Dạng chuyển động này là sự dời chỗ của vật chất từ vị trí này sang vị trí khác trong không gian, theo thời gian và được gọi là chuyển động cơ học.. Theo cách đó, vật chất chuyển động tro
Trang 1MỞ ĐẦU
1 Cơ học là khoa học nghiên cứu dạng chuyển động đơn giản nhất của vật chất Dạng chuyển động này là sự dời chỗ của vật chất từ vị trí này sang vị trí khác trong không gian, theo thời gian và được gọi là chuyển động cơ học
2 Cơ học lý thuyết là một phần Cơ học nghiên cứu các quy luật chung nhất về
chuyển động cơ học Để xây dựng được các quy luật chung này, ta phải trừu tượng hoá
các thể vật chất đa dạng của thực tế thành các mô hình nghiên cứu bằng cách giữ lại các yếu tố cơ bản nhất, bỏ qua các yếu tố không đáng kể Theo cách đó, vật chất chuyển động trong cơ học nói chung được gọi là các vật thể và được khảo sát trên hai
mô hình cơ bản là chất điểm và hệ chất điểm, hay hệ cơ học
Chất điểm là một điểm hình học mang vật chất Như thế, trong tính toán chất
điểm được hiểu là không có kích thước, dùng để biểu diễn các vật thể có kích thước không đáng kể so với các kích thước khác của bài toán
Cơ hệ, hay hệ chất điểm là tập hợp các chất điểm mà chuyển động của chúng có
liên hệ mật thiết với nhau
Trường hợp phổ biến khi nghiên cứu các hệ cơ học là khi khoảng cách giữa các chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động Các cơ hệ như thế được gọi là
các vật rắn tuyệt đối Trong thực tế, bất kỳ vật rắn nào khi chịu các tác dụng cơ học
cũng đều có biến dạng Tuy nhiên có rất nhiều trường hợp các biến dạng này rất bé, có thể bỏ qua nên mô hình vật rắn tuyệt đối phù hợp với thực tế và do đó có thể dùng để nghiên cứu
3 Các định luật chung của Cơ học có vai trò quan trọng để nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật Đó là những ứng dụng để giải quyết các bài toán phát sinh trong hầu hết các ngành công nghiệp hiện đại như chế tạo máy, xây dựng công trình, điều khiển tự động, công nghiệp vũ trụ, khí tượng, môi trường v.v… Ngày nay, trong điều kiện phát triển cao của khoa học và công nghệ, các định luật Cơ học càng có ý nghĩa to lớn trong việc tính toán, giải quyết các bài toán mới phức tạp hơn và khó khăn hơn nhiều
4 Có thể coi Cơ học lý thuyết lập nên từ hai phần: Động học và Động lực học
Phần Động học nghiên cứu các đặc trưng chuyển động của các chất điểm và của các vật rắn, còn Động lực học dựa trên các đặc trưng này thiết lập các quy luật chung của Cơ học Đó là các quy luật thể hiện quan hệ giữa các đặc trưng chuyển động và nguyên nhân gây ra chuyển động – các lực Trong mỗi phần sẽ được trình bày các ví
dụ áp dụng các quy luật đó vào các bài toán cụ thể
Trang 2PHẦN THỨ NHẤT
ĐỘNG HỌC
CHƯƠNG I ĐỘNG HỌC ĐIỂM
Trong chương này ta sẽ xét xem chuyển động của một điểm được đặc trưng bằng những đại lượng nào và cách tính các đại lượng đó?
§ 1 Vị trí của điểm chuyển động
1 Chuyển động của điểm là sự dời chỗ của nó trong không gian theo sự trôi của thời gian Ta quan niệm không gian và thời gian trong Cơ học Newton là tuyệt đối, t.l không gian có ba chiều, đẳng hướng ; thời gian trôi đều từ quá khứ đến hiện tại và sang tương lai, hơn nữa, cả không gian và thời gian không phụ thuộc vào vật chất chuyển động trong đó
Để xác định vị trí của điểm, thoạt tiên ta cần lấy
một vật làm mốc Vật làm mốc đó được gọi là hệ quy
chiếu Người ta thường gắn vào các hệ quy chiếu các
hệ toạ độ khác nhau để tính toán, nên trong nhiều
trường hợp ta thường đồng nhất khái niệm hệ quy
chiếu và hệ toạ độ
2 Lấy điểm O thuộc hệ quy chiếu, nối O với điểm
chuyển động M ta được vectơ OM , ký hiệu là r xác định vị trí của điểm chuyển động Vectơ rsẽ thay đổi theo thời gian, do đó là hàm của thời gian, ký hiệu là t Như
thế nếu biết quy luật thay đổi của vectơ r theo t
)
(t
r
ta sẽ biết quy luật chuyển động của M, nên
phương trình (1) gọi là phương trình chuyển động của
điểm dưới dạng vectơ
Đường cong do điểm vạch ra trong không gian
khi chuyển động được gọi là quỹ đạo chuyển động
của điểm.
3 Ta gắn vào hệ quy chiếu hệ toạ độ đề các Oxyz có gốc tại O Khi đó điểm M sẽ xác định bằng các toạ độ x,y,z, còn vectơ r có thể viết dưới dạng
z y
x e z e e
ở đây các thành phần x, y, z là các hàm của thời gian t
2
O
x
y
z
e x
e y
e z
H1.1
z
y
x
O
M Quỹ đạo
H1.2
Trang 3 ( )
) (
t z z
t y y
(3)
Hệ phương trình (3) được gọi là phương trình chuyển động của điểm dưới dạng toạ độ
Đề các
Khử t từ các phương trình (3) ta thu được dạng hiện của phương trình quỹ đạo
của điểm
4 Trong nhiều trường hợp, ta biết trước quỹ đạo chuyển động của điểm, do đó ta có thể sử dụng ngay quỹ đạo chuyển động để xác định vị trí của điểm
Trên quỹ đạo, ta lấy điểm O1 làm
gốc và định ra hướng dương, còn phía
ngược lại là hướng âm Như vậy, tại mỗi
điểm của đường cong ta đã gán cho một
số đại số có trị số bằng độ dài cung từ gốc
đến điểm đó và với dấu tương ứng với
phía của đường cong mà điểm đang ở đó
Ta ký hiệu số này là s và gọi là toạ độ
cong của điểm Khi điểm chuyển động, toạ độ cong s sẽ biến đổi theo t, và do đó là hàm của t
)
(t
s
Phương trình (4) xác định vị trí của điểm nên là phương trình chuyển động của nó (4) được gọi là phương trình chụyển động của điểm dưới dạng tự nhiên
5 Ngoài các dạng phương trình trên, trong những trường hợp cụ thể người ta có thể sử dụng các hệ toạ độ khác như hệ toạ độ cực, toạ độ trụ, hoặc toạ độ cầu và nói chung,
có thể sử dụng một bộ tham số độc lập nào đó để xác định vị trí của điểm
§ 2 Vận tốc chuyển động của điểm
1 Định nghĩa Vận tốc chuyển động của điểm là đại lượng đặc trưng cho độ nhanh
chậm và chiều chuyển động của điểm Nó được ký hiệu bởi v và xác định bằng công thức
r dt
r d
2 Từ (5) và (2) ta có thể tính được
z y
x e z e e
r
và do đó có thể biểu diễn vận tốc của điểm bằng trị số v và các côsin chỉ phương sau
đây
2 2
x
2 2
2
2 2
2
2 2
2
, cos
, cos
, cos
z y
x
z e
v
z y
x
y e
v
z y
x
x e
v
z y x
(7b)
3 Bây giờ ta tìm biểu thức vận tốc khi biết phương trình chuyển động của điểm dưới dạng tự nhiên s s (t) Rõ ràng, vectơ định vị rcó thể được coi là hàm của thời gian thông qua biến trung gian s , t.l
s
O1
M
H1.3
Quỹ đạo
Trang 4s (t)
r
r
Do đó, theo định nghĩa
dt
s d s d
r d dt
r d v
Nhận thấy rằng,
s
MM s
s r s s r s
d
r
d
s
1 0
lim
,
nên d d s r
tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, luôn
luôn hướng về phía dương của quỹ đạo và
có mô đun bằng đơn vị Ta ký hiệu vectơ này là và gọi là vectơ tiếp tuyến đơn vị Như thế,
s dt
s d
Do quỹ đạo biết trước, vận tốc của điểm được xác định hoàn toàn bởi s , nên đôi khi
để đơn giản ta có thể coi định nghĩa vận tốc của điểm là đại lượng
s
v
còn trị số của nó là v s
4 Tóm tắt Vận tốc của điểm được định nghĩa bằng công thức (5), và được áp dụng
tính toán bằng các công thức (7a), (7b) khi cho chuyển động qua các toạ độ Đề các hoặc công thức (8’) khi cho chuyển động của điểm qua toạ độ cong s của nó.
§ 3 Gia tốc chuyển động của điểm
1 Định nghĩa Gia tốc chuyển động của điểm là đại lượng đặc trưng cho sự biến đổi
của vận tốc, t.l sự biến đổi độ nhanh chậm và chiều chuyển động Nó được xác định bởi công thức:
dt
v d w
dt
r
d
2
2
(9)
2 Từ định nghĩa, chú ý đến công thức vận tốc (6) ta rút ra
z y
x e z e e
v
Do đó ta suy ra
2 2
x
2 2
2
2 2
2
2 2
2
,
c os
,
c os
,
c os
z y
x
z e
w
z y
x
y e
w
z y
x
x e
w
z y x
, (11b)
3 Ta thiết lập công thức tính gia tốc khi cho chuyển động của điểm theo toạ độ cong của nó Trước hết ta đưa vào một số đặc trưng hình học của đường cong
3.1 Một số đặc trưng hình học của đường cong.
- Mặt phẳng mật tiếp với đường cong tại mỗi điểm Như đã nói ở trên, tại mỗi điểm
của đường cong có một tiếp tuyến đơn vị (s) Ở hai vị trí liên tiếp M và M1 có toạ
độ cong là s và s s ta có các tiếp tuyến đơn vị tương ứng (s) và (s s) Tại
M ta vẽ vectơ đơn vị MP (s s) Các vectơ (s) và MP sẽ tạo thành mặt phẳng
4
r(s)
s r(s+ )
s
M1
M s
O
O1
H1.4
Trang 5Mặt phẳng giới hạn của mặt phẳng khi s 0 (M 1 M ) gọi là mặt phẳng
mật tiếp của đường cong tại M.
Dễ thấy rằng đối với đường cong
phẳng, mặt phẳng mật tiếp của đường
cong tại mỗi điểm chính là mặt phẳng
chứa đường cong đó Trong trường
hợp tổng quát, mặt phẳng mật tiếp là
mặt phẳng tiếp xúc với đường cong tại
nhiều điểm nhất so với các mặt phẳng
tiếp xúc khác
- Độ cong của đường cong Do là hàm của toạ độ cong s , nên ta tính đạo hàm của nó theo s :
s s
s s
d
d
s
) ( ) (
lim 0
s
KP
s
lim 0
Từ đây, ta có thể suy ra rằng
s d
d
là vectơ nằm trong mặt phẳng mật tiếp, vuông góc với tiếp tuyến đơn vị (s) hướng về phía lõm của quỹ đạo Thật vậy, từ hình vẽ ta thấy, KP hướng vào phía lõm của quỹ đạo và tạo với (s) góc 2 2 , trong đó
là góc lập bởi hai vectơ tiếp tuyến đơn vị (s) và (s s) Khi M 1 M,
)
(s s
(s), nên 2 , t.l (s)
s d
d
Bây giờ, ta đặt vectơ đơn vị n nằm trong mặt phẳng mật tiếp vuông góc với (s) và gọi là vectơ đơn vị pháp tuyến chính của
quỹ đạo tại M Như thế d ds
cộng tuyến với n(s) nên ta đặt
n k s d
d
k được gọi là độ cong của đường cong.
Từ (12), ta có k d ds
nên
s s
s
KP k
s s
0 0
sin 2 lim lim
, Vậy độ cong của đường cong tính bằng công thức
s
k
s
0
Đại lượng nghịch đảo của độ cong, ký hiệu là , 1 /k gọi là bán kính cong của đường cong
5
s
K
P M
M1
Δφ
α
1
H1.5
M
Δs Δφ
M
Δs Δφ
Trang 6Hình 6.Hệ toạ độ tự nhiên Hình 7 Độ cong của đường tròn
Để minh hoạ, ta xét hai trường hợp đặc biệt khi đường cong quỹ đạo là đường
thẳng và đường tròn bán kính R (H.7).
Trong trường hợp quỹ đạo là đường thẳng ta thấy ngay k = 0 và
Trong trường hợp quỹ đạo là đường tròn, thì có giá trị bằng góc ở tâm tạo
bởi hai bán kính OM và OM1,t.l
) , (OM OM1
do đó,
R s R
s s
OM OM s
k
s s
s
1
lim ) , ( lim lim
0 1
3.2 Gia tốc của điểm theo toạ độ cong.
Từ các công thức (8) và (9), ta có
s d
d s s dt
s d s d
d s s dt
d s s s dt
d
Thay biểu thức d ds
bằng biểu thức (12) của nó, ta được
n s s
w
2
hay là
n v s
w
2
Biểu thức (15) hay (15’) là biểu thức gia tốc của điểm theo toạ độ cong
3.3 Gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần
Ta gọi
là gia tốc tiếp tuyến Rõ ràng, w s dv dt sẽ cho ta biết tốc độ biến thiên của trị số
vận tốc theo thời gian Như vậy, gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến đổi độ nhanh
chậm của điểm chuyển động.
Thành phần
n v
wn
2
gọi là gia tốc pháp tuyến Ta có, w n v2 / cho ta biết sự biến thiên về chiều của vận
ốc Chẳng hạn, nếu điểm chuyển động trên đường thẳng , w n 0, còn nếu
chuyển động trên các đường tròn với vận tốc v = const thì đường tròn có bán kính nhỏ,
chiều vận tốc thay đổi nhanh và ngược lại đường tròn có bán kính lớn chiều vận tốc sẽ thay đổi chậm
6
W
n
W
Trang 7Hình 8 Tổng các gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến gọi là gia tốc toàn phần của điểm
n
w w
2 2
n
w w
4 Tóm tắt Gia tốc của điểm được định nghĩa bởi biểu thức wv và được tính toán dựa vào các công thức (12), (13), (16), (17), (18), (19).
§ 4 Khảo sát tính chất các chuyển động
1 Tính chất nhanh chậm.
Định nghĩa Chuyển động của điểm được gọi là nhanh dần (chậm dần), nếu trị
số vận tốc tăng (giảm) theo thời gian, và là đều nếu trị số vận tốc không đổi.
2 Điều kiện để điểm chuyển động nhanh dần (chậm dần).
Định lý Điều kiện để điểm chuyển động nhanh dần (chậm dần) là
0 w
v , (v w 0) (20)
hay cũng thế
0
w
v , (vw 0) (20’)
Hình 9 Vận tốc và gia tốc của điểm trong các chuyển động nhanh dần và chậm dần
Về mặt hình học, các công thức (20) và (20’) nói lên rằng trong trường hợp điểm chuyển động nhanh dần góc lập bởi vận tốc và gia tốc là nhọn, hay vận tốc và gia tốc tiếp tuyến cùng chiều và ngược lại điểm chuyển động chậm dần thì góc giữa vận tốc và gia tốc là tù hay vận tốc và gia tốc tiếp tuyến ngược chiều
Chứng minh Do v tăng, nên v2 v2 cũng tăng, ta suy ra đạo hàm của chúng theo thời gian sẽ nhận dấu dương 2 0
dt
v
d
Tính đạo hàm này cho ta (20)
v w
dt
v
d
2 0
2
Chú ý rằng ww wn, wn , nên
0 vwv(w wn) vw
3 Các chuyển động đặc biệt
Trang 83.1 Chuyển động đều Trong trường hợp này, trị số vận tốc không đổi, do đó, theo (8’) ta được
v dt
s d
, Suy ra
C vt vdt
s
trong đó C là hằng số tích phân Để xác định ta cần biết vị trí ban đầu của điểm, t.l tại
thời điểm t 0 ,s s0, rồi thay vào công thức trên, ta được
0
s vt
s 3.2 Chuyển động biến đổi đều Chuyển động biến đổi đều là chuyển động trong đó gia tốc tiếp của điểm không đổi Theo (20’) để chuyển động là nhanh dần đều thì dấu của gia tốc tiếp và vận tốc ban đầu phải như nhau, còn trong trường hợp trái lại, điểm chuyển động chậm dần đều
Thoạt tiên ta xét trường hợp chuyển động nhanh dần đều Không giảm tính tổng quát, ta giả sử điểm chuyển động về phía dương của quỹ đạo Khi đó, w 0, v0 0
Từ phương trình
w dt
s d
2
2
,
ta rút ra
1
C t w dt w dt
s d
Thay giá trị ban đầu t 0 ,vv0 ta được
0
v t w dt
s d
từ đó suy ra
2 0
2 0
2 )
(w t v dt w t v t C
s Thay giá trị ban đầu t 0 ,s s0 ta nhận được
0 0 2
2 v t s
t w
s
4 Các ví dụ
Ví dụ 1 Viết phương trình chuyển động, quỹ đạo, vận tốc,
gia tốc của điểm M nằm trên vành bánh xe lăn không trượt
trên đường ray thẳng nằm ngang và bán kính cong quỹ đạo
Bài giải
Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy như sau: Trục Ox hướng theođường ray, điểm O ta chọn trùng với vị trí ban đầu của điểm M Với cách chon đó, dựa vào giả thiết bánh
xe chuyển động lăn không trượt ta suy ra độ dài cung
8
Trang 9MP (độ dài cung tròn nối điểm M đang xét đến điểm
tiếp xúc hiện thời P của bánh xe với mặt đường) bằng khoảng cách OP Trục Oy vuông góc với Ox hướng lên
trên.
Hình 10
Từ đó ta tính được
PN OP ON
x , yRRcos R Rcos
OP Đd(MP ) R;
Mặt khác OP ut Từ đó suy ra ut R .
t R
u R R
PN sin sin .
Do đó phương trình chuyển động của điểm M thuộc vành bánh xe
là:
t R u R
R y
t R u R ut x
cos
sin
Có thể coi hệ (a) là phương trình quỹ đạo của điểm dưới dạng tham số Tại các thời điểm t 2u k điểm M tiếp xúc với mặt đường,
và tại các điểm t 2(k u1) , điểm M ở vị trí cao nhất.
Vận tốc của điểm M
P
y
M
Trang 10
R
u u t R
u u u y x
v , cos , sin ,
t R
u u u u y x
R
u
u 2 2 cos
t R
u u t R
u u
t R
u u
2 sin 2 2
sin 2 2 )
cos 1 (
R
u t
R
u u
t R
u u
v
x e
2 sin 2
cos 1 ,
R
u t
R
u u
t R
u u v
y e
v y
2 cos 2
sin 2
sin ,
cos .
Từ đây ta thấy vectơ vận tốc luôn luôn nằm trên
đường thẳng nối từ M đến điểm cao nhất của bánh
xe Khi điểm ở vị trí cao nhất vận tốc song song với đường chuyển động và có trị số lớn nhất, còn khi điểm ở vị trí thấp nhất vận tốc của nó bằng 0.
Gia tốc của điểm M
R
u R
u t R
u R
u y x
2 2
;
R
u t R
u R
u t R
u R
u y x
w
2 2
2
4 2
2
4 2
R
u e
w, x sin cos , t
R
u e
w, y cos cos
Do đó, vectơ gia tốc của điểm luôn luôn hướng
vào tâm C của bánh xe Từ nhận xét đó, ta tìm thấy vectơ gia tốc pháp tuyến sẽ hướng từ M đến
P:
,
2 2
w w
R
u R
u t R
u u dt
d dt
dv w
2
cos 2
sin 2
2
nên
t R
u R
u t R
u R
u R
u
w n
2
sin 2
cos
2 2
2
4 2
4
Từ đó ta tính được bán kính cong của quỹ đạo
10
