Cho hình bình hành ABCD AC > BD.. Cho một góc nhọn xOy và một điểm M ở trong góc ấy... Cho hình bình hành ABCD AC > BD.. đpcm Cho một góc nhọn xOy và một điểm M ở trong góc ấy... Dễ dàn
Trang 1Phòng GD&ĐT Lâm Thao Đề THI chọn hs năng khiếu cấp huyện Môn Toán lớp 8 - Năm học 2009 - 2010
Thời gian làm bài: 120 phút
-Câu 1: (2 điểm) - Chọn một trong 3 câu sau:
a/ Tìm các chữ số x, y sao cho xxyy= xx2 + yy2
b/ Chứng minh rằng nếu p và p2+2 là hai số nguyên tố thì p3 + 2 cũng là số nguyên tố
c/ Tìm các cặp số nguyên dơng (x, y) thỏa mãn phơng trình:
6x2 +5y2 =74
Câu 2: (3 điểm).
a/ Cho biểu thức: A =
+ +
1
2 3
2
x x
x
x x x
x
3
1 3 1
4
+
− Rút gọn biểu thức A rồi tìm giá trị của x để A < 0
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =
3 2
10 6 3 2
2 + +
+ +
x x
x x
Câu 3: ( 3 điểm).
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD
1) Tứ giác DFBE là hình gì ? Vì sao ?
2) Chứng minh: AC2 = AB.AH +AD.AK
Câu 4: ( 1 điểm).
Cho một góc nhọn xOy và một điểm M ở trong góc ấy Hãy dựng qua M một đ-ờng thẳng cắt hai cạnh của góc đó ở A và B sao cho tổng
MB MA
1 1
+ là lớn nhất
Câu 5 (1 điểm).
Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời: x2 +2y+1= y2 +2z+1= z2 +2x+1 = 0 Tính giá trị của biểu thức: A=x30 + y4 +z2010
-Phòng GD&ĐT Lâm Thao Hớng dẫn chấm Môn Toán lớp 8
Năm học 2009 - 2010 Kỳ thi chọn HSNK cấp huyện - Ngày thi 22/4/2010 - Thời gian làm bài: 120 phút
Đề chính thức
Trang 2(2 đ)
2
(3 đ)
a/ Tìm các chữ số x, y sao cho xxyy= xx2 +yy2
HD: Ta có: xxyy= xx2 + yy2
) (
11 ) 99
(
11 x+x+y = 2 x2 + y2
⇔ suy ra x+ y chia hết cho 11, tức là x+ y = 11
Suy ra: 9x= x2 + y2 và chỉ có một cặp duy nhất thỏa mãn, đó là: x = 8; y = 3.
Thử lại: 8833 = 88 2 + 33 2 (đúng)
b/ Chứng minh rằng nếu p và p2+2 là hai số nguyên tố thì p3 + 2
cũng là số nguyên tố.
HD: Nhận xét rằng:
Mọi số nguyên tố khác 3 đều có dạng p = 3k ±1, trong đó k là
số nguyên dơng nào đó
Nếu p = 3k +1 thì p2 + 2 = 9k2 + 6k+ 3 chia hết cho 3
Nếu p = 3k - 1 thì p2 + 2 = 9k2 − 6k+ 3 cũng chia hết cho 3
Do p≥ 2 nên cả hai trờng hợp p2 + 2 đều là hợp số Thành thử
2
2 +
p là nguyên tố khi p = 3 khi đó 3 2 29
= +
p là số nguyên tố
(đpcm)
c/ HD:
Từ phơng trình đã cho suy ra:
y2 chẵn và 0 < y2 ≤ 14
Suy ra y2 = 4 ⇒ x2 = 9
Do x, y nguyên dơng, nên x = 3, y = 2 thỏa mãn
a/ (2 điểm).
+ +
1
2 3
2
x x
x
:
x
x x x
x
3
1 3 1
4
+
−
Rút gọn biểu thức A rồi tìm giá trị của x để A < 0
ĐK: x ≠ 0, x ≠ -1, x ≠
2
1 ,
+ +
1
2 3
2
x x
( 1) 3
2 1 2 1 2 ) 1 ( 3
) 4 1 ( 2 ) 1 ( 3
2 8 )
1 ( 3
9 9 6 2
2
+
+
−
= +
−
= +
+
−
= +
−
− + + +
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x x x
x
do đó:
x
x x x
x x
x
x x
A
3
1 3 1
) 2 1 (
2 : ) 1 ( 3
) 2 1 )(
2 1 (
+
− +
+
−
=
=
x
x x x
x x
x
x x
3
1 3 )
2 1 ( 2
1
) 1 ( 3
) 2 1 )(
2 1 (
−
+ +
+
−
3
1 3
) 1 (
3 3
1 3 3
2
1 + + 2 − − = 2 − = − = −
x
x x x
x x x
x x x x
Ta có: A < 0 ⇔ 0
3
1 <
−
x
⇔ x-1< 0 ⇔ x < 1.
Kết hợp với điều kiện ban đầu thì A< 0 khi và chỉ khi:
1,0 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 1,0 0,5
0,5
0,5
0,5
0,25 0,25 0,5 0,5
Trang 3(3 đ)
4
(1 đ)
x < 1; x ≠ 0; x ≠ -1, x ≠
2
1
b/ ( 1 điểm):
Ta có B =
3 2
10 6 3 2
2 + +
+ +
x x
x
2 ) 1 (
1 3
3 2
1
+ + +
= + +
+
x x
2
1
3 + =
≤ Dấu bằng xẩy ra khi x = -1 Vậy B max = 3,5, khi x = -1
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt là hình
chiếu của B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB
và AD.
a/ (1,5 đ) Tứ giác DFBE là hình gì ? Vì sao ?
b/ (1,5) Chứng minh rằng AC2 = AB.AH +AD.AK
HD:
D A
H
K E
F
a) Ta có BE AC
DF AC
⊥ => BE //DF (1)
∆ABE = ∆CDF (ch, gn) , suy ra BE = DF (2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác BEDF là hình bình hành
b/ Ta có :
Tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACH (g, g) suy ra:
AH
AE AC
AB
.
⇒
Tam giác ADF đồng dạng với tam giác ACK (g, g) suy ra:
AK
AF AC
AD
.
⇒
Cộng vế của (1) và (2), ta đợc:
AB AH +AD AK = AC AE + AC AF= AC.( AE + AF )= AC AC= AC 2
(do AE = FC) ( đpcm)
Cho một góc nhọn xOy và một điểm M ở trong góc ấy Hãy
dựng qua M một đờng thẳng d cắt hai cạnh của góc đó ở A và B
sao cho tổng
MB MA
1
1 + là lớn nhất.
0,5 0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,25 x
A P
N
Trang 4(1 đ)
HD tóm tắt:
Vẽ MN // Oy, ON // AB Từ giao điểm P của MN với OA kẻ PQ //
AB Dễ dàng chứng minh đợc:
PQ ON MA
1 1
Vế trái đạt giá trị lớn nhất khi PQ nhỏ nhất Vì OM cố định, P cố
định nên PQ nhỏ nhất khi PQ vuông góc với OM, tức AB vuông góc
với OM
Hay, đờng thẳng d vuông góc với OM tại M
Cho ba số x, y, z thỏa mãn đồng thời:
1 2 1
2 1
2 + y+ = y + z+ = z + x+
x
Tính giá trị của biểu thức: A=x30 +y4 +z2010
HD:
Từ giả thiết ta có :
2
2
2
+ + =
Cộng từng vế các đẳng thức ta có
(x2 + 2x+ + 1) (y2 + 2y+ + 1) (z2 + 2z+ = 1) 0
⇔ + + + + + = (*)
Do ( x+1) 2 ≥0 ; ( y+1) 2 ≥0 ; ( z+1) 2 ≥0 nên:
(*) xảy ra
1 0
1 0
1 0
x y z
+ =
⇔ + =
+ =
1
x y z
⇔ = = = −
3 )
1 ( ) 1 ( ) 1
2010 4
=
Vậy A = 3
-0,25 0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
B O
M
y