Co Ly Thuyet - Phan 3

Trong thực tiễn có rất nhiều vật chuyển động song phẳng, chẳng hạn bánh xe lửa chuyển động trên đoạn đường ray thẳng; các bánh răng trong các hộp số của các máy công tác; thanh truyền tr

Ví dụ 2 Để nâng vật nặng A người ta sử dụng cơ cấu tời như hình vẽ Cho biết vật

nặng A chuyển động theo luật s=2+70t2, (s tính bằng cm, t - giây); R2 =50cm;

cm

r2 =30 ; R3 =60cm Tính vận tốc góc, gia tốc góc của bánh 3 và vận tốc, gia tốc điểm M cách trục quay một khoảng bằng r3 =40cm ở thời điểm khi vật nặng A di chuyển được một đoạn s1 = 40 cm.

Cơ cấu được khảo sát trong ví dụ này là cơ cấu truyền động bằng dây đai Sợi dây

(hay gọi là dây đai) nối phải đảm bảo đủ nhám để không xảy ra sự trượt của dây trên bề mặt tiếp xúc với các đĩa (còn gọi là các bánh xe) và dây đai luôn được coi là không dãn Với các

giả thiết đó vận tốc các điểm biên của các đĩa tiếp xúc với dây đai bằng vận tốc của các điểm của dây

Bài giải

Hình 3.12

Thoạt tiên ta xét vật A Vận tốc và gia tốc của A là:

s cm t s

v A =  =140 / ; w A =s=140cm/s2;

và thời gian di chuyển được đoạn đường 40 cm tìm được từ phương trình

4070

2+ t2 = Suy ra = − =

70

240

35

19

Như thế, v A =v E; v E =ω2.r2, ta suy ra t t/s

3

1430/140

quay dương (ngược chiều kim đồng hồ)

s cm t t

R v

3

7003

1450

700

Vận tốc góc của bánh 3 có chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ)

Tại thời điểm khi vật A đi được 40 cm vận tốc góc bánh 3 là = = =

35

199

35

35 19

M

v A

v 

E

32

1

2

2 3

và có chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ)

Vận tốc và gia tốc điểm M nằm trên bánh 3 cách trục quay một khoảng bằng

s cm r

35

193

3530.35

199

35.3

=ω

n M M

2 2

2 3

2

3 30 240,63 /

35

199

35

s cm r

w n

Các vectơ vận tốc và gia tốc của điểm M có chiều chỉ ra trên hình vẽ.

Bài tập.

1 Một vật quay nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ Lúc t 1= s , điểm M cách trục

quay một khoảng r=2m có gia tốc w M =a=2 2m/s2 Tìm gia tốc của điểm cách trục quay một khoảng R 4= m tại thời điểm t =2s

2 Gia tốc một điểm trên vành vô lăng làm với bán kính góc 60 Gia tốc tiếp 0

của nó cũng tại thời điểm đó là wτ =10 3m/s2 (hình vẽ) Tìm gia tốc pháp của điểm cách trục quay một khoảng r=0,5m Cho biết bán kính vô lăng là

m

1

3 Cơ cấu cam gồm bánh quay lệch tâm có bán kính r Trục quay cách tâm cam

một khoảng là OC =d Cam quay đều với vận tốc góc ω =const Tìm

phương trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của cần AB của cam.

4 Cơ cấu tay quay thanh truyền gồm tay quay OA độ dài r quay đều với vận tốc

góc ω0 xung quanh trục O Thanh truyền AB có độ dài l được gắn bản lề với tay quay tại A và với con trượt tại B Giả thiết rằng tỷ số độ dài tay quay và

thanh truyền rất nhỏ, t.l = = <<1

l

r AB

OA

λ Hãy xác định

H bài 3 H bài 4

a) Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc điểm B;

b) Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc của trung điểm M của thanh AB.

C O

5 Hộp biến tốc có các bánh răng với số răng tương ứng là z1 =10, z2 =60,

70,

CHƯƠNG IV TRƯỜNG HỢP RIÊNG:

CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

Chương này sẽ áp dụng lý thuyết chung vào một trường hợp riêng chuyển động của vật rắn phổ biến nhất trong kỹ thuật Do đó, ngoài lý thuyết tổng quát, trong chương này sẽ tập trung trình bày các đặc trưng của các vật chuyển động song phẳng và các công thức tính toán để áp dụng vào thực tiễn cho sinh viên các khối ngành kỹ thuật.

§ 1 Định nghĩa chuyển động song phẳng và các đại lượng động học của nó.

1 Định nghĩa và ví dụ.

Định nghĩa Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong

đó mỗi điểm của nó luôn luôn nằm trong một mặt phẳng

Như thế, tất cả các mặt phẳng chuyển động của các điểm song song với nhau và do đó, song song với một mặt phẳng cố định Ta gọi mặt phẳng

cố định này là mặt phẳng cơ bản, ký hiệu là Π

Trong thực tiễn có rất nhiều vật chuyển động song phẳng, chẳng hạn bánh xe lửa chuyển động trên đoạn đường ray thẳng; các bánh răng trong các hộp số của các máy công tác; thanh truyền trong cơ cấu tay quay – con trượt … là những vật chuyển động song phẳng.

2 Xác định vị trí Phương trình chuyển động của vật.

Giả sử mặt phẳng cố định Π cắt vật theo thiết diện S Như vậy trong quá trình chuyển động thiết diện S sẽ trượt trên mặt phẳng cố định Π Với chú

ý đó, ta chọn hệ toạ độ O0x0y0z0 (hệ quy chiếu R0) sao cho mặt phẳng

0

0x y

O trùng với mặt phẳng Π , trục O0z0 vuông góc với mặt phẳng O0x0y0

sao cho hệ trục toạ độ O0x0y0z0 là hệ toạ độ thuận Ta chọn hệ toạ độ

Oxyz (hệ quy chiếu R) gắn chặt với vật có các trục Ox, Oy gắn với S còn

Oz song song cùng chiều với O0z0 Góc giữaO0x0 và Ox cũng như giữa

0

0y

O và Oy bằng nhau, do đó ta ký hiệu các góc này làϕ Dấu của ϕ là

dương nếu nhìn từ hướng dương của O0z0 lại thấy O0x0 quay đến Ox

ngược chiều kim đồng hồ và là âm trong trường hợp trái lại Ma trận cô sin chỉ phương của vật chuyển động song phẳng sẽ nhận dạng

0cossin

0sincos

ϕϕ

ϕϕ

Theo cách xác định vị trí của vật rắn ta suy ra vị trí của vật trong trường

hợp này được xác định bởi các toạ độ điểm gốc O và góc ϕ (vì ma trận cô

sin chỉ phương chỉ phụ thuộc vào ϕ):

),(

0

0 X t

X = Y0 =Y0(t), Z0 =0; ϕ =ϕ(t).

Như thế vị trí của vật chuyển động song phẳng được xác định bởi ba tham

số X0,Y0 và ϕ Do đó phương trình chuyển động của vật chuyển động

song phẳng là:

),(

0

0 X t

X = Y0 =Y0(t), ϕ =ϕ(t) (1.2)

Chú ý Từ phương trình chuyển động của vật chuyển động song phẳng ta

thấy ngay vị trí của vật được xác định hoàn toàn bởi vị trí của thiết diện S

trong mặt phẳng O0x0y0, do đó khi lập phương trình chuyển động của vật chuyển động song phẳng ta chỉ

cần xét một thiết diện bất kỳ của

vật song song với các mặt phẳng

chuyển động của các điểm Thiết

diện này gọi là thiết diện phẳng

của vật.

Ví dụ 3.1.Lập phương trình chuyển

động của bánh xe động trong cơ cấu

hành tinh biểu diễn trên hình vẽ Bánh

xe cố định có bán kính R 20= cm,

bánh xe động lăn không trượt trên

vành bánh xe cố định và có bán kính r 15= cm Tay quay OA quay theo quy luật

O

Thiết diện phẳng của vật

bánh xe động đến vị trí biểu diễn bằng đường đậm, trục Ax đến vị trí mới là A1x Ta cần xác định các tham số X , A Y A và góc ψ =∠(A1x,Ox0) Ta có

M M ddc r

M M ddc x

ϕψ

=

r

r R r

R

(c)

Hệ phương trình (a), (b), (c) là hệ phương trình vi phân chuyển động của bánh xe động

Ví dụ 3.2 Sơ đồ tay máy phẳng hai khâu nối với nhau bằng các khớp quay có thể

xem như hai thanh OA và AB có độ dài tương ứng là l và 1 l Người ta cho các 2

thanh chuyển động theo các quy luật:

Ta chọn các trục toạ độ: Hệ R cố định, hệ 0 R gắn vào AB Ta có phươmng 1

trình chuyển động của thanh AB là

1 1

1 coscos

OA

1 1

1 sinsinϕ l ϕ

OA

πϕϕ

thời gian, ta được

)cos

y x

y x

e ≡ , nên vectơ vận tốc góc của vật chuyển động song phẳng

luôn luôn nằm trên trục Oz, có trị số bằng giá trị tuyệt đối của đạo hàm

góc ϕ của theo thời gian Do vậy, trong các tính toán thực hành, để đơn

giản ta thường hiểu vận tốc góc của vật chuyển động song phẳng là một đại lượng đại số, ký hiệu ω bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc

e 

ϕ

và được biểu diễn bằng mũi tên vòng (Hình 4.4).

4 Gia tốc góc của vật chuyển động

song phẳng.

Theo định nghĩa gia tốc góc

của vật bằng đạo hàm của vận tốc

của bánh xe động trong ví dụ 3.1 Cho

rằng góc ϕ biến đổi theo luật

r R

28123

§ 2 Các đặc trưng động học của các điểm thuộc vật.

1 Phương trình chuyển động của điểm

Xét điểm M bất kỳ thuộc vật Gọi các toạ độ của nó trong hệ R là x ,,y z

Ta sẽ tìm toạ độ của điểm trong

x Y

0cossin

0sincos

ϕϕ

Từ các phương trình này ta suy ra chuyển động của các điểm thuộc vật

nằm trên đường thẳng song song với trục Oz sẽ giống hệt nhau Do vậy,

Hình 4.4 Biểu diễn vận tốc góc bằng mũi tên vòng

từ nay về sau ta chỉ cần xét các điểm trên một thiết diện phẳng của vật và phương trình chuyển động của điểm trên thiết diện phẳng là

2 Vận tốc của các điểm của vật chuyển động song phẳng.

Ta nhắc lại rằng, các điểm của vật chuyển động song phẳng được hiểu là các điểm nằm trên cùng một hình phẳng.

2.1 Biểu thức vận tốc của điểm.

2.1.1 Đạo hàm ma trận cô sin chỉ phương

Các phương trình (1.8) có thể viết dưới dạng ma trận

X y

x

ϕϕ

ϕϕ

cossin

sincos

0

0 0

ϕϕ

cossin

sincos

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

sincos

cossin

cossin

sincos

d dt

d dt

dA

, Đặt:

10

Đạo hàm của ma trận A là

A I dt

=ϕ (2.6) Tương tự, ta tính được đạo hàm bậc hai của A theo thời gian

( ) I A I A

dt

dA I A I dt

A I d dt

0101

1001

10)

(I 2

Vậy

EA A

I dt

2.1.2 Biểu thức vận tốc của điểm

Ta đạo hàm theo thời gian (2.4) theo (2.6)

dA Y

X y

x

0

0 0

X y

x

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

cossin

sincos

01

10

0

0 0

X y

x

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

sincos

cossin

0

0 0

[X x y ]e x [Y (x y ) ]e y

v= 0 −ϕ sinϕ+ cosϕ  + 0 +ϕ cosϕ− sinϕ  (2.9)

Ví dụ 3.4 Viết phương trình chuyển động, vận tốc của điểm M nằm trên biên của

bánh xe động trong ví dụ 3.1

Bài giải

Nhắc lại rằng ta chọn các hệ toạ độ R0 và R như trong các ví dụ 3.1 và 3.2 Khi đó

điểm M trong hệ R sẽ có toạ độ x=rcosα,y =rsinα, trong đó r là bán kính bánh

sin)(

r

r R r

r R

r

r R r r

r

r R r

r R

r

r R r r

=

r

r R r

r R r

r R r

r R

=

r

R r r R r

r R y

điểm M xa điểm O nhất

r R

điểm M gần điểm O nhất

r R

Vận tốc của điểm tính trực tiếp bằng cách đạo hàm theo thời gian các toạ độ x0, y0:

−

r

r R r

R r

R

v x ( )sin ( )sin =−ϕ +  ϕ+  + ϕ+α

r

rRsinsin

)(R r

r

r R r

R r

r

r R r

Ví dụ 3.5 Lập phương trình chuyển động, vận tốc của điểm đầu B của thanh AB

Khảo sát trường hợp đặc biệt khi: l1 =l2 =l, ϕ =1 ω1t, ϕ =2 ω2t

sin

Y

X y

x

A

A B

B

ψψ

ψψ

ψ = 1 + 2 −

Vậy, phương trình chuyển động của điểm B

( 1 2)

2 1

1cosϕ − cosϕ +ϕ

)sin(

Trường hợp đặc biệtl1 =l2 =l, ϕ =1 ω1t, ϕ =2 ω2t, các phương trình này trở thành

( ) ( t t)

l

x B = cosω1 −cosω1 +ω2 (a’)

( ) ( t t)

l

y B = sinω1 −sinω1 +ω2 (b’)

b) Vận tốc của điểm B Đạo hàm theo thời gian (a) và (b), ta được

)sin(

)(

)(

v By = ω1cosω1 −(ω1 +ω1)cos(ω1 +ω ) (e’)

Từ các biểu thức cụ thể này của vận tốc ta có mấy nhận xét sau

- Nếu v Bx =0, thì phương vận tốc điểm B luôn luôn song song với trục Oy t.l điểm B

chuyển động thẳng theo phương y Điều này xảy ra khi:

0)sin(

)(

- Nếu tại thời điểm đầu điểm B nằm trên trục Oy,

2.2 Liên hệ vận tốc giữa hai điểm

Áp dụng các định lý 2.1, 2.2 mục 2, § 2, Ch II, vào vật chụyển động song phẳng ta có các định lý liên hệ vận tốc giữa hai điểm của vật chuyển động song phẳng dưới đây

Định lý 2.1 Tại mỗi thời điểm vận tốc của hai điểm A và B bất kỳ thuộc vật rắn chuyển động song phẳng liên hệ với nhau qua công thức

AB B

AB

v AB =ω (2.12)

Ví dụ 3.6 Tay quay OA của cơ cấu tay quay con trượt quay đều với vận tốc góc ω0

làm cho con chạy B chuyển động khứ hồi dọc theo rãnh B Cho biết OA=r, AB=l

Hãy xác định vận tốc góc ω1 của thanh truyền AB và vận tốc con trượt B tại các thời điểm: a) OAB thẳng hang; b) OA⊥OB

Bài giải Trong các trường hợp a) và b) cơ cấu ở các vị trí như hình vẽ.

Xét thanh AB Ta nhận thấy có thể xác định vận tốc các điểm A và B do điểm A còn thuộc tay quay OA và điểm B trượt dọc theo OB Phương vận tốc các điểm này biểu diễn trên hình vẽ Về trị số

r OA

v A =ω0 =ω0 ;Theo công thức (1.15), (1.16)

AB B

Bây giờ chiếu công thức (a) lên phương Ay ta được

v AB = A =ω0 .Mặt khác

v AB 0

1

ω

b) Ta chú ý đến hình vẽ b) Trong trường hợp này vA //vB,vAB ⊥ AB Do đó,

chiếu công thức này lên phương AB ta có

v A = B =ω0

Chiếu công thức (a) lên phương vuông góc với AB ta có

AB A

v sinα = sinα + Nhưngv A =v B, nên v AB =0 Do vậy, ω1 =0

Ví dụ 3.7 Tính vận tốc góc của bánh xe động trong cơ cấu vi sai ăn khớp trong Cho

biết bánh răng I có bán kính R quay quanh trục cố định O với vận tốc góc ωI còn

bánh xe II có bán kính r chuyển động lăn không trượt bên trong bánh răng I Tay

quay OA quay xung quanh trục O với vận tốc góc ω0 Tính vận tốc góc bánh xe II và vận tốc các điểm K và N nằm trên vành bánh xe II như chỉ ra trên hình 4.9 Cho rằng bánh răng I và tay quay OA đều quay theo chiều dương.

Bài giải.

O

A

B B

Tính vận tốc góc bánh xe II Ta áp dụng công thức

AI I

A v v

v =  +

Ở đây, vA ⊥OA,v A =ω0.OA=ω0(R−r), vI tiếp xúc với các vòng tròn tại I, do đó cũng vuông góc với OA, v I =ωI.OI =ωI.R, còn vAI ta sẽ giả thiết có cùng chiều với A

v và vI, t.l ωII cùng chiều quay của kim đồng hồ Từ đó suy ra

R r

R v

R r

R r

v

.Bây giờ ta xét chiều thực sự của ωII Phụ thuộc vào giá trị cụ thể của ω0 và ωI chiều của ωII sẽ quay cùng hay ngược chiều kim đồng hồ Chẳng hạn, nếu I

r R

R

ωω

R

ωω

v = + ,trong đó, vKA ⊥ AK, hay vKA//vA, cùng chiều với vA, v KA =ωII.KA=ωII.r

Do đó,

R r

R r

r

R r

R r

R r

r R v

v

II KA

A

K = + =ω ( − )+ω =ω ( − )+ω0( − )−ω =2ω0( − )−ω

0 0

Bây giờ ta tính vận tốc điểm N Áp dụng công thức

NA A

−

=+

2

2 0

2 2

0 2

2 2 2

0 2

)()

r

R r

R r

R r

r R v

v

II NA

A

N

ωω

ωω

II



Định lý 2.2 Hình chiếu vận tốc của hai điểm bất kỳ của vật rắn lên phương nối hai điểm đó bằng nhau.

B AB A

AB v hc v

hc  =  . (2.13)

2.3 Tâm vận tốc tức thời.

2.3.1 Định nghĩa Điểm P thuộc mặt phẳng chuyển động (mặt phẳng

Oxy) có vận tốc bằng không vP =0 được gọi là tâm vận tốc tức thời của vật chuyển động song phẳng

Tâm vận tốc tức thời còn được gọi là tâm quay tức thời của vật chuyển động song phẳng.

Nếu vật chuyển động song phẳng có tâm vận tốc tức thời thì vận

tốc của điểm M bất kỳ sẽ tính bằng công thức:

v = + , nhưng vP =0, còn vMP =ω×PM , nên ta có ngay kết quả trên.

2.3.2 Trong quá trình chuyển động tâm vận tốc tức thời luôn luôn thay đổi Tập hợp các điểm này (quỹ tích) tạo thành đường cong C trên mặt

phẳng động Oxy và đường cong C0 mặt phẳng cố định O0x0y0 Khi

chuyển động đường cong C lăn không trượt trên đường cong C0 C gọi là đường lăn hay đường tâm tích động, còn C0 gọi là đường căn cứ hay đường tâm tích cố định.

Ví dụ 3.8 Tìm tâm tích động và cố định đối với thanh AB trượt theo tường thẳng

đứng ở đầu A, còn đầu B trượt theo đường thẳng nằm ngang.

Dễ thấy rằng P luôn luôn nhìn AB dưới góc vuông Do đó quỹ tích của P là nửa đường tròn có đường kính là AB Đây là tâm tích động vì ta xét điểm P đối với AB (mặt

phẳng

động) Mặt khác, đối với tường và nền

(mặt phẳng cố định) điểm P luôn luôn

cách O một khoảng bằng AB Vậy quỹ

tích của nó trong mặt phẳng cố định là

4

/

1 cung tròn tâm O bán kính là AB.

2.3.3 Điều kiện tồn tại tâm vận

tốc tức thời.

Định lý 2.3 Trong chuyển

động song phẳng:

i) Nếu vận tốc góc của vật khác

không ω ≠0, sẽ tồn tại và duy

nhất tâm vận tốc tức thời, vận tốc của các điểm tuân theo công thức

v = +

nhưng ω =0 nên vNM =ω×MN =0 Do đó, vN =vM Vì N và M là hai điểm

bất kỳ nên ta suy ra tính đúng đắn của định lý.

2.3.4 Dựa vào các tính chất của tâm vận tốc tức thời, khi tính toán ta có thể tìm ngay được nếu biết:

i) Vận tốc của một điểm M nào đó vM và phương vận tốc của điểm khác

N cắt nhau (hình vẽ) Nếu hai vectơ vận tốc này không song song với

nhau, tâm vận tốc tức thời P là giao điểm của hai đường vuông góc với

M

v và vN hạ từ chính các điểm đó.

ii) Các vận tốc vM //vN Có thể xảy ra các trường hợp sau đây:

- Cả hai vận tốc này không bằng nhau, vuông góc với đường thẳng MN Khi đó tâm vận tốc tức thời P là giao điểm của MN với đường thẳng nối

hai đầu mút của các vectơ vận tốc (hình vẽ)

- Vận tốc các điểm song song với nhau nhưng không thoả mãn các điều kiện trên thì hai đường vuông góc kẻ được như đã nói trên sẽ không cắt nhau Ta nói rằng tâm vận tốc tức thời ở vô cùng và dễ chỉ ra rằng các vận tốc này bằng nhau và vận tốc góc của vật bằng không ω =0.

iii) Khi giải các bài toán ta thường gặp trường hợp một vật chuyển động phẳng lăn không trượt trên một mặt cố định Khi đó biên của vật là tâm tích động còn biên của vật cố định là tâm tích cố định Do vậy điểm tiếp xúc của vật với mặt cố định là tâm vận tốc tức thời của vật.

Ví dụ 3.9 Giải bài toán trong ví dụ 3.6 bằng cách sử dụng tâm vận tốc tức thời