +c4 ≤3

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3

1

6a 1

G iọ C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = 5 2

2

ABC

AB∆

− − =

⇒ a b− − = ⇔  − =5 3 a b a b− =8(1)2(2); Tr ng tõm G ọ ( 5; 5)

3 3

a+ b− ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)

T (1), (3) ừ ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = 3

2 65 89

S

T (2), (3) ừ ⇒ C(1; –1) ⇒ r= =S p 2 2 5+3

1

2 G i H l hỡnh chi u c a A trờn d, m t ph ng (P) i qua A v (P)//d, khi ú kho ng cỏchọ à ế ủ ặ ẳ đ à đ ả

gi a d v (P) l kho ng cỏch t H ữ à à ả ừ đến (P)

Gi s i m I l hỡnh chi u c a H lờn (P), ta cú ả ử đ ể à ế ủ AH ≥HI=> HI l n nh t khi ớ ấ A≡I

1

V y (P) c n tỡm l m t ph ng i qua A v nh n ậ ầ à ặ ẳ đ à ậ AH l m vộct phỏp tuy n.à ơ ế

M t khỏc, ặ H∈d ⇒H(1+2t;t;1+3t)vỡ H l hỡnh chi u c a A trờn d nờnà ế ủ

0 ( (2;1;3)

AH d⊥ ⇒ uuur rAH u= ur=

l vộc t ch phà ơ ỉ ương c a d) ủ ⇒ H(3;1;4)⇒ AH(−7;−1;5)

V y: (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 ậ ⇔7x + y – 5z –77 = 0

7a

i

i i

i i i

i

) 2 1 ( 2 2

) 1 ( 1 ) 1 )(

1 ( 1 1 ) 1 ( 1

) 1 (

+ +

−

=

−

+ +

=

−

+ +

−

= +

−

+

−

Dùng tổng của cấp số nhân với công bội bằng 1+i

1

6b 1 Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB,

AC tới đờng tròn và AB⊥ AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3⇒IA=3 2







=

−

=

⇔

=

−

⇔

=

−

⇔

7

5 6

1 2

3 2

1

m

m m

m

1

2 Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d

và (P) là khoảng cách từ H đến (P)

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi A≡I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.

) 3 1

;

; 2 1 ( t t t H

d

H∈ ⇒ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên

) 3

; 1

; 2 ( ( 0 = =

⇒

AH là véc tơ chỉ phơng của d) ⇒H(3;1;4)⇒ AH(−7;−1;5)

Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0

 7x + y -5z -77 = 0

1

7b Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 10

5 =

C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng

đầu) và 3

5

C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2

5

5

C = 100 bộ 5 số đợc chọn.

Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả 2

5

5

C 5! = 12000 số.

Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là 3.4! 960

5

1

4 C =

C Vậy có tất cả

12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán

1