Đề cương toán cao cấp 1 chương 2

Dãy số được xác định nếu ta biết số hạng tổng quát an của Nếu dãy   an có giới hạn là a ta nói dãy đó hội tụ về a.. Nếu tồn tại giới hạn riêng lớn nhất nhỏ nhất của dãy   an thì nó

Chương II LÝ THUYẾT GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC

A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1 Dãy số là ánh xạ

*:

Ta gọi mỗi số a n n; 1, 2, 3, là số hạng (hay phần tử) của dãy số; n là

chỉ số của số hạng an Dãy số được xác định nếu ta biết số hạng tổng quát an của

Nếu dãy   an có giới hạn là a ta nói dãy đó hội tụ về a Nếu dãy không

có giới hạn ta nói dãy phân kỳ

Định lý 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

Chứng minh Thật vậy, giả sử dãy   an có hai giới hạn khác nhau là a và b Khi

Mâu thuẫn chứng tỏ điều phải chứng minh.

Ví dụ 1 Dãy   an trong đó an  a với mọi n, có giới hạn là a Thật vậy, với

q

 

 + Nếu q 0 thì với mọi   0   N  log q     1 n N

1 2 Mở rộng khái niệm dãy số

Định nghĩa 3 Dãy   an được gọi là có giới hạn là  và ký hiệu là

Định lý 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Chứng minh Giả sử lim n

n

   với mọi n 1, 2, 3,

1.4 Dãy con và giới hạn riêng

Định nghĩa 5 Cho dãy   an và dãy các số nguyên dương tăng nghiêm ngặt

1 2 n

Ta gọi dãy mới  am n là dãy con của dãy   an , ký hiệu là   am n    an

Định nghĩa 6 Nếu dãy   am n hội tụ thì ta gọi giới hạn của nó là giới hạn riêng

a  a  Điều đó có nghĩa là lim

n m

(nếu b n 0 với mọi n ) cũng hội tụ và

(i) lim n n lim n lim n

lim

n

n n n

a a

,

a  a   b  b   ;với mọi n N Từ đó ta có

a  b  a b   a  a  b  b  a  a  b  b       (ii) Bởi vì   an hội tụ nên theo Định lý 2, tồn tại M 0 sao cho an  M

với mọi n 1, 2, 3, Theo giả thiết, với mọi  0 tồn tại số nguyên dương N

(iii) Từ (ii) ta chỉ cần chứng minh 1 1

lim

n n

   Bởi vì b 0 và lim n

n b b

  nên với  0 tồn tại số nguyên dương N sao cho

2 2

2

n n

a b

a b

  có dạng 0

0 và lim 2

n n n

a b

  

2 Tính chất về giới hạn

a  a  a  a   ; với mọi n N Như vậy lim n

0

n

a  a   và bn  b   0;với mọi n N Từ đó ta suy ra aN   a 0 và bN   b 0 Ta đi đến mâu thuẫn

§ 3 TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ

3.1 Tiêu chuẩn hội tụ đơn điệu

Định nghĩa 1 Dãy   an được gọi là

(i) tăng nếu a1 a2   an  ; giảm nếu a1  a2   an 

(ii) tăng thực sự nếu a1  a2   an  ; giảm thực sự nếu

1 2 n

Dãy tăng hay giảm gọi chung là dãy đơn đơn điệu

Nhận xét Dãy tăng luôn bị chặn dưới, dãy giảm luôn bị chặn trên.

Định lý 9 Một dãy đơn điệu hội tụ nếu và chỉ nếu nó là dãy bị chặn.

Chứng minh

Điều kiện cần Được suy từ Định lý 2 mà không cần đến giả thiết dãy đó là đơn

điệu

Điều kiện đủ Trước hết ta chứng minh dãy   an đơn điệu tăng và bị chặn trên là

hội tụ Ký hiệu A   a nn:  * Theo nguyên lý supremum tồn tại a supA.Khi đó với mỗi  0 tồn tại n0 sao cho an0   a  Từ đó với mọi n n  0 ta có

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của dãy 12 12 12 12

Như vậy dãy   an bị chặn Do đó dãy đã cho hội tụ.

Ví dụ 2 Xét dãy sự hội tụ của dãy 1

Định nghĩa 3 Ta gọi logarit cơ số e là logarit tự nhiên hay logarit Nepier Thay

cho cách viết logex ta viết là ln x.

3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa 4 Dãy các đoạn thẳng   a bn, n  được gọi là dãy đoạn thắt nếu thoảmãn hai điều kiện sau

(i)  an1, bn1   a bn, n với mọi n 1, 2, 3,

Vậy c   a bn, n với mọi n 1, 2, 3,

Mặt khác, giả sử còn có c '   a bn, n với mọi n 1, 2, 3, thì

Chia đoạn  a b ,  thành hai phần bằng nhau Ít nhất một trong hai đoạn phải chứa

vô số số phần tử của dãy   an , ta gọi đoạn đó là 1 Lại chia 1 thành hai phầnbằng nhau, một trong hai đoạn đó gọi là 2 phải chứa vô số số phần tử của dãy

  an Tiếp tục mãi quá trình đó ta được dãy các đoạn thắt

Ta rút ra một dãy con của dãy   an như sau: trong 1 lấy một phần tử bất

kỳ ký hiệu là am1, trong 2 lấy một phần tử bất kỳ ký hiệu là

2

m

a sao cho

2 1

m  m (điều đó thực hiện được vì 2 chứa vô số số phần tử của dãy   an ) Tiếp

tục quá trình đó ta được một dãy con   am n    an Bởi vì mn  n nên

Điều kiện đủ Trước hết ta chú ý rằng dãy   an bị chặn Theo giả thiết với  1

tồn tại số nguyên dương N sao cho

1

m n

a  a  với mọi m n N,  Đặc biệt

a  a   a   a  a  với mọi n N Điều đó chứng tỏ   an bị chặn.

Theo Bổ đề Bolzano-Weierstrass, từ dãy   an trích ra được dãy con   am n

hội tụ Giả sử lim

Định nghĩa 5 Dãy   an đựoc gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  0 tồn tại số

nguyên dương N sao cho am  an   với mọi m n N, 

§4 GIỚI HẠN TRÊN VÀ GIỚI HẠN DƯỚI

Định nghĩa Nếu tồn tại giới hạn riêng lớn nhất (nhỏ nhất) của dãy   an thì nó

được gọi là giới hạn trên (giới hạn dưới) của dãy đó và ký hiệu là limsup n

  hoặclim n

Định lý 11 Mọi dãy số   an đều có giới hạn trên và giới hạn dưới trong .

Chứng minh Trước hết ta chứng minh sự tồn tại giới hạn trên của dãy   an .

(i) Nếu   an không bị chặn trên, thì bao giờ ta cũng trích ra được một dãy

k

M  M  ; với mọi k N  0.Hay

0

N k N   sao cho

M    a Lại do dãy  Mk giảm nên

   Vậy M* là một giới hạn riêng của dãy aN n .

2 M* là giới hạn riêng lớn nhất Thật vậy giả sử   an i    an mà lim n i

   Theo (2) với ni đủ lớn ta có

*

i n

Do đó

*

a M 

Vì  0 nhỏ tuỳ ý nên a M * Điều đó chứng tỏ mọi giới hạn riêng của   an

đều không vượt quá M*

Tương tự ta chứng minh được sự tồn tại giới hạn dưới M* của   an Trong

trường hợp này dãy   an bị chặn dưới

Với mỗi  0 tồn tại số nguyên dương N0 sao cho

Điều kiện cần Nếu dãy   an có giới hạn là a thì mọi dãy con của nó cũng có giới

hạn là a, nên hiển nhiên limn n lim n

n

    Điều kiện đủ Giả sử lim n lim n

Định nghĩa 1 Cho tập hợp X   Ta nói điểm x  0 là điểm giới hạn của tập

X nếu tồn tại dãy   xn  X \   x0 sao cho xn  x n0,  

Nếu có thể chọn dãy   xn như trên nhưng xn  x0 hoặc xn  x0 với mọi

1

n  thì ta nói x0 là điểm giới hạn trái hoặc điểm giới hạn phải của X .

Định nghĩa 2 Cho hàm số y f x( ) xác định trên X \   x0 , x  0 là điểm tụcủa tập X Số l   được gọi là giới hạn của hàm số yf x( ), và viết là

 nếu thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương sau

(i) Với mọi dãy  xn  X \   x0 mà xn  x0 thì ta có f x ( )n  l;

(ii) Với mọi  0 tồn tại  0 sao cho với mọi x X mà 0  x x  0  

ta có

( )

f x  l  

Chứng minh sự tương đương của hai định nghĩa.

(i) (ii) Giả sử ngược lại có (i) nhưng không xảy ra (ii) Khi đó, tồn tại  0 0sao cho với mọi 1

( )

f x  l  

Khi đó ta có dãy   xn  X \   x0 mà xn  x0 nhưng dãy  f x ( )n  không hội tụ

về l Vậy ta gặp mâu thuẫn với (i)

(ii) (i) Giả sử có (ii), ta xét dãy   xn  X \   x0 mà xn  x0 Với mọi  0

tồn tại  0 thoả mãn điều kiện (ii), ta chọn số nguyên dương N sao cho

0

0  xn  x   ; với mọi n N Khi đó ta cũng có

( )n

f x  l   ; với mọi n N Điều đó có nghĩa là f x ( )n  l

Định lý 1 Giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất

Chứng minh Giả sử rằng hàm số f x( ) có hai giới hạn khác nhau là l và l' Khi

đó    l l ' 0  ta chọn được  0 sao cho với mọi x X mà 0  x x  0  thì ta có

x e

  

Thật vậy với mọi  0 tồn tại 1

0 ln(1 )

§ 3 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI GIỚI HẠN

Định nghĩa 1 Hàm y f x( ) được gọi là bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặnnếu tập f X ( )   f x x X ( ) :   có tính chất tương ứng

Định lý 8 Cho hàm f x( ) xác định và đơn điệu trên khoảng ( , )a b Khi đó tồn

Nếu f x( ) bị chặn trên khoảng ( , )a b thì các giới hạn trên thuộc .

Chứng minh Ta chứng minh trường hợp f x( ) đơn điệu tăng và bị chặn Đặt

Phần còn lại được chứng minh tương tự

Định lý 9 (Bolzano-Cauchy) Cho hàm số f X( ) xác định trên tập X Khi đó

điều kiện cần và đủ để lim ( )0

x x f x

 là với mọi  0 tồn tại  0 sao cho với mọi

', "

x x X mà 0  x x '    , 0  x "  x   ta đều có f x ( ')  f x ( ")   .

Điều kiện đủ Lấy một dãy   xn  X \   x0 mà xn  x n0(   ) Với mọi  0

gọi  0 là số nói trong giả thiết của Định lý Khi đó tồn tại số nguyên dương N

sao cho với mọi m n N,  ta có

Điều đó chứng tỏ  f x ( )n  là dãy Cauchy, nên nó có giới hạn là l

Ta chứng minh rằng mọi dãy  '   '

x  X x x  x thì f x ( )n'  l.Khi đó chọn số nguyên dương N đủ lớn sao cho x n  x0 , x n'  x0  và( )

§ 4 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ

VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN

4.2 Tính chất và các phép toán Theo tính chất của giới hạn ta có

(i) Tổng của hai vô cùng bé là một vô cùng bé;

(ii) Tích của một VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB;

Định nghĩa Cho ( )x và ( )x là các VCB khi x  x0 Ta nói:

(i) ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x , ký hiệu là  ( ) 0 x    ( ) x  nếu

§ 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

VÀ PHÉP TOÁN TRÊN CÁC HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Định nghĩa hàm số liên tục

Định nghĩa 1 Cho hàm số yf x( ) xác định trên tập X và x0 X Cho x0một số gia x, ta được giá trị mới của đối số là x x  0   x Đại lượng

0

   gọi là số gia của hàm số tại điểm x0ứng với số gia xcủa đối

số Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thoả mãn một trong các điều kiện

tương đương sau đây:

(i) Với mọi dãy   xn  X mà xn  x0 ta có f x ( )n  f x ( )0 ;

(ii) Với mọi  0 tồn tại  0 sao cho với mọi x X mà x x  0  

ta có

0

f x  f x  ;(iii) lim ( )0 ( )0

Định lý 1 Hàm số y f x( ) liên tục tại điểm x0 nếu và chỉ nếu hàm số liên tục

phải và liên tục trái tại đó.

Chứng minh.

Điều kiện cần Hiển nhiên

Điều kiện đủ Giả sử

  tồn tại  0 sao cho:

+ Với mọi x thoả mãn     x x0  0 ta có f x ( )  f x ( )0   ;

+ Với mọi x thoả mãn 0 x x   0   ta có f x ( )  f x ( )0  

Khi đó với mọi x thoả mãn x x  0   ta có f x ( )  f x ( )0   Vậy f x( ) liên

tục tại x0.

1.2 Điểm gián đoạn Phân loại điểm gián đoạn

Định nghĩa 3 Cho hàm số yf x( ) xác định trên tập X và x0 X Nếu f x( )

không liên tục tai điểm x0 ta nói hàm số gián đoạn tại điểm đó Điểm x0 được gọi

là điểm gián đoạn của hàm số đã cho

Ta có sự phân loại các điểm gián đoạn của hàm số như sau:

Điểm gián đoạn loại I Điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn loaị I của hàm số

x x

   Vậy x 0 là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số đãcho.

Định nghĩa 1 Hàm số yf x( ) được gọi là liên tục trên khoảng  a b ,  nếu nó

liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

Hàm số yf x( ) được gọi là liên tục trên đoạn  a b ,  nếu liên tục trên

khoảng  a b ,  và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.

Định lý 4 (Weierstrass) Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn  a b ,  thì nó

đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên đoạn đó Điều đó có nghĩa là tồn tại

1, 2 ,

c c  a b sao cho f c ( )1  f x ( )  f c ( )2 với mọi x   a b ,  .

Chứng minh Trước hết ta chứng minh f x( ) bị chặn trên đoạn  a b ,  Thật vậy

nếu hàm số không bị chặn trên thì với mỗi số nguyên dương n tồn tại xn  a b , 

sao cho f x ( )n  n

Theo Định lý Bolzano-Cauchy, tồn tại dãy con   xn k    xn sao cho

n

x  c  a b Bởi vì f x( ) liên tục trên  a b ,  , nên ( ) ( )

k n

f x  f c Ta gặpmâu thuẫn vì f x ( n k)  nk   Vậy f x( ) bị chặn trên trên  a b ,  , việc chứng

minh f x( ) bị chặn dưới được tiến hành tương tự.

suy ra M  f c ( )2 Việc chỉ ra sự tồn tại của c1 được tiến hành tương tự.

Định lý 5 (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên đoạn  a b ,  và

f a A f b B thì hàm số nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B Điều

đó có nghĩa là với mọi giá trị  nằm giữa A và B đều tồn tại c   a b ,  để

Khi đó với mọi    m M ,  tồn tại c   a b ,  sao cho f c( ).

Chứng minh Theo định lý 4, tồn tại

Nếu m M thì f x( ) là hàm hằng và kết quả là hiển nhiên Nếu m M

thì ta được hàm f x( ) liên tục trên đoạn đầu mút là c1 và c2 Từ đó theo Định lý

trên ta nhận được kết quả

§ 4 LIÊN TỤC ĐỀU

Định nghĩa Hàm f x( ) liên tục đều trên tập X nếu với mọi  0 tồn tại  0

sao cho với mọi x x, 'X mà x x  '   ta có f x ( )  f x ( ')  

Nhận xét Hàm f x( ) liên tục đều trên tập X thì liên tục tại mọi điểm x0 X ,tức là liên tục trên X Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng

Vậy f x( ) không liên tục đều.

Định lý (Cantor) Nếu hàm f x( ) liên tục trên đoạn  a b ,  thì nó liên tục đếu trên

0( )n ( )n

Theo Bổ đề Bolzano-Cauchy, tồn tại dãy con   xn k sao cho