Bài giảng toán cao cấp 1 chương 2 hoàng văn thắng

Các phép biến đổi sơ cấpĐịnh nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với một ma trận được gọi là các phép biếnđổi sơ cấp.. Cụ thể:Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần t

Bài 1 Các khái niệm cơ bản về ma trận

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

1 Khái niệm ma trận

2 Đẳng thức ma trận

3 Ma trận không và ma trận đối

Chương 2: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

II Các dạng ma trận

1 Ma trận vuông

2 Ma trận tam giác

3 Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị

III Các phép biến đổi ma trận

1 Các phép biến đổi sơ cấp

2 Phép chuyển vị ma trận

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

− + 4

−

− +

−

2 4 10 6

7 2 1 5

Ma trận sẽ giúp bạn…

Có thể Ký hiệu dạng thu gọn: =

×

11 12 1n

21 22 2n m1 m2 mn m n

Dấu ngoặc vuông

Trong đó là phần tử nằm ở dòng i, cột jcủa ma trận A.

−1 ×

Ví dụ 2: Lập ma trận =

× cho biết:

a = 1 nếu i + j chẵn

2 nếu i + j lẻ Giải:

=

1 2 1 2

1

1 2

2 1

2 1 2

2 1 2 1

a

=?

a

=? a=? a=?

2 Đẳng thức ma trận

Định nghĩa: Hai ma trận được gọi là bằng

nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp vàcác phần tử ở vị trí tương ứng đôi mộtbằng nhau

Định nghĩa 2: Ma trận đối của một ma trận

Ví dụ: Lập ma trận đối của ma trận sau:

Chú ý: Đối với ma trận vuông:

=

× người ta gọi tổng cácphần tử trên đường chéo chính là vếtcủa ma trận đó:

ế ( ) = + + ⋯ +

2 Ma trận tam giác:

Định nghĩa: Ma trận tam giác là ma trận

vuông có các phần tử nằm về một phíacủa đường chéo chính bằng 0

Có hai loại ma trận tam giác:

Ma trận tam giác dưới

3 Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị Định nghĩa: Ma trận đường chéo là ma trận

vuông có tất cả các phần tử nằm ngoàiđường chéo chính bằng 0

Định nghĩa: Ma trận đơn vị là ma trận

vuông có tất cả các phần tử trong đườngchéo chính bằng 1, nằm ngoài đường chéochính bằng 0

1 Các phép biến đổi sơ cấp

Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối

với một ma trận được gọi là các phép biếnđổi sơ cấp

Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của matrận cho nhau

Phép 2: Nhân một dòng (cột) với số ≠ 0.

Phép 3: Biến đổi một dòng(cột) bằng cáchcộng vào nó tích của một dòng(cột) khácvới một số k tùy chọn

2 Phép chuyển vị ma trận

Cho ma trận =

× Bằng cách xoay

các dòng của A thành các cột tương ứng tađược ma trận A’

−10

⟶ ′ = 5

Nhận xét: ′ = ∀ ,

§ 2 CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN

I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số

I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số.

Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng

cấp × : =

× , =

×

Tổng của hai ma trận A và B là một matrận cấp ×

Ký hiệu là A + B và được xác định nhưsau:

Ký hiệu là và được xác định như sau:

=

×

Nhận xét:

+ Phép cộng ma trận chỉ áp dụng chocác ma trận cùng cấp

+ Việc thực hiện phép cộng hai ma trận

và nhân ma trận với số được thực hiệntương tự như đối với vectơ:

Cụ thể:

Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng

cấp ta cộng các phần tử ở vị trí tươngứng với nhau.”

Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân một

ma trận với số ta nhân số với tất cảcác phần tử của ma trận đó.”

4 Cộng với ma trận đối: A + (–A) = 0.

5 Nhân với 1: 1.A = A.1 =A

6 Phân phối: + = +

7 Phân phối: + = +

8 Kết hợp với phép nhân: = ( )

Chú ý: Ta có phép trừ hai ma trận:

A – B = A + (–B)Như vậy, Nếu A và B là hai ma trận cùng

Quy tắc: “Trừ hai ma trận cùng cấp ta trừ

các phần tử của ma trận đứng trước chocác phần tử tương ứng của ma trậnđứng sau”

Nhận xét: − = −

Chú ý: “Từ các tính chất trên ta suy ra

thực hiện biến đổi một biểu thức ma trận(hay đẳng thức ma trận) có thể thực hiệnnhư biến đổi một biểu thức(hay đẳngthức đại số) Tức là, có thể: nhân phânphối, chuyển vế đổi dấu,… ”

Ví dụ: (Bài 2 – Trang 112-SGTr)

Cho hai ma trận:

a) Lập các ma trận:

+ , − , 2 + 5 , 3 −

b) Tìm ma trận X thỏa mãn

3 + 2 + = + 7 − 2Giải:

a) ∘ + =

∘ − =

II Phép nhân ma trận với ma trận.

Định nghĩa: Cho hai ma trận

Chẳng hạn:

= 1 2 3 4

5 6 7 8

= 1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8

= 5 + 12 + 21 + 32 = 70

Chú ý:

1 Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi

và chỉ khi số cột của ma trận đứngtrước (A) bằng số dòng của ma trậnđứng sau (B)

2 Cấp của ma trận tích AB (khi có

nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng sốdòng của ma trận đứng trước và sốcột bằng số cột của ma trận đứng sau

3 Các phần tử của AB được tính theo

Hãy lập ma trận BA (A, B trong Ví dụ 1)

Liên hệ với hệ phương trình tuyến

m

bbB

Cột số hạng

tự dosố

Vậy, hệ trên được viết dưới dạng đơn giản:

AX = B

Các tính chất cơ bản của phép nhân:

1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) =ABC

2) Tính phân phối đối với phép cộng:

Dạng ma trận của

hệ pttt

3) = =

Tính chất này cho ta qua tắc: “Khi nhân

một số với tích của hai ma trận ta cóthể nhân số đó với một trong hai matrận của tích”

4) Mọi ma trận đều không thay đổi khinhân với ma trận đơn vị:

= , =

Đặc biệt nếu A vuông: = =

Mở rộng:

Chú ý: Đối với ma trận vuông ta có thể

sử dụng ký hiệu lũy thừa:

=

= Tổng quát: = …

……… ………

m lần

§ 2 ĐỊNH THỨC Các nội dung chính:

1 Hoán vị của n số tự nhiên đầu

2 Định nghĩa định thức cấp n

3 Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3)

4 Các tính chất cơ bản của định thức

I Hoán vị của n số tự nhiên đầu

Định nghĩa: Cho tập = 1,2, … ,

Mỗi cách cách sắp xếp n phần tử củatập hợp theo một thứ tự nhất địnhđược gọi là một hoán vị của n số tựnhiên đầu tiên

Nghịch thế trong một hoán vị

Định nghĩa: Trong hoán vị , , … ,

nếu < nhưng > thì ta nói hai

số và tạo thành một nghịch thế.

+ Nếu tổng số nghịch thế của một hoán

vị là số chẵn thì hoán vị đó được gọi làhoán vị chẵn

+ Nếu tổng số nghịch thế của một hoán

vị là số lẻ thì hoán vị đó được gọi làhoán vị lẻ

Ví dụ: Cho = 1,2,3,4,5,6

Xét hoán vị:

3,1,6,2,4,5

Cho biết hoán vị trên chẵn hay lẻ?

⟹ số nghịch thế của hoán vị trên là:

2 + 0 + 3 + 0 + 0 = 5 (lẻ)

Vậy hoán vị: 3,1,6,2,4,5 là hoán vị lẻ

Bây giờ, bạn hãy đổi chỗ 3 và 5 chonhau, để được hoán vị: 5,1,6,2,4,3.

Số nghịch thế là: ???

Vậy hoán vị đổi thành hoán vị chẵn.

4 + 0 + 3 + 0 + 1 = 8

Kết quả trên được khái quát:

Định lý: Nếu đổi chỗ hai số trong một

hoán vị (giữ nguyên vị trí của những sốcòn lại) thì hoán vị thay đổi tính chẵn lẻ(tức là hoán vị chẵn biến thành hoán vị lẻ

và ngược lại)

Hệ quả 1: Nếu ≥ 2 thì trong số n!hoán vị của n số tự nhiên đầu có mộtnửa là hoán vị chẵn và một nửa là hoán

vị lẻ

Hệ quả 2: Với , , … , là một hoán

vị của n số tự nhiên đầu, bằng cách đổichỗ các cột ta đưa được ma trận:

Trước tiên ta trả lời câu hỏi: “Có baonhiêu cách chọn ra các bộ gồm n phần

tử của A lấy trên các dòng khác nhau vàcác cột khác nhau, tức là không có haiphần tử nào cùng nằm trên một dònghay một cột”

+ Trên dòng 1 lấy phần tử thuộc cột :

+ Trên dòng 2 lấy phần tử thuộc cột :

……….+ Trên dòng n lấy phần tử thuộc cột :

Và lập tích số: −1 … ( ∗)

Nhận xét:

∘ Mỗi tích số dạng (∗) là tích của một bộ nphần tử của ma trận A lấy trên các dòng khácnhau và các cột khác nhau và được gán dấutheo quy tắc sau:

∗ Gán dấu “+” nếu là hoán vị chỉ số cột làhoán vị chẵn.

∗ Gán dấu “–” nếu là hoán vị chỉ số cột làhoán vị lẻ

∘ Có n! tích số dạng (∗)

Định nghĩa: Tổng của tất cả n! tích số dạng

(∗) được gọi là định thức của ma trận vuông

A và được ký hiệu là: hoặc det hoặc

có thể viết dưới dạng một bảng số có ndòng, n cột đặt giữa hai dấu gạch đứng:

∘ Mỗi tích số T = −1 …

được gọi là một thành phần của định thức.Như vậy, định thức cấp n là tổng của n!thành phần của nó:

( , ,…, )

Tổng trên lấy cho tất cả các

hoán vị của

Chú ý:

∘ Khái niệm định thức chỉ áp dụng đối với matrận vuông

∘ Định thức là một số thực xác định (điều nàykhác với ma trận là một bảng số):

∀ , = 1, ⟹ d = det ( ) ∈ (Lời: ”…”)

+ ∈

∀ , = 1, ⟹ d = det ( ) ∈ (Lời: ”…”)

Ví dụ 1: Có bao nhiêu thành phần của định

thức cấp 5 chứa các phần tử , , Viết công thức tính các phần tử đó

Giải:

Một thành phần của định thức cấp 5 có dạng:

Ví dụ 2: Cho đa thức một biến x:

hệ số của lũy thừa cao nhất của P(x) là:

Chỉ sử dụng định nghĩa hãy tìm thànhphần của định thức chứa và

Giải SV tự giải

Như vậy,

Quy tắc: “Định thức cấp 2 bằng tích hai phần tử nằm trên đường chéo chính trừ đi tích hai phần tử trên đường chéo phụ”.

3

7

8

Chú ý: Cấp định thức càng cao số thành phần càng lớn nên không thể tính định thức cấp cao bằng định nghĩa.

Thậm chí, cấp thấp tính bằng định nghĩa đôi khi cũng gặp khó khăn, chẳng hạn:

= 12345678 13345678

23456789 24456789 =?

13

4 Các tính chất cơ bản của định thức

Định lý 1: ′ = (∀ vuông)

Từ định lý trên suy ra: Vai trò của dòng

và cột là như nhau, Do đó: tất cả các tính chất của định thức đã đúng với dòng thì cũng đúng với cột.

14

Định lý 2: Nếu tất cả các phần tử của một dòng nào đó của định thức cấp n bằng 0 thì định thức đó bằng 0.

b) = −

−

=

16

Định lý 3: Nếu trong định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí của các dòng còn lại thì định thức đổi dấu Chẳng hạn, 1 2 3

Hệ quả: Định thức bằng 0 nếu nó có 2

dòng bằng nhau

Chẳng hạn,

31 2 221

23

34

34

−11 5 5

71577983

= 0

18

Định lý 4: Nếu nhân một dòng nào đó của định thức d với một số (tức là nhân tất cả các phần tử của dòng đó với số ) thì định thức mới nhận được bằng định thức cũ nhân với

19

Tức là:

⋯

⋯

Nói cách khác: Nhân tử chung của một dòng trong định thức có thể đưa ra ngoài dấu định thức.

== =

21

Ví dụ: Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của =?

Hệ quả 1: Định thức bằng 0 nếu có hai dòng tỷ lệ.

Hệ quả 2: =

24

Định lý 5: Nếu trong định thức.

⋯

⋯ +

⋯

Dòng thứ i được viết dưới dạng tổng của hai dòng:

25

+ , + , … , + =

Thì ta có thể tách định thức d thành tổng của hai định thức: +

⋯ a

⋯ a

26

Ví dụ 1:

Ví dụ 2: CMR:

28

Định lý 7: Định thức bằng 0 nếu hệ véc

tơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính.

Chú ý: Điều ngược lai vẫn đúng, tức là: “Nếu định thức bằng 0 thì hệ véc tơ dòng của nó phụ thuộc tuyến tính”

29

Định lý 8: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì: = | |

Hệ quả:

m lần

30

Ví dụ 1: Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của =?

Ví dụ 3: Cho d là định thức cấp n bất

kỳ Gọi , là dòng thứ nhất và dòng thứ 2 của d và xem mỗi dòng của d như một véc tơ n chiều Định thức thay đổi thế nào nếu thay dòng thứ 2của nó bằng véc tơ − (các dòng còn lại giữ nguyên).

§ 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC Các nội dung chính:

1 Phương pháp khai triển

a Khái niệm phần bù đại số

b Quy tắc khai triển định thức

2 Phương pháp biến đổi về dạng tam

giác

1 Phương pháp khai triển

a Khái niệm phần bù đại số Định nghĩa: Xét định thức cấp n:

⋯

Xóa đi dòng i và cột j (dòng và cột chứa phần

tử aij) của định thức d, ta được định thức cấp

n – 1, ký hiệu là Mij

ó ò , ộ (định thức cấp n-1)

Định nghĩa: Định thức Mij được gọi là phần

bù và Aij = (–1)i+j Mij được gọi là phần bù đại

số của phần tử aij trong định thức d

5 −3 = 2

4 −3 = 2

4 5 = 6

b) Quy tắc khai triển định thức

Trong Ví dụ trên: Ta thấy:

= 3.2 + −2 2 + 5.6 = 32

Tương tự ta cũng có công thức khai triển

phần bù đại số tương ứng của các phần tửtrên cột đó

Nhận xét: Định lý trên cho phép ta hạ cấp

khi tính định thức, tức là chuyển việc tínhmột định thức cấp cao về việc tính các địnhthức cấp thấp hơn

Ví dụ 1: Tính định thức

=

0 3

9 11

0 3

9 11

Khai triển định thức theo dòng 2:

0 3

9 11

Chú ý 1: Để giảm bớt khối lượng tính

toán, trước khi khai triển ta biến đổi saocho một dòng hoặc cột nào đó chỉ còn duynhất một phần tử khác 0 Khi đó định thứcbằng phần tử khác 0 duy nhất đó nhân vớiphần bù đại số của nó

Chú ý 2: Để tránh nhầm lẫn khi biến đổi

trên định thức cần chú ý: tác động củacác phép biến đổi sơ cấp làm thay đổiđịnh thức:

Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của địnhthức ⟶ Định thức đổi dấu

Phép 2: Nhân một dòng (cột) của địnhthức với số k ⟶ Nhân thêm bên ngoài

Phép 3: Cộng vào một dòng (cột) tíchmột dòng (cột) khác với một số k

⟶ Định thức không thay đổi

Ví dụ 2: Tính định thức

=

5 2

−2 3

2 1

2 6

−1 6 =

11

−7

0 0

−7 2

Biến đổi bằng 0

−7 2

Ví dụ 3: Tính định thức:

=

2 5

−1

−3

3 1

4 2 3 1

A: – 489

C: 594

B: 588

D: – 589 50:50

Ví dụ 4: Tính định thức:

=

2 3

A: 49 – 37m

C: 59-45m D: 58-39m 50:50

B: 47 – 39m

2 Phương pháp biến đổi về dạng tam giác

Chẳng hạn

=

Bây giờ, để tính định thức cấp n d, ta

có thể sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi d về dạng tam giác và

d sẽ bằng “tích các phần tử trên đường chéo chính”

ử ụ á é ế đổ ơ ấ

(Dạng tam giác)

Ví dụ 1: Tính định thức:

=

0 3

1

−1

2 2

0

−1 3 1

=(–1).1.1.(– 56) = 56

§ 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Các nội dung chính:

1 Ma trận nghịch đảo

a Khái niệm ma trận nghịch đảo

b Các tính chất cơ bản của ma trận

nghịch đảo

2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

a Ma trận phụ hợp của ma trận vuông

b Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma

trận nghịch đảo c.Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương

pháp biến đổi ma trận

3 Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải

phương trình ma trận

1 Ma trận nghịch đảo

a Khái niệm ma trận nghịch đảo

Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:

Chú ý:

∘ Khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông.

∘ Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông (nếu có) là duy nhất.

Vì vậy: Ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là

b Một vài tính chất cơ bản của ma trận nghịch đảo.

Câu hỏi 1: Khi nào

nghịch đảo?

tìm ma trận nghịch đảo như thế nào?

2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Ma trận phụ hợp của ma trận A cũng là một ma trận vuông có cùng cấp với A,

nó được ký hiệu và xác định như sau:

A: 4

Dòng i

Dòng j

∘ Định thức = (có hai dòng bằng nhau)

∘ Khai triển định thức theo dòng thứ j:

Chú ý rằng:

Vế trái của (1) chính là tích vô hướng:

Bây giờ ta sẽ sử dụng bổ đề để chứng minh định lý trên:

Ta sẽ chứng minh: ∗ = , đẳng thức còn lại ∗ = được chứng minh tương tự.

• Từ đây suy ra:

c) Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Định lý: Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo (khả nghịch)

Một ma trận vuông có định thức ≠ được gọi là ma trận

không suy biến

Khi đó, ma trận nghịch đảo được xác định theo công thức:

=

( )

∗

Ví dụ 2: Cho ma trận:

=

−

Tìm m để B khả nghịch, Khi đó tìm phần tử thuộc dòng 2 cột 3 của

Giải:

 B khả nghịch ⟺ = ≠

 Ta có = = − ≠ ⟺

≠

 Vậy B khả nghịch ⟺ ≠ ∎

………… 27+1 …………

Đối với ma trận cấp lớn, việc tìm ma trận nghịch đảo

bằng công thức = ∗

là không khả thi, vì khối lượng tính toán sẽ rất lớn.

Vậy còn cách nào khác để tìm ma trận nghịch đảo?

Phương pháp biến đổi sơ cấp

Giả sử A có ma trận nghịch đảo Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta có thể thực hiện các bước sau:

 Ghép thêm ma trận đơn vị cấp n vào

bên phải ma trận A.

Làm như vậy ta được một ma trận cấp ×

×

 Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối

với hệ véc tơ dòng ( không được biến đổi cột ) ta có thể biến đổi ma trận trên về dạng:

×

Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A:

=

Lưu ý 1: Nếu A là ma trận vuông suy biến thì các phép biến đổi hệ véc tơ dòng sẽ không thể biến đổi A thành

ma trận đơn vị được, vì khi đó hệ véc

tơ dòng của A PTTT nên sẽ có ít nhất một dòng bị biến đổi bằng 0.

Lưu ý 2: Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta có thể ghép thêm vào A ma trận đơn vị E cùng cấp và có thể tùy chọn vị trí đặt theo một trong 4 cách:

, ,

Chỉ biến đổitrên dòng

Chỉ biến đổitrên cột

3 Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận.

Cho A là ma trận vuông không suy biến cấp n

Bài toán 1: “Tìm ma trận X thỏa mãn:

AX = B (1)” (B: là ma trận cấp ×

cho trước)

Phương pháp giải: Do A không suy biến nên tồn tại Nhân hai vế PT trên với vào bên trái ta được:

=

Vậy PT có nghiệm duy nhất

Bài toán 2: Tìm ma trận Y thỏa mãn:

YA = C (2) (C: là ma trận cấp × cho trước)

Phương pháp giải: Tương tự Bài toán 1: Nhân hai vế PT trên với vào bên phải ta được:

=

Chú ý: Trường hợp A không có ma trận nghịch đảo (A không vuông hoặc

|A| = 0) Khi đó, để giải các phương trình (1), (2) ta làm như sau:

 Kiểm tra xem có tồn tại ma trận X

(hoặc Y) có cấp phù hợp?