a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. a Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên.. b Viết phơng trình tiếp tuyến chung của E1 và P... +Nếu thí sinh làm
Trang 1Đề thi Học sinh giỏi 12 THPT – Môn Toán Môn Toán
Thời gian 180 phút
-o0o -Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2
c) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5)
d) Trên đờng thẳng y = 9x – Môn Toán 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến
Câu 2: (3 điểm) Giải các phơng trình sau:
3
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
7
b) Tìm m để bất phơng trình sau đúng với mọi x
1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – Môn Toán 1
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:
f(x)
b) Tính tích phân:
1 5
2 2
1 5 2
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho 2 elíp (E1):
2 2
1
15 6 , (E2
):
2 2
1
6 15 và parabol (P): y
2 = 12x
a) Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên
b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (E1) và (P)
Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh
a (a> 0) Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 3 M là một điểm khác B
SB .
Đáp án đề thi Học sinh giỏi 12 THPT – Môn Toán Môn Toán
-o0o -Chú ý: + Đáp án gồm 5 trang.
Trang 2+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x = 0 x 0
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2) và (0; +);
hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 1) và đạt cực tiểu tại điểm (-2; 5)
+ Giới hạn:
xlim y
cận
+ Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 6 = 0 x = -1
Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-; -1), lõm trên khoảng (-1; +) và có điểm uốn là (-1; 3)
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) và (1; 5) Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
1b Ta có: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)
x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a
số nghiệm của phơng trình (1) chính là số giao điểm của
đồ thị (C) và đờng thẳng y = a, từ đồ thị ở câu a ta có:
- Phơng trình (1) có 1 nghiệm nếu a > 5 hoặc a < 1
- Phơng trình (1) có 2 nghiệm nếu a = 5 hoặc a = 1
- Phơng trình (1) có 3 nghiệm nếu 1 < a < 5
Xét hàm số f(m) = m3 + 3m2 + 1 f(m) cũng có đồ thị là (C), nên từ đồ thị ở câu a ta có:
0,25 0,25
y 5 3
1
-3 -2 -1 0 1 x
Trang 3- a > 5 m > 1; a = 5 m = 1 hoặc m = -2
- a < 1 m < -3; a = 1 m = -3 hoặc m = 1
- 1 < a < 5 -3 < m < 1 Vậy ta có:
+ Với m > 1 hoặc m < -3 thì phơng trình (1) có 1 nghiệm
+ Với m = -3 hoặc m = -2 hoặc m = 1 hoặc m = 2 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
+ Với -3 < m < 1 và m -2, m 0 thì phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
0,25
0,25
1c Gọi phơng trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng:
y = k(x – Môn Toán 1) + 5 y = kx + 5 – Môn Toán k
Vì là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
2
Có 2 tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (1; 5) là:
y = 5 và y = 9x – Môn Toán 4
0,25 0,50 0,25
1d Gọi M (x0; 9x0 – Môn Toán 4) là điểm trên đờng thẳng y = 9x – Môn Toán 4
Đờng thẳng đi qua M có phơng trình dạng:
y = k(x – Môn Toán x0) + 9x0 – Môn Toán 4
Ta có:
2
Để có 3 tiếp tuyến qua M thì hệ trên cần có 3 nghiệm
phơng trình sau cần có 3 nghiệm phân biệt:
(x – Môn Toán 1)[2x2 + (5 – Môn Toán 3x0)x + 5 – Môn Toán 9x0] = 0
Từ đó ta có điều kiện của x0 là:
0
0
0
Vậy các điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x – Môn Toán 4) với điều kiện:
0,25
0,25 0,25
0,25
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
3
3
3 cos x 4 cos x 3
(1 2) , ta có f(t) đồng biến với t mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x
0,25
0,50 0,50 0,25
Trang 4 cos3x = 0 x = k
2b Ta có: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – Môn Toán x + 1) > 0
x2 – Môn Toán 3x + 1 = 2(x2 – Môn Toán x + 1) – Môn Toán (x2 + x + 1) Đặt
2
2
t
, t > 0 Phơng trình trở thành:
2
3
t 3
2
2
x = 1
0,25 0,25 0,50 0,25
0,25
Bất phơng trình đã cho tơng đơng với:
11
0 log m
(*)
Đặt u = x2 + mx + 10, u 0
+ Với 0 < m < 1: (*) f(u) = log7( u + 4)log11(u + 2) 1
Ta thấy f(9) = 1 và f(u) là hàm đồng biến nên ta có:
f(u) f(9) u 9 x2 + mx + 10 9 x2 + mx + 1 0
Vì phơng trình trên có = m2 – Môn Toán 4 < 0 với 0 < m < 1 nên phơng trình trên vô nghiệm bất phơng trình đã cho vô
nghiệm
+ Với m > 1: Ta có: f(u) 1 = f(9) 0 u 9
0 x2 + mx + 10 9
2
2
Xét phơng trình x2 + mx + 1 = 0 có = m2 – Môn Toán 4
Nếu 1 < m < 2 < 0 (2) vô nghiệm bất phơng trình đã cho vô nghiệm
Nếu m > 2 > 0 phơng trình trên có 2 nghiệm đều thoả mãn (1) và (2) bất phơng trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm
Nếu m = 2 (2) có nghiệm duy nhất x = -1 bất phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1
Vậy giá trị cần tìm của m là: m = -2
0,50 0,50
0,50
0,50
3b Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở thành:
tìm m sao cho maxf(x) 2m – Môn Toán 1
Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx
Đặt t = sinx + cosx, 2 t 2 Ta có:
0,25 0,25
0,25
Trang 5f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – Môn Toán 1 với 2 t 2.
2 ; 2
max g(t) 4( 2 1)
Vì f(x) 0 nên ta có:
2
0,75 0,25 0,25
xlim f(x)0 xlim f(x)0 f(0) b 1
x 0
Và
x 0
x
Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi a = 6 và b = 1
0,25 0,50 0,25
0,25 0,25
1 5
2
1 5 2
1 1 x
1
x
Đặt
/ 4
/ 4
1
0,50
0,25
0,50
5 5a Toạ độ giao điểm của 2 elíp (E1) và (E2) là nghiệm của hệ
phơng trình:
2 2
2 2
2 2
1
60
7
1
Vậy đờng tròn đi qua các giao điểm của 2 elíp là:
2 2 60
7
0,50
0,50
5b Gọi đờng thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0), là tiếp
tuyến chung của (E1) và (P) Ta có:
Trang 62 2
2
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: 3x 5y5 3 0
1,0 0,50
Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ nh hình vẽ Suy ra ta có:
A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a 3 ) và
B = a a 3; ;0
Suy ra phơng trình của SB là:
Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:
x0 – Môn Toán 2ax0 + y0 + z0 = 0 x0 3a
8
3a 3a 3 a 3
4
SB 4
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,50
-
S
H