c Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ MÔN HỌC EM YÊU THÍCH CẤP QUẬN
Môn: TOÁN
Năm học 2014-2015
Ngày thi: 27/05/2014 Thời gian làm bài: 90 phút
2
3 :
A
a) Rút gọn biểu thức A
2014 2 x 1 2013 b) Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn:
c) Tìm giá trị của x để A < 0
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên
Bài 2 (3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - 7 )2 - 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A= n3(n2 - 7 )2 - 36n 210 với mọi số tự nhiên n
Bài 3 (3 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày và đi với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy ?
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông t i A L y m t i m M b t k trên c nh AC T C v m tạ ấ ộ đ ể ấ ỳ ạ ừ ẽ ộ
ng th ng vuông góc v i tia BM, ng th ng n y c t tia BM t i D, c t tia BA t i E
EAD ECB a) Ch ng minh: EA.EB = ED.EC v ứ à
120 0
BMC S AED 36cm2 S EBC b) Cho v Tính ?à
c) Ch ng minh r ng khi i m M di chuy n trên c nh AC thì t ng BM.BD + CM.CAứ ằ đ ể ể ạ ổ
có giá tr không ị đổi
DH BC HBC CQPD d) K G i P, Q l n lẻ ọ ầ ượ àt l trung i m c a các o nđ ể ủ đ ạ
th ng BH, DH Ch ng minh ẳ ứ
Bài 5: (3điểm).
a) Chứng minh rằng số n2 +2014 với n nguyên dương không là số chính phương
b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5
Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab
Hết
-Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
1
5 đ
a)
ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2
1 3
x
Rút gọn được A=
0.5 1.5
b
2014 2 x 1 2013 Từ
Tìm được x=1; x=0 (loại x=0 do không thỏa mãn ĐK)
Thay x=1 vào biểu thức tính được A= 0
0.5 0.5
c A< 0 suy luận được x<1 và : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 1.0
2
3 đ
a) Phân tích được x
3(x2 - 7 )2 – 36x = x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
1.5
b)
Theo phần a ta có :
A = n3(n2 - 7)2 - 36n
= n(n + 1)(n - 1) (n - 3)(n + 2)(n - 2)(n + 3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp Trong 7 số nguyên liên tiếp có:
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A (2, 3, 5, 7)
Hay A 210
0.75
0.75
3
3 đ
Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x >
0
=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)
Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)
=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)
Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)
Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)
Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp
0,25
0,75 0,5
Trang 3và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:
50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x
5
6<=> x = (h) = 50 phút (TMĐK)
Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy
0,5 0,5
0,5
4
6đ Hình vẽ:
0,5
a
* Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)
EB ED
EA EB ED EC
EC EA - Từ đó suy ra
EAD ECB * Chứng minh
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)
EAD ECB - Suy ra
0,5 0,5
0,5 0,5
b BMC AMB ABM- Từ = 120o = 60o = 30o
B- Xét EDB vuông tại D có = 30o
1
2
1 2
ED
EB ED = EB 2
EAD
ECB
- Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm2
I P
Q
H
E
D A
M
0.5
0.5
Trang 4 - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
0.25 0.25 0.5
d
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg)
2 2
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
BDP DCQ
ma BDP PDC
0,25
0,25
0,5
5
3đ
a
Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2+2014 =k2 k2 – n2
= 2014
(k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
b Với 2 số a, b dương:
a b 1 ab ⇔ Xét: a2 + b2 – ab 1
⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0)
⇔ a3 + b3 a + b
⇔ (a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )
⇔ a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6
⇔ 2a3b3 ab5 + a5b
⇔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0
0,5
0,5
0,25 0.5 0.5
Trang 5
ab a2 b2 2 0
đúng a, b > 0
a b 1 abVậy: với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
0,25
Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.