I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH.. Gọi M và N lần lợt là các trung điểm của các cạnh SB và SC.. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng
Trang 1đề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề).
I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH
Câu I Cho hàm số y=x3−3x2 +4
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,
M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
1 3
tan 6 tan
3 cos cos 3 sin
−
=
+
−
+
π
x
x x x
x
2 Giải hệ phơng trình :
=
− + +
= +
− +
−
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x
y x
y y
x x
.
Câu III 1. Tớnh tớch phõn: 2 3
0
3sin 2cos (sin cos )
π
−
=
+
∫
Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lợt là các
trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng
( AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Câu V Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng
2
2
3
2 4 2 2
2
z z x y xy
x y
x y
+
II, PHầN RIÊNG (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )
Câu VIa 1 Viết phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC với cỏc đỉnh:
A(-2;3),B( ;0), (2;0)
4
1
C
2 Cho đường thẳng (D) cú phương trỡnh:
2 2
2 2
= − +
= −
= +
.Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1)
song song với (D) và I(-2;0;2) là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn (D) Trong cỏc mặt phẳng qua ∆, hóy viết phương trỡnh của mặt phẳng cú khoảng cỏch đến (D) là lớn nhất
.Câu VIIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 2+8x+4=m(2x+1). x2 +1.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao )
Câu VIb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2);
P(2;0);Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (∆) và ( )∆' có phơng trình
+
=
=
+
=
∆
=
+
=
+
=
∆
4t' 2
t' 2 y
t' 2 -2 x : ; 4
2t
-1
y
t
3
x
z z
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và ( )∆'
Câu VIIb Giải hệ phơng trình
+
−
=
+
= +
+
+
−
1
) 1 ( 2
y x e
x e
e
y x
y x y x
(x, y ∈R )
******** Hết ********
Hớng dẫn chấm môn toán
- Điểm toàn bài không làm tròn.
đề chính thức
Trang 2- Học sinh làm các khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa
- Nếu học sinh làm cả hai phần trong phàn tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn.
- Thí sinh dự thi khối B, D không phải làm câu V; thang điểm dành cho câu I.1 và câu III là 1,5 điểm.
1 Tập xác định: R
2 Sự biến thiên:
a) Giới hạn: = − + =−∞ = − + =+∞
+∞
→ +∞
→
−∞
→
−∞
→ y lim(x x 4) ,limy lim(x x 4)
x x
2 3 x x
0,25 b) Bảng biến thiên: y' = 3x2 - 6x, y' = 0 ⇔x = 0, x = 2
Bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 + y
4 +∞
-∞ 0
- Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 0
0,50
3 Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1; 0),(2; 0).
Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng
0,25
d có phơng trình y = m(x – 3) + 4
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phơng trình
=
−
=
⇔
=
−
−
⇔ +
−
= +
−
0 m x
3 x 0 ) m x )(
3 x ( 4 ) 3 x ( m 4 x
Theo bài ra ta có điều kiện m > 0 và y'( m).y'(− m)=−1 0,25
9
35 3 18 m 0 1 m 36 m 9 1 ) m 6 m 3 )(
m 6 m 3
II.1 Giải phơng trình lợng giác
3 x cos 6 x cos 3 x sin 6 x
+π
−π
+ π
−π
6
cot 6 x tan 3
x tan 6 x
−π
−π
=
+π
−π
Phơng trình đã cho tơng đơng với
8
1 x cos x cos x sin x
⇔
1 cos2x cos2x cos 4x 1 cos2x cos2x cos 4x 1
1,00
x y
4
2
1
Trang 3Câu Nội dung Điểm
2
1 x 2 cos 8
1 x 2 cos 2
1 ) x 4 cos x cos x (cos
π +
π
−
=
π +
π
=
⇔
k 6 x
(loại) k 6
x
,(k∈Z Vậy phơng trình có nghiệm ) = −π+kπ
6
x ,(k∈Z)
0,5
II.2
Giải hệ phơng trình:
=
− + +
= +
− +
−
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x y x
y y x x
* Hệ phơng trình tơng đơng với
=
− + +
=
− +
−
0 22 )
2 (
4 ) 3 ( ) 2 (
2 2
2 2
2
x y x
y
( 2) ( 3) 4 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0
Dat
2 2 3
− =
− =
* Thay vào hệ phơng trình ta có:
4( ) 8
+ =
2
0
u
v
=
=
hoặc
0 2
u v
=
=
thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là : 2
3
x y
=
=
3
x y
= −
=
5
x y
=
=
5
x y
= −
=
;
1,00
0,25 0,25 0,25 0,25
x= − ⇒π t dx= −dt x= ⇒ =t π x= ⇒ =π t
3sin 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin (sin cos ) (cos sin ) (cos sin )
phõn khụng phụ thuộc vào kớ hiệu cảu biến số).
2
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
=
2
π
1
2
=
I
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 4Câu Nội dung Điểm
IV Tính thể tích khối chóp
Ta có các tam giác SMN và AMN cân tại S và A Gọi I là trung điểm của MN suy ra SI
⊥ MN và AI ⊥ MN Do (SBC) ⊥ (AMN) nên SI ⊥ (AMN)
Do đó SI.AI.MN
6
1 S
SI 3
1
VS.AMN = AMN =
1,00
S
A
C B
M N I
K
Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng
2
2
3
2 4 2 2
2
z z x y xy
x y
x y
+
2 2 2 2 2
2
x y
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
c
⇔a c b c( − +) b c a c( − +) 2c ab≤2ab c+ 2(2)
Ta cú:
(3) 2
c b c
ab
a c b c
− +
2
ab
b c a c− ≤
2c ab c≤ +2 ab( )5
Cộng (3); (4); (5) ta được: a c b c( − +) b c a c( − +) 2c ab≤2ab c+ 2 đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a 2z+y=2z+x=4x+2y
5z
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5Câu Nội dung Điểm
Gọi K là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của SK, mà AI ⊥ SK nên tam giác
ASK cân tại A Do đó
2
3 a AK
SA= =
0,5 0,5
MN =
4
a MN 2
1 NI , 2
a BC 2
4
3 a 2
SA 2
SC
SN= = =
4
2 a 16
a 16
a 3 NI
SN SI
2 2 2
=
1,00
4
10 a 8
a 4
a 3 SI
SA
AI= 2 − 2 = 2 − 2 = Vậy
96
5 a 2
a 4
10 a 4
2 a 6
1
VS.AMN = = 3
0, 5
0, 5
Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng công thức:
4
1 SC
SN SB
SM SA
SA V
V ABC S
AMN
1,00
+ Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh đợc)
0,25
Va 1.(1,0 điểm)
Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chõn đường phõn giỏc trong của
gúc A
khi và chỉ khi
( ) ( )
2
2 2 2
9
4 4
9
3
4
d
ổửữ
ỗ ữ+ -ỗ
- ỗố ứữ
-+
+
Đường thẳng AD cú phương trỡnh:
2 3 3 6 3 9 1
+ = - Û - - = - Û =
và đường thẳng AC:
2 3 3 6 4 12 3 4 6 0
-Giả sử tõm I của đường trũn nội tiếp cú tung độ là b Khi đú
hoành độ là
Trang 6Câu Nội dung Điểm
1 b- và bỏn kớnh cũng bằng b Vỡ khoảng cỏch từ I tới AC cũng
phải bằng
b nờn ta cú:
3 5 ;
3 4
4
3 1
2
- +
+
- = ị
= == ị =
Rừ ràng chỉ cú giỏ trị b=12 là hợp lý Vậy, phương trỡnh của
đường trũn
nội tiếp VABC là: ổỗx 12ửữ2 ổỗy 12ửữ2 14
- ữ+ - ữ=
ỗ ữữ ỗ ữữ
2 (1,0 điểm)
Mặt phẳng P’ đi qua đường thẳng d’ cú phương trỡnh dạng:
2m x mx(2++(33m n y y++11) )+-n y2(nz-+211z m+ = Û+7)7n0=0.
Để mặt phẳng này đi qua M, phải cú:
( 8 15 11) ( 5 6 7) 0
- - + + - - + = Û
=-Chọn m=1,n=- 3, ta được phương trỡnh của P’:
2x+ -6z 10=0.
Tiếp theo, đường thẳng d” đi qua A(2; 1;1- ) và cú vectơ chỉ
phương
(2;3; 5)
mur - Mặt phẳng P” đi qua M và d” cú hai vectơ chỉ
phương là
mur
và MAuuur(6; 4; 2- ) hoặc nr(3; 2; 1- ) Vectơ phỏp tuyến của P” là:
3; 5, 5; 2 2;3, (7; 13; 5)
2; 1 1;3 3; 2
ỗ -
.
Phương trỡnh của P”: 7(x+ -4) 13(y+ -5) 5(z- 3)=0
hay: 7x- 13y- 5z- 29=0
Rừ ràng đường thẳng d phải là giao tuyến của P’ và P” nờn cú
phương trỡnh:
ỡùùớù -ùợ27x x+136z y--105z=-029=0.
VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m( 2x+1) x2 +1=10x2+8x+4
1,00
Trang 7Câu Nội dung Điểm
Nhận xét : 10x2+8x+4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)
1
1 2 ( ) 1
1 2
2
2
+
+
− +
+
x
x m x
x
x
+
+
1
1 2
2 Điều kiện : -2< t ≤ 5 Rút m ta có: m=
t
2 2 +
Lập bảng biến thiên của hàm số trên (−2, 5] , ta có kết quả của m để phơng
trình có hai nghiệm phân biệt là:
5
12
4<m≤ hoặc -5 < m<−4
0,25
0,75
Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2)
; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phơng trình các
+ Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n ( a ; b )
(a 2 + b 2 ≠0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:n 1( − b ; a ).Phơng trình AB có dạng:
a(x-2) +b(y-1)= 0
⇔ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 ⇔ - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
−
=
−
=
⇔ +
+
= +
−
a b
a b
b a
a b b
a
2 2 2
2
Tr
ờng hợp 1: b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0–
Tr
ờng hợp 2: b= -a Khi đó
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0–
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0–
0,25 0,25
Vb
2
Cho (∆):
=
+
−
=
+
=
4
2 1 3
z
t y
t x
; (∆’)
+
=
=
+
−
=
u z
u y
u x
4 2 2
2 2
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’)
1,0 0
+ Gọi đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’) là d
Khi đó [ ] , ' ( 4 ; 2 ; 1 )
2
1
−
−
=
u d
+ Gọi (α) là mặt phẳng chứa (∆) và (d) thì (α) qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp
tuyến: n 1 = [ u , u d] = ( − 2 ; 1 ; − 10 )
Vậy phơng trình của (α) là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi (β) là mặt phẳng chứa (∆’) và (d) thì (β) qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp
tuyến: n 2 = [ u ,' u d] = ( 6 ; 18 ; − 12 )
Vậy phơng trình của (β) là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của ∆ và ∆’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0– – –
+Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 8Câu Nội dung Điểm
+) Ta có
1 x
1 1 x 2 y
− +
−
1 x
1 lim )]
1 x ( y [ lim
x
−
=
−
−
±∞
→
±∞
cận xiên y = 2x – 1
−
+
− +∞
=
−
+
−
−
2 x x lim
; 1
x
2 x x
1 x
2 1
x
Do đó (C) có tiệm cận đứng x = 1 +) Gọi M
− +
−
=
⇒
∈
1 x
1 1 x 2
; x M ) C (
0 0
0,25
Tổng khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận của (C) là
1 x 5
1 1
x 1
2
1 1 x
1 1 x 2 x 2 1 x
d
0
0 2
2 0 0
0 0
− +
−
= +
−
− +
−
− +
−
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có 4
0
0
5
2 1 x 5
1 1 x 2
−
−
≥
5
2
0
0
5
1 1 x 1 x 5
1 1
−
=
−
0,25
5
2 1
; 5
1 1 M ; 5 5
2 1
; 5
1 1
4 4
4 4
Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa