Co Ly Thuyet - Phan 2

Vị trí của vật được xác định bởi gốc toạ độ R gắn chặt với vật và ma trận cô sin chỉ phương, vận tốc góc được định nghĩa bằng công thức 1.11, trong đó các thành phần của nó được xác định

3 Gia tốc góc của vật rắn.

Định nghĩa Gia tốc góc của vật rắn, ký hiệu  là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc 

dt

d







Hình 2.3

Tóm tắt Chụyển động của vật rắn trong không gian đối với hệ R 0 được đặc trưng bởi vị trí, vận tốc góc và gia tốc góc Vị trí của vật được xác định bởi gốc toạ độ R gắn chặt với vật và ma trận cô sin chỉ phương, vận tốc góc được định nghĩa bằng công thức (1.11), trong đó các thành phần của nó được xác định từ công thức (1.10) Gia tốc góc được định nghĩa bằng công thức (1.14) Chú ý rằng để tính các thành phần của vận tốc góc ta phải sử dụng các công thức (1.7).

§ 2 Đặc trưng động học của từng điểm thuộc vật

Chuyển động của mỗi điểm, như đã biết từ chương I được xác định bởi ba yếu tố: Các phương trình chuyển động; vận tốc và gia tốc của nó Chụyển động của mỗi điểm thuộc vật cũng đặc trưng bằng ba yếu tố đó Trong mục này, ta sẽ tính các yếu

tố này thông qua các yếu tố đặc trưng động học của vật.

1 Phương trình chuyển động của điểm

Xét điểm M thuộc vật Trong hệ R điểm M có các toạ độ x,y,z

còn đối với hệ R 0 có các toạ độ x0 ,y0 ,z0 Giả sử ta biết chuyển động của

vật rắn, t.l biết toạ độ gốc OX0,Y0,Z0 và các phần tử a ij,i, j  1 , 2 , 3 của

ma trận cô sin chỉ phương A Ta tìm các toạ độ x0 ,y0 ,z0

Ta có:

1

z

y

x

z

y

x

O

o

o

o

Oo

OM O O M

0 0 0 0 0

0

0M x e x y e y z e z

O       , OM  ex  ey z ez,

0 0 0 0 0

0

0O X e x Y e y Z e z

O      

nhận được

z a y a x

a

X

x0  0  11  12  13 , (1.16a)

z a y a x a Y

y0  0  21  22  23 , (1.16b)

z a y a x a Z

z0  0  31  32  33 (1.16c)

Hệ phương trình (1.16) là hệ phương trình chuyển động của điểm

M Hệ phương trình này còn viết được dưới dạng ma trận

x0 = X 0 + A x (1.17) trong đó

x 0 =





















0 0 0

z y

x

, X 0 =





















0 0 0

Z Y

X

, x =





















z y

x

(1.18)

còn A là ma trận côsin chỉ phương.

2 Vận tốc của điểm

2.1 Nhận xét rằng theo định nghĩa để có vận tốc điểm thuộc vật ta cần đạo hàm biểu thức (1.17) theo thời gian:

v = dt d x 0 + dt d (Ax).

với các quy tắc tính đạo hàm đã biết và đạo hàm của ma trận sẽ là ma trận

có các phần tử là đạo hàm của các phần tử của ma trận cho trước Trong các chương sau, ta sẽ áp dụng công thức này cho các trường hợp cụ thể 2.2 Ta đưa vào các ký hiệu

M

r M

O0  , OM rOM , O0OrO, Phương trình (2.1) có thể viết lại dưới dạng

OM

Đạo hàm hai vế của (1.15’) theo thời gian ta được

OM

r r

rM O  

Chú ý rằng, vectơ rOM có mô đun không đổi nên áp dụng công thức đạo hàm (1.13), ta được

2

0

R OM R

rOM  

Nếu ta ký hiệu vận tốc của điểm M trong hệ R 0 là vM , vận tốc của điểm

gốc O (trong hệ R 0) là vO , còn rOM là vMO Theo định nghĩa vận tốc của điểm, ta thu được vM v0 vMO,

trong đó

OM

vMO  

2.3 Định lý 2.1 Tại mỗi thời điểm vận tốc của hai điểm A và B bất kỳ thuộc vật rắn liên hệ với nhau qua công thức

AB B

trong đó

BA

vAB  (1.18)

Chứng minh Các công thức của định lý có thể suy ra trực tiếp từ các

công thức vM v0 vMO và vMO  OM với chú ý rằng các điểm O và M

là các điểm bất kỳ thuộc vật rắn Do đó, nếu ta ký hiệu thay cho O là A và thay cho M là B ta sẽ có ngay các công thức của định lý.

Hình 2.4 Liên hệ vận tốc giữa hai điểm

2.3 Định lý 2.2 Hình chiếu vận tốc của hai điểm bất kỳ của vật rắn lên phương nối hai điểm đó bằng nhau.

B AB A

Chứng minh Do vAB BA nên vAB  AB, suy ra hình chiếu của vAB

lên phương AB bằng không Từ đó ta suy ra tính đúng đắn của công thức

(1.17)

3 Gia tốc chụyển động của điểm

3.1 Cũng như đối với vận tốc để tính gia tốc ta đạo hàm theo thời gian biểu thức vận tốc và cũng sẽ tính trong các chương sau cho các trường

3

 

A

v 

A

v 

B

v 

BA

v 

A

B (S)

hợp cụ thể Cần nhấn mạnh rằng công cụ này được sử dụng phổ biến để tính toán các hệ cơ học phức tạp chứa nhiều vật rắn

3.2 Đạo hàm theo thời gian công thức (1.17), ta được

dt

v d dt

v d dt

v

dA B AB



chú ý rằng vAB BA, đồng thời theo công thức Euler về đạo hàm của vectơ có mô đun không đổi

  

dt

d dt

v

d AB















dt

dBA BA

dt

d





BA



 

Ta đưa vào các ký hiệu

BA

w q

AB 



(1.20a)

ht AB

w       AB (1.20b)

và quy ước gọi tương ứng là gia tốc quay và hướng trục của điểm A quanh điểm B Như thế ta nhận được

ht AB

q AB B

Như thế ta có định lý về gia tốc dưới đây

Định lý 2.3 Tại mỗi thời điểm, gia tốc hai điểm

A và B bất kỳ thuộc vật chuyển động liên hệ với nhau qua công thức (1.21), trong

đó các thành phần q

AB

w và ht

AB

w được xác định theo các công thức (1.20).

Ta tính các thành phần q

AB

w và ht

AB

w

Theo định nghĩa w q BA

AB 



, do đó, q

AB

w nằm trong mặt phẳng vuông góc với chứa điểm A, vuông góc với BA, hay cũng thế q

AB

w tiếp

tuyến với vòng tròn tâm B bán kính d (d là khoảng cách từ A đến) nằm trong mặt phẳng vuông góc với chứa điểm A Giá trị của q

AB

w là







w q

Còn về ht

AB

w , ta có

) ( )







BA BA BA

w ht

4

B

A

ht AB

w 

q AB

w 

 

 

d



d





I

Hình 2.5 Liên hệ gia tốc giữa hai điểmthuộc vật rắn

Ta ký hiệu các vectơ đơn vị theo các phương  và BA tương ứng là e

và eBA Khi đó





ht

w (  ) (  )  2 cos ,   2 

 BA e e BA e AI

AB

2



AI

e

d

2



AI

ht

CHƯƠNG III

TRƯỜNG HỢP RIÊNG: CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN VÀ CHUYỂN ĐỘNG QUAY XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH CỦA VẬT

RẮN

5

Trong chương này và hai chương tiếp theo ta sẽ áp dụng lý thuyết trình bày trong chương trước vào các trường hợp riêng quan trọng nhất trong kỹ thuật Đó là các chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay của vật xung quanh một trục cố định, chuyển động song phẳng và chuyển động quay xung quanh một điểm cố định của vật rắn.

§ 1 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn.

1. Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động trong đó một đoạn thẳng bất kỳ vẽ trong vật luôn luôn song song với phương ban đầu của nó

Ví dụ chuyển động trong thực tiễn rất phong phú Đơn giản nhất là chuyển động của thùng toa xe của đoàn tàu chuyển động trên đường ray thẳng Trong ví dụ này, mọi điểm của thùng toa xe đều chuyển động thẳng Trong kỹ thuật có nhiều chuyển động tịnh tiến mà quỹ đạo các điểm không thẳng, chẳng hạn, pê đan của xe đạp, khi chân người đạp giữ song song với mặt đường, sẽ chuyển động tịnh tiến; cơ cấu hình bình hành trong đầu máy xe lửa chuyển động tịnh tiến v.v…

2 Tính chất động học của vật chuyển động tịnh tiến

Định lý 1 Ma trận côsin chỉ phương của vật chụyển động tịnh tiến là ma trận đơn vị Vận tốc góc và gia tốc góc của vật bằng không.























1 0 0

0 1 0

0 0 1

Chứng minh Ta gắn vào vật hệ toạ độ (R): Oxyz sao cho các trục của nó song song với các trục tương ứng của hệ trục (R 0): O0x0y0z0 Do vật chuyển động tịnh tiến nên các trục này có hướng không đổi, nên





















 1 ,

, 0 ) , cos(e e , trong đó  ,  x,y,z

Từ đó ta nhận được ma trận côsin chỉ phương của vật chuyển động tịnh tiến bằng ma trận đơn vị

Do các vectơ đơn vị chỉ phương của hệ trục R không đổi cả phương

và độ dài, nên đạo hàm của chúng theo thời gian bằng không, từ đó suy ra

0



 Từ đây ta lại suy ra  0 Định lý được chứng minh

Định lý 2 Trong chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo các điểm giống hệt nhau, vận tốc và gia tốc của chúng tương ứng bằng nhau:

B

Chứng minh

6

A

r 

B

r 

Hình 3.1

Ta có rB rA AB Do vectơ AB không đổi, nên vị trí của điểm B bất kỳ luôn luôn tìm được bằng cách tịnh tiến vị trí điểm A đi vectơ AB không đổi Từ đó suy ra quỹ đạo của điểm B nhận được bằng cách tịnh tiến quỹ đạo điểm A đi một vectơ AB Các công thức (1.2) thu được bằng cách áp

dụng trực tiếp công thức (2.3), (2.4) và (2.6), (2.7) của chương II Định lý được chứng minh

§ 2 Chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định

1 Định nghĩa Chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục cố định là chuyển động trong đó vật luôn có 2 điểm cố định, do đó có một đường thẳng nối hai điểm đó cũng cố định Đường thẳng nối hai điểm đó gọi là trục quay của vật.

Trong thực tế kỹ thuật các vật quay xung quanh trục cố định rất phổ biến, chẳng hạn, trục của các động cơ điện, các trục chính của các máy công tác v.v… là những vật quay xung quanh trục cố định

Hình 3.2

2 Các đặc trưng động học của vật quay xung quanh một trục cố định 2.1 Phương trình chuyển động của vật

7

z, z

0

x

y

y0

φ

Đối với vật quay xung quanh một trục cố định ta chọn các hệ R và

R 0 có chung gốc O và trục Oz trùng với Oz 0 nằm trên trục quay Khi đó

Ox lập với Ox 0 cũng như Oy lập với Oy 0 các góc như nhau, ta ký hiệu là

 Trong trường hợp này ma trận côsin chỉ phương có dạng





















1 0 0

0 cos sin

0 sin cos









Như thế, phương của các trục toạ độ được xác định hoàn toàn bởi góc 

và vị trí của vật được xác định hoàn toàn chỉ bởi góc   được gọi là góc quay của vật Theo sự diễn tiến của thời gian góc  thay đổi theo thời gian, t.l

)

(t



Phương trình vừa viết (1.4) được gọi là phương trình chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định.

2.2 Vận tốc góc và gia tốc góc của vật rắn

2.2.1 Vận tốc góc

Theo định nghĩa, các thành phần của vectơ vận tốc góc được tính theo công thức (1.10), (1.7), § 1 ở chương II Áp dụng các công thức này,

ta có

0

0 sin

e     ,

0

0 cos

e     

0

z

z e

e  Đạo hàm các đẳng thức này theo thời gian, ta được

) cos

y x

e        =



 sin cos sin cos sin cos = xy ey  xz ez;

) sin

y x

e        =



 cos cos sin sin sin cos  yz ez  zx ex

0



z

e

So sánh với các công thức (1.7), ta được

0



Vậy, vận tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định là

z

e







z

z e

e  , nên vectơ vận tốc góc của vật quay xung quanh một trục

cố định luôn luôn nằm trên trục quay của vật, có trị số bằng giá trị tuyệt đối của đạo hàm góc quay của vật

Trong các tính toán thực hành, để đơn giản ta thường hiểu vận tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định là một đại lượng đại số, ký hiệu  bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay , t.l



Và được biểu diễn bằng mũi tên vòng (Hìn 3.3)

8

Hình 3.3

2.2.2 Gia tốc góc của vật Theo định nghĩa gia tốc góc của vật bằng đạo hàm của vận tốc góc, nên ta có ngay

0

z

e 









     ez

(1.7)

Trong các tính toán thực hành ta còn hiểu gia tốc góc của vật quay xung quanh một trục cố định là một đại lượng đại số, ký hiệu là  , tính bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc (đại số)





2.3 Khảo sát các tính chất chuyển động của vật quay xung quanh một trục cố định

Định nghĩa Chuyển động quay của vật được gọi là nhanh dần nếu trị số vận tốc góc tăng và chậm dần nếu trị số vận tốc góc giảm.

Định lý Điều kiện để vật chuyển động nhanh dần (chậm dần) nếu các vectơ vận tốc góc và gia tốc góc cùng chiều (ngược chiều), t.l.

0  

 ,    0 (1.9)

hay cũng thế

0





   , (      0 ) (1.9’)

9

 



Nhanh dần Chậm dần

Hình 3.4

Chứng minh Từ điều kiện  tăng (giảm), ta suy ra bình phương của nó  2 cũng tăng (giảm) Chú ý rằng 2 2



  , nên đạo hàm theo thời gian và dựa vào tính chất đạo hàm của hàm tăng (giảm) ta suy ra kết luận của định lý.

Các chuyển động quay biến đổi đều Trong thực tiễn thường xảy ra các chuyển động

quay biến đổi đều Chuyển động của vật quay xung quanh một trục cố định được gọi

là biến đổi đều nếu gia tốc góc không đổi Không giảm tính tổng quát, ta giả thiết rằng

vật quay theo chiều dương Khi đó, nếu vật quay nhanh dần đều gia tốc góc sẽ có giá trị dương   0 và chậm dần đều nếu gia tốc góc âm    0 Vận tốc góc của vật khi

vật chuyển động nhanh dần (chậm dần) đều là

C

dt 



 = t  C, (    dt C   t  C) trong đó C được xác định từ điều kiện ban đầu Giả sử tại t  0 ,  ( 0 )   0 Khi đó phương trình trên trở thành

0





  t ,    t 0.

Từ đây suy ra phương trình chuyển động quay nhanh dần (chậm dần) đều của vật là



  (t) dt

2

1

0

t   

2

1 (    t2  0tC , hằng số C' được xác định từ điều kiện ban đầu t 0 ,  ( 0 )   0 Cuối cùng, ta có

0 0 2 2

1







2 2

1







   t  t

3 Các đặc trưng động học của các điểm thuộc vật chuyển động quay xung quanh một trục cố định

3.1 Phương trình chuyển động

10 x

x0

y

y0 φ

Hình 3.5

Xét điểm M thuộc vật, vectơ r  OM nối từ gốc O của hệ toạ độ đến điểm

M xác định vị trí của M trong hệ động R có các thành phần tương ứng là

x, y, z Trong trường hợp này X0 Y0 Z0  0 Áp dụng phương trình (1.17) chương II với ma trận cô sin chỉ phương (1.3) ta tìm được



 sin cos



sin

Nhớ rằng, x, y là các hằng số còn   (t), ta sẽ khử t từ hai phương trình này bằng cách bình phương hai vế rồi cộng lại, ta được

const y

x y

x02 02 2 2  2 Như thế quỹ đạo của các điểm thuộc vật quay xung quanh một trục cố định là một đường tròn tâm O' - giao điểm của trục quay với mặt phẳng

chứa điểm M vuông góc với trục quay- , bán kính bằng  - khoảng cách

từ M đến trục quay.

3.2 Vận tốc của điểm M.

Định lý Tại mỗi thời điểm vận tốc của điểm M bất kỳ thuộc vật bằng tích

có hướng của vectơ vận tốc góc của vật và vectơ định vị r của điểm:

r

Nói cách khác, vận tốc của điểm M vuông góc với đường thẳng vuông góc hạ từ M vào trục quay, có chiều phù hợp với chiều quay của vật và

có trị số bằng tích vận tốc góc với khoảng cách từ M đến trục quay

'

MO

(1.10’)

Chứng minh Thật vậy, áp dụng các công thức (1.17), (1.18) ch.II, với các

ký hiệu O thay cho B, M thay cho A, vO  0, ta có ngay công thức (1.10) Cách phát biểu khác của định lý chỉ là diễn tả cụ thể phương, chiều, mô đun của vectơ tích Định lý được chứng minh

11

M

v 



Hình 3.6

3.3 Gia tốc của điểm M.

Định lý Tại mỗi thời điểm gia tốc của điểm gồm hai thành phần: Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến.

n

w w

Gia tốc tiếp tuyến w tiếp xúc với quỹ đạo tại điểm đó, có chiều phù hợp với chiềugia tốc góc  và có trị số





 

Gia tốc pháp tuyến luôn luôn hướng từ M vào O’ có trị số



 2



n

Chứng minh Áp dụng các công thức (1.20), (1.21) ch.II với chú ý rằng ta

ký hiệu lại O thay cho B, M thay cho A, wO  0, ta được

r r

wM     Bây giờ ta đưa vào các ký hiệu:

r

w , wn   r (1.13)

và thu được biểu thức gia tốc của M

n

w   

Hình 3.7

Trực tiếp áp dụng định nghĩa tích có hướng giữa  và r ta suy ra kết luận về vectơ gia tốc tiếp tuyến Đối với gia tốc pháp tuyến ta có dãy tính toán sau đây (theo định nghĩa tích vectơ kép)

    







     



.r r r

w n 2r r ez 2r

, cos

Từ công thức cuối cùng này, ta thấy wn bằng hiệu của hai vectơ

OM

OO ' ; t.l

12



W 



W 

n

W 

n

W 

2MO

wn   , Vậy wn hướng từ M vào O’ và có trị số

   

2 sin r , ez 2

Định lý được chứng minh

Ví dụ 1.

Lập phương trình chuyển động, tính vận tốc và gia tốc của cần của cam tịnh tiến trên hình vẽ Cam là nửa vòng tròn bán kính r  25cm chụyển động quanh O

theo quy luật x 5 sin 3 t cm, t tính bằng giây Khoảng cách từ O đến trục cần là

cm

a 2

Cơ cấu cam là cơ cấu dùng để biến đổi chuyển động nhằm đạt được các chuyển động

có dạng đặc biệt: phổ biến nhất là biến các chuyển động đều đặn thành các chuyển động dừng từng đoạn - chuyển động bước Do đó nó thường có mặt trong các máy tự động Bộ phận chính của cơ cấu cam là cam và cần Cần là một thanh tỳ trên bề mặt cam và quy luật chuyển động của nó phụ thuộc vào hình dạng cam - gọi là biên dạng cam.

Bài giải.

Chọn trục toạ độ có gốc tại O Vị trí của cam xác định bởi toạ độ y của điểm

A Tại thời điểm t tâm cam đến vị trí O 1 Theo đầu bài ra ta có OO 1 x Vậy

2 2

2 1 2

1 2 1 2

1A CO O A (OC OO) r (a x)

O CA

trong đó x 5 sin 3 t cm Phương trình chuyển động của cần cam là

2

2 (a 5 sin 5 t)

r

y   

x

O C

Hình 3.8

Ta đưa vào tính toán bằng MAPLE như sau.

> y:=t->sqrt(25^2-(2-5*sin(3*Pi*t))^2);

13

O 1 A a