m-tham số a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.. Có ít nhất một nghiệm.. Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng.. Cho tứ diện ABCD có BAD =900 và c
Trang 1đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1.Cho hàm số:
y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1) (m-tham số)
a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m
b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+∞)
Bài 2.
a.Với giá trị nào của m thì bất phơng trình sau :
x2- 2mx + 2 x−m +5 < 0 Có ít nhất một nghiệm
b.Tìm a để phơng trình sau có nghiệm và tìm nghiệm:
2
Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và
CD.Hai điểm R,S lần lợt lấy trên các cạnh AC và BD sao cho k
BS
BD AR
AC
=
=
(k > 0)
Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng
Bài 4.
Cho tứ diện ABCD có BAD =900 và chân đờng vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC
Chứng minh rằng : (AB +BC +CA)2 ≤ 6(AD2 +BD2 +CD2)
Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện :
2y ≥x2 ; y ≤ -2x2 + 3x
Chứng minh rằng : x2 + y2 ≤ 2
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Hớng dẫn chấm
Trang 2Bài 1.(4điểm).
a.(2điểm)
Điểm A(x0;y0) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m 0.5đ
=
=
⇔
=
−
−
−
= +
−
=
−
⇔
∀
=
−
−
− + +
−
−
−
⇔
∀
− +
+
−
− +
−
⇔
0
2 0
2
0 2 3
0 2
,0 ) 2
( )2 3
( )
2(
2
), 1 2(
2 )2 3 2(
)1 (
0 0
0 0
2
0
3
0
0
2
0
0
0 0
2 0
3 0 0
2 0
2 0
0
2 2
0
3
0
y
x y
x x
x
x
x
x
m y
x x x m x
x m x
m m
m x
m m
x m
x
0.5đ
0.5đ
Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua ∀m 0.5đ
b.(2điểm) Ta có:
) 2 3 2 ( ) 1 ( 2 3
)
y
0.5đ
∆’ =7m2 –7m +7 = 7(m2-m+1) > 0 ,∀m 0.5đ
y, ≥0,∀x∈ ( 2 ; +∞ )
<
−
≥
⇔
0 2 2
0 )2(
S
g
0.5đ
3 2
05
06
2 2
≤≤
−⇔
<−
≤−
+
m
m
m
0.5đ
Bài 2.(6điểm)
a.(3điểm) Bất phơng trình đã cho tơng đơng với :
(*) 0 5
2
)
(x−m 2 + x−m + −m2 <
0.5đ
Trang 3đặt: t = x−m điều kiện : t, ≥0
0.5đ (*)trở thành ≥ < − + + 0 )1( 0 5 2 2 2 t m t t 0.5đ Hệ có nghiệm ≥ > ∆ ⇔ 0 0 2 ' t (t2 là nghiệm lớn) 0.5đ 0.5d
5 0.5d
0 4 1 0 4 2 2 ≥ ⇔ ≥ − +− > − ⇔ m m m
b.(3điểm) Đ/k : x>0 , x≠ 1, a>0 , a≠ 1
0.5đ
(1)⇔ x x x x a a a a a log log log log log 1 2 2 2 1 1 2 = + x x x x a a a a a a log log log log log log 2 2 2 2 = + − ⇔
0.5đ Đặt : t = x a log , b= loga2 Ta đợc phơng trình: ) 2 ( 0 2 2 2 2 − + = ⇔ t−b +t2− b= t b t b t t 0.5đ -Nếu t≥b thì ( 2 ) ⇔t2 + 2t− 4b= 0 ( 3 ) (3) có nghiệm 4 1 0 ' ≥ ⇔ ≥ − ∆ ⇔ b Lúc đó (3) có hai nghiệm t1 = − 1 − 1 + 4b ; t2 = − 1 + 1 + 4b Rõ ràng t1<-1 < b nên bị loại t2≥b⇔ 1 + 4b≥ 1 +b⇔b(b− 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤b≤ 2 Vậy 0 ≤b≤ 2⇔ 0≤ log 2≤ 2⇔ a2 ≥ 2 a Vì a>0 nên a≥ 2 0.5đ
Trang 4-NÕu t< b th× (2)⇔t2 − 2t= 0
V× t≠ 0 (x≠ 1 )nªn t=2
Theo ®iÒu kiÖn t< b, ta ph¶i cã: b>2⇒ log 2> 2⇒ 1< a2< 2⇒ 1< a< 2
KÕt hîp hai trêng hîp ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi a > 1
Khi 1<a< 2 th× nghiÖm lµ x = a2
Khi a≥ 2 th× nghiÖm lµ x = a 1 + 4 log 2 − 1
a
0.5® Bµi 3.(4®iÓm) [ ] [ ]
, , 2 2 0.5d
) 0 BP AP (vi ) ( 2 0.5d
) ( 2 0.5d
) ( 2 1 0.5d
) 0 BP AP (vi ) ( 2 1 0.5d
) ( ) ( 2 1 0.5d
) ( ) ( 2 1 0.5d
) ( 2 1 PS PR PQ to vec ba PS k PR k PQ PS PR k PS BP PR AP k BS AR k BD AC BP AP BD AC BP BD AP AC PD PC PQ − ⇒ + = = + + = + + + = + = = + + = + − + = − + − = + =
§ång ph¼ng hay bèn ®iÓm P,Q,R,S cïng thuéc mét mÆt ph¼ng
0.5® Bµi 4.(4®iÓm) Tríc hÕt ta chøng minh CDA =900 ThËt vËy: Gäi H lµ h×nh chiÕu cña D lªn mp(ABC), gi¶ sö CH c¾t AB t¹i E Do :AB⊥DH vµ AB⊥CE nªn AB⊥ (DEC) Suy ra : AB⊥DC (1) 1®
MÆt kh¸c :theo gi¶ thiÕt BDC =900 ⇒DC ⊥BD (2)
Tõ (1)vµ (2) DC⊥ (ABD) ⇒DC⊥DA ⇒ CDA =900 0.5®
Hoµn toµn t¬ng tù :
Trang 5ADB =900
0.5đ
Từ đó ta có :
AB2 + BC2 + CA2 =2(AD2+BD2+CD2) (1) 0.5đ
Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có:
(AB+BC+CA)2 = AB2+BC2+CA2+2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB ≤ (AB2+BC2+CA2) (2)
Kết hợp (1),(2) ta đợc : (AB+BC+CA)2 ≤ 6(AD2+BD2+CD2) 1đ
Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA 0.5đ
Bài 5.(2điểm)
Từ giả thiết suy ra :
x y 2x 3x
2
2 2
+
−
≤
0.5đ
(Các điểm thoả mãn (1)là phần hình phẳng
đợc tô đậm ở hình bên)
Hoành độ giao điểm của hai
Parabol:
0
4
3
5
6
y1=
2
2
x và y2=-2x2+3x
là nghiệm phơng trình:
5
6 , 0 3
2 2
2 2
=
=
⇔ +
−
= x x x x
Với điều kiện (1) ,ta có :
x2+y2 ≤x2 + ( − 2x2 + 3x) 2= 4x2 − 12x3 + 10x2 với
5
6
0 ≤x≤ 0.5đ
Ta xét hàm số :
f(x)=4x4 –12x3+10x2 trên 5
6
; 0
f’(x)=16x3-36x2+20x
=4x(4x2-9x+5)
f’(x)=0⇔x=0 , x=1, x=
4
5
0.5đ
Bảng biến thiên
x 0 1 6\5
f’(x) + 0 -
2
f(x)
Trang 60 1224625
Tõ b¶ng biÕn thiªn :
( )
5
6
; 0
x
Maxf
V× vËy : x2 +y2 ≤ 2 DÊu b»ng xÈy ra khi :x = y =1 0.5