Số phơng trình cân bằng tĩnh học là vừa đủ để xác định các phản lực trong các liên kết đó.. Ví dụ: Đối với hệ nh trên hình 8-2 để hệ cố định thì chỉ cần ngàm tại A, liên kết kép tại B có
Trang 1Chơng 9
Hệ thanh siêu tĩnh
9.1 khái niệm
9.1.1 Khái niệm
Trong chơng này ta chỉ xét đến bài toán phẳng Giả sử hệ thanh là một hệ
phẳng và lực tác dụng cũng nh chuyển vị của hệ chỉ xảy ra trong mặt phẳng của
hệ, tức là mọi di động của hệ chỉ xảy ra trong mặt phẳng chứa hệ Nh vậy hệ có 3
bậc tự do (hai chuyển động tịnh tiến và một chuyển động quay trong mặt phẳng
của hệ) Để cố định hệ ta cần 3 liên kết đơn hợp lý Số phơng trình cân bằng tĩnh
học là vừa đủ để xác định các phản lực trong các liên kết đó Bài toán này gọi là
bài toán tĩnh định (Hình 8-1) Nếu số liên kết nhiều hơn số liên kết cần thiết để
giữ cho hệ cố định thì hệ đó tồn tại liên kết thừa
Ta có định nghĩa: Hệ thanh siêu tĩnh là hệ có tồn tại liên kết thừa
Bậc siêu tĩnh của hệ là số liên kêt thừa
9.1.2 Phân loại:
- Hệ siêu tĩnh ngoại: là hệ siêu tĩnh có liên kết thừa là liên kết của hệ với mặt đất
hoặc với vật thể khác
- Hệ siêu tĩnh nội: Là hệ siêu tĩnh có số liên kết thừa tồn tại ngay trong bản thân
hệ
- Hệ siêu tĩnh hỗn hợp: Khi tồn tại liên kết thừa cả nội lẫn ngoại
Ví dụ: Đối với hệ nh trên hình 8-2 để hệ cố định thì chỉ cần ngàm tại A, liên
kết kép tại B có tác dụng làm tăng độ cứng vững của hệ, song để xác định đợc
các phản lực liên kết thì cần phải có 5 phơng trình vì có 5 ẩn số là các phản lực
liên kết, mà ta chỉ có 3 phơng trình cân bằng tĩnh học Điều này cho thấy là ta
phải tìm thêm 2 phơng trình nữa thì mới giải đợc bài toán Không có cách nào
khác là phải dựa vào điều kiện chuyển vị và biến dạng của hệ để thiết lập thêm
các phơng trình này
Số liên kết thừa chính là số bậc siêu tĩnh của hệ và ta thấy rằng có bao nhiêu
liên kết thêm thì cần phải có bấy nhiêu phơng trình để giải hệ Xét ví dụ trên
hình 8-2 ta thấy hệ có 2 bậc siêu tĩnh
Vậy :
Các liên kết trên đây gọi là liên kết ngoại, chúng đợc nối với trái đất hay một
hệ cố định khác
Tơng tự ta có thể xét liên kết giữa các phần trong cùng một hệ Ví dụ xét 2 hệ
A và B (Hình 8-3), giả sử (A) là cố định thì (B) và (A) có 3 bậc tự do
B
A
C
D
Hình 8-1
C
A
D
B
Hình 8-2
(B) (A)
C (B) (A)
D
(B) (A)
C
Trang 2Nếu ta gắn (B) vào (A) bằng một khớp cầu tại C thì (B) chỉ còn quay quanh (A) ở C, nh vậy khớp cầu tại C tơng đơng với 2 liên kết đơn (do nó hạn chế đợc 2 bậc tự do của hệ, để (B) cố định với (A) thì ta cần phải đặt thêm một liên kết đơn tại D (Hình 8-3,4,5)
Vậy số liên kết để gắn phần này với phần kia của một hệ cũng là 3 liên kết
đơn hợp lý (không cùng song song) Ta cũng có thể gắn (B) vào (A) bằng một mối hàn tại C (Hình 8-6) vì một mối hàn tơng đơng với 3 liên kết đơn
Tại D nếu ta thêm một mối hàn hay một khớp cầu thì hệ sẽ thừa 3 hoặc 2 liên kết, tức là hệ sẽ trở thành siêu tĩnh bậc 3 hoặc 2 Những liên kết giữa các phần của một hệ gọi là siêu tĩnh nội
Nhận xét :
- Một chu vi khép kín có ba bậc siêu tĩnh
- Nếu trong chu vi đặt một khớp nối đơn nối hai thanh (H 8-8) thì bậc siêu tĩnh giảm đi một
- Nếu ta đặt 3 khớp đơn thì giảm hết bậc siêu tĩnh (3 khớp đơn không thẳng hàng)
- Một hệ có thể vừa siêu tĩnh nội vừa siêu tĩnh ngoại và số bậc siêu tĩnh bằng tổng số bậc siêu tĩnh nội và ngoại (H 8-9)
8.1.3 Ưu nhợc điểm của hệ siêu tĩnh
Để thấy rõ u nhợc điểm, ngời ta thờng hay so sánh với hệ tĩnh định
- Hệ siêu tĩnh thờng có biểu đồ nội lực phân bố về 2 phía và có giá trị lớn nhất nhỏ hơn so với tĩnh định Do vậy chúng có độ bền, độ cứng cao hơn
so với tĩnh định
- Hệ siêu tĩnh có nhợc điểm là dễ gây biến dạng, ứng suất d khi lắp ráp và nhiệt độ thay đổi Khi chế tạo yêu cầu độ chính xác rất cao
- Do các u nhợc điểm trên, cho nên hệ siêu tĩnh đợc phổ biến trong ngành xây dựng còn trong ngành cơ khí, chúng chỉ đợc sử dụng đối với chi tiết yêu cầu độ bền độ cứng cao nh: trục chính…
Trang: 17
Hình 8-6
(B) (A)
C
D
(B) (A)
Hình 8-8
C C
(B) (A)
Hình 8-7
D
Hình8-9
Trang 39.2 Giải hệ thanh siêu tĩnh bằng phơng pháp lực
Để giải một bài toán siêu tĩnh (tính chuyển vị, vẽ biểu đồ nội lực…) ngời ta xây dựng một hệ tĩnh định tơng đơng với hệ siêu tĩnh, có nghĩa là hệ TĐTĐ phải
có biến dạng, chuyển vị và cách làm việc giống hệ siêu
tĩnh hoàn toàn Từ điều kiện chuyển vị trên ngời ta thiết
lập phơng trình và giải phơng trình tìm các phản lực Sau
khi tính đợc phản lực, bài toán trở thành hệ tnhx định
bình thờng Ngời ta thờng giải theo trình tự sau:
9.2.1 Hệ cơ bản.
Định nghĩa: hệ cơ bản là hệ tĩnh định có đợc từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ bớt liên kết thừa
Ví dụ với hệ siêu tĩnh đã cho ta có thể chọn một trong các hệ cơ bản nh trên hình 8-11
Hệ a – ta đã bỏ 2 liên kết tại B
Hệ b – ta bỏ một liên kết tại A và một liên kết tại B
Hệ c – ta bỏ một liên kết nội tại C và một liên kết ngoại tại B
Hệ d – ta đã bỏ 2 liên kết tại A
Hệ e – ta đã bỏ 2 liên kết nội tại A và C
Hình 8-11
C
A
B
a)
C
A
B
b)
B C
A
c)
B C
A
d)
C
A
B
e)
Hình8-10
C
A
B
q
Trang 4Chú ý: Ta chỉ đợc phép bỏ bớt liên kết chứ không đợc thêm vào Ví dụ với hệ
trên hình 8-12 không phải là hệ cơ bản của hệ siêu tĩnh đã cho vì tại B ta đã thêm
vào một liên kết
Dĩ nhiên khi bỏ bớt các liên kết ta phải tránh để cho hệ trở thành một hệ biến
hình hoặc biến hình tức thời Ví dụ hệ trên hình 8-13 ta đã bỏ 2 liên kết nội trên
đờng CB và nh vậy ta có một hệ có 3 khớp thẳng hàng, hệ đó là một hệ biến hình
tức thời và không thể trở thành một hệ cơ bản đợc
9.2.2.Hệ tĩnh định tơng đơng.
Định nghĩa: Hệ tĩnh định tơng đơng là hệ tĩnh định có chuyển vị, biến dạng
giống hệt hệ siêu tĩnh
Đặt các lực liên kết vào những nơi liên kết đã bị bỏ đi (H 8-14)
Hệ a: Liên kết tại B có 2 thành phần phản lực theo 2 phơng vuông góc Do đó
khi bỏ liên kết đó đi ta phải đặt vào các phản lực theo 2 phơng để thay thế
Hệ b: ở hệ này ta đã thay ngàm A bằng một gối tựa cố định vậy ta phải thêm
một thành phần mômen để liên kết tơng đơng với ngàm A Tại B ta phải đặt thêm
một thành phần phản lực ngang để tơng đơng với gối cố định B
Hệ c: Tại C khi thay khớp vào có nghĩa là ta đã bỏ đi thành phần mômen uốn
liên kết giữa các thanh, vì vậy để tơng đơng nh cũ ta phải đặt các mômen đó 2
bên khớp C Tại B phải đặt thêm các thành phần phản lực ngang
Hệ d: Tại A ta đã thay ngàm bằng một gối di động, do vậy ta phải đặt thêm
một mômen và một phản lực ngang thì liên kết đó mới tơng đơng với liên kết
ngàm tại A
Hệ e: Tại C ta đã thay vào đó một khớp cầu và tại A ta đã bỏ ngàm và thay
vào đó một gối cố định, do đó ta phải đặt thêm vào C và A các mômen liên kết
X1 và X2
Trang: 19
Hình - 13
C
A
B
a)
X
2
C
A
B
b)
B C
A
c)
X
2
B C
A
d)
X2
C
A
B
e)
X
2
X
1
X1
Hình 8-13
A
C
A
B
Hình 8-12
Trang 5Đặt tải trọng lên hệ cơ bản đã chọn Trị số của các phản lực liên kết đợc xác
định từ điều kiện chuyển vị do tải trọng và do các phản lực liên kết gây nên theo các phơng của phản lực liên kết phải bằng điều kiện chuyển vị thực của hệ siêu tĩnh Ví dụ ta chọn hệ cơ bản a và đặt tải trọng lên hệ cơ bản đó (H 8-14) Nh vậy tải trọng và các phản lực X1, X2 sẽ gây nên các chuyển vị theo phơng thẳng đứng
và phơng ngang của điểm B Để hệ này tơng đơng với hệ siêu tĩnh thì ta phải xác
định đợc trị số của X1, X2 sao cho các chuyển vị đó là bằng không (Gối tựa cố
định tại B của hệ siêu tĩnh không cho phép khung có chuyển vị theo phơng ngang và phơng thẳng đứng)
Sau khi đã xác định đợc trị số của X1, X2 thì ta đã có đợc một hệ tĩnh định
t-ơng đt-ơng và bài toán đợc giải nh bài toán tĩnh định bình thờng
9.2.3.Hệ phơng trình chính tắc.
Xét hệ siêu tĩnh bậc n, sau khi bỏ n liên kết thừa ta đợc hệ cơ bản Đặt tải trọng
và n phản lực liên kết, ta đợc hệ tĩnh định tơng đơng với điều kiện là chuyển vị theo phơng của xi ( i=1−n) do tất cả phản lực xi và tải trọng gây nên phải bằng
0 Xét chuyển vị theo phơng của lực xi là ∆i, áp dụng nguyên lý cộng tác dụng,
ta có:
∆i = ∆i( )x1 + ∆i( )x2 + + ∆i( )x n + ∆iP = 0
Nhận xét: Chuyển vị của lực tập trung gây nên bằng chuyển vị đơn vị δ do lực
đơn vị nhân với lực đó y( )P = δ P
Từ đó ta dễ dàng thấy: chuyển vị theo phơng của lực xi do xk gây nên là:
( )k ik k
i x = δ x
∆ Phơng trình trên đợc viết lại:
0
.
=
Khai triển ra, ta đợc hệ phơng trình chính tắc
0 Δ X δ
X δ
X
δ
0 Δ X δ
X
δ
X
δ
0 Δ X δ
X
δ
X
δ
nP n nn 2
2
1
1
P 2 n n 2
22
1
21
P 1 n n 2
12
1
11
= + +
+ +
= +
+ + +
= + +
+ +
Các hệ số δii đợc gọi là hệ số chính Các hệ số δik đợc gọi là hệ số phụ và ∆ip
gọi là các số hạng tự do Trong đó các hệ số đợc xác định:
C
A
B X1 X
2
Hình 8-14
q
Trang 6δik là chuyển vị đơn vị theo phơng của lực xi do xk =1 gây nên đợc xác định bằng cách nhân biểu đồ: δik = δki =( )( )M i M K Trong đó Mi là biểu đồ mô men
đơn vị do xi =1 gây nên
iP
∆ là chuyển vị theo phơng của lực xi do tải trọng gây nên
( )p ( )i
iP = M M
∆ Trong đó MP là biểu đồ mô men do tải trọng đặt lên hệ cơ bản gây nên
Sau khi tính đợc các hệ số, thay vào hệ phơng trình chính tắc, giải ra ta tìm đợc các phản lực xi
9.2.4.Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ siêu tĩnh và kiểm tra
a Vẽ biểu đồ: 2 cách:
- Thay các giá trị phản lực đã tính đợc vào hệ tĩnh định tơng đơng và coi đó là tải trọng ta vẽ đợc biểu đồ nội lực cho hệ tĩnh định tơng đơng
- Vẽ biểu đồ nội lực theo nguyên lý độc lập tác dụng Chẳng hạn biểu đồ mô men: M st =M P +M1.x1+M2.x2 + +M n.x n
b Kiểm tra biểu đồ:
Muốn biết đợc biểu đồ vẽ trên hệ tĩnh định tơng đơng trên có đúng là biểu đồ siêu tĩnh không, ta phải kiểm tra theo các bớc sau:
- Kiểm tra theo liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực
- Tách nút kiểm tra biểu đồ đối với khung
- Kiểm tra chuyển vị tại chỗ giải phóng liên kết thừa: ∆i =(M st)M i nếu bằng 0 thì biểu đồ đúng, nếu khác 0 thì biểu đồ sai
9.2.5 Tính chuyển vị cho hệ siêu tĩnh: theo trình tự sau:
- Vẽ biểu đồ Mst cho hệ siêu tĩnh
- Tại điểm k cần tính chuyển vị, ta đặt lực đơn vị Pk=1 lên hệ cơ bản và coi đó là tải trọng vẽ đợc biểu đồ mô men đơn vị Mkcb Bằng phép nhân biểu đồ, ta có: ( ) ( )cb
K st
k M M
9.2.6 Ví dụ:
Vẽ biểu đồ nội lực cho khung chịu lực nh hình vẽ sau (hình 8-15a)
Bài giải: Khung có 2 bậc siêu tĩnh, hệ tĩnh định tơng đơng đợc chọn nh hình 8-15b
Phơng trình chính tắc có dạng:
0 Δ X δ X δ
0 Δ X δ X δ
P 2 2 22 1 21
P 1 2 12 1 11
= +
+
= + +
Biểu đồ mômen uốn do các phản lực đơn vị và tải trọng nh hình vẽ (Hình 8-15c,d,e)
Trang: 21
B
A
C
a
Hình 8-15a
q
a
X
1 X
2
Hình 8-15b
q
X
1
Hình 8-15c
a
1
M B
A
C z
qa 28
3
Hình 8-15g
q
qa 7
1 1
2
2
MP
Hình 8-15e
2
qa2
2
M
a
Hình 8-15d
Trang 7áp dụng phơng nhân biểu đồ Vêrêsaghin ta có:
EJ
a 3
4 a a a 3
2 2
a
EJ
1
δ
3 2
2
21
EJ 2
1 2
a a a EJ
1 δ
EJ 3
a a 3
2 2
a
EJ
1
δ
3 2
EJ 4
qa 2
a a 2
qa
EJ
1
Δ
EJ 8
qa 5 a a 2
qa a 4
3 a 2
qa 3
1
EJ
1
Δ
4 2
P
2
4 2
2 P
1
−
=
−
=
=
=
Thay vào phơng trình chính tắc và rút gọn ta có:
0 qa 4
1 X
3
1
X
2
1
0 qa 8
5 X
2
1
X
3
4
2 1
2 1
=
− +
−
= +
−
Giải ra ta đợc:
28
3 X qa;
7
3
Sau khi đã xác định đợc các giá trị X1 và X2 ta đi vẽ biểu đồ M, N, Q cho hệ TĐTĐ (hệ siêu tĩnh), để vẽ đợc các biểu đồ nội lực thì ta đặt các lực X1 và X2 vào
hệ cơ bản và chú ý rằng lực X1 có chiều ngợc lại vì kết quả tính mang dấu âm (Hình 8-15g)
* Vẽ biểu đồ nội lực:
+ Đoạn AB (A → B): Dùng mặt cắt 1-1 cắt khung và giữ phần bên dới để khảo sát Ta có: z = 0 ữ a
Trang 8Giả thiết Q1 dơng, N1 dơng và M1 căng thớ phải Ta có phơng trình cân bằng:
28
3 N
0⇒ 1 =−
=
7
3 Q
=
∑X
Tại z = 0 ⇒ qa
7
3
Q1 = (dơng) Tại z = a ⇒ qa
7
4
Q1 =− (âm)
2
q qaz 7
3 M
=
∑M
Khi z = 0 ⇒ M1 = 0
z = a ⇒ 2
2
14
1 2
qa a qa 7
3
Tính giá trị M1max:
0 qz qa 7
3 dz
Rút ra:
a 7
3
z=
Do đó có:
2 2
98
9 qa 49
9 2
1 a 7
3 qa
7
3
* Đoạn BC (B → C): Dùng mặt cắt 2-2 cắt khung và xét phần bên trái Ta có z
= 0 ữ a
Trang: 23
M1
A
qa 28 3
q
qa 7 3
z
1 1
Q1
N1
Trang 9Giả thiết Q1 dơng, N1 dơng và M1 căng thớ phải Ta có phơng trình cân
bằng:
7
4 qa qa 7
3 N
=
28
3 Q 0
Y= ⇒ 2 =
2
1 qa 7
3 qa.z 28
3 M 0
∑
Tại z = 0 ⇒ 2
14
1
M =− (trên)
28
1 qa 2
1 qa 7
3 qa 28
3
Sau khi đã xác định đợc các giá trị nội lực tại các vị trí đặc biệt, ta vẽ đợc biểu
đồ M , Q và N cho hệ TĐTĐ nh hình vẽ:
Ta chú ý rằng các biểu đồ của hệ TĐTĐ cũng là biểu đồ của hệ siêu tĩnh đã cho Riêng đối với biểu đồ mômen uốn ta có thể sử dụng phép cộng biểu đồ nh sau: Nhân các trị số X1 và X2 vào các biểu đồ M1 và M2 rồi cộng với MP ta sẽ
đ-ợc biểu đồ mômen uốn của hệ siêu tĩnh
9.2.7 Hệ siêu tĩnh đối xứng
4qa
-28 3qa
Q
-+
+
28 3qa 7
4qa
7
3qa
M
98
9qa2
7 3a
14
qa2
28
qa2
Hình 8-16
B
A
Q2 z
qa 28 3
q
qa 7 3
2
2
N2
M2
Trang 10Nh ở trong phần trớc ta thấy rằng từ một hệ siêu tĩnh ta có thể có nhiều hệ cơ bản, trong số các hệ cơ bản đó, ta có thể chọn đợc một hệ cơ bản hợp lý nhất, nghĩa là đối với hệ cơ bản đó có nhiều hệ số phụ triệt tiêu nhất Trong mục này ta
đề cập đến cách chọn hệ cơ bản khi hệ có tính chất đối xứng
Ta gọi một hệ siêu tĩnh phẳng là một hệ đối xứng khi hệ có một trục đối xứng Một hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng là khi tải trọng đặt lên một phần nào đó của khung là ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gơng phẳng đặt vuông góc với mặt phẳng của khung và đi qua trục đối xứng của hệ Ngợc lại, nếu tải trọng của phần này là ảnh của phần kia nhng có chiều ngợc lại thì ta gọi là hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng Ví dụ khung siêu tĩnh (H 8-17a) là một hệ đối xứng
Hệ chịu tải trọng nh trên hình (H 8-17b) là hệ chịu tải trọng đối xứng và nh trên hình (H 8-17c) là hệ chịu tải trọng phản đối xứng
Tơng tự, nếu ta xét các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang nào đó thì ta cũng có thể chia các thành phần nội lực thành các thành phần đối xứng và phản
đối xứng
Trên hình vẽ (H 8-18), ta có lực dọc, mômen uốn Mx, My là các thành phần nội lực đối xứng còn lực cắt và mômen xoắn là các thành phần nội lực phản đối xứng
Hệ quả:
Nếu một hệ đối xứng chịu tác dụng của tải trọng đối xứng thì nội lực phản
đối xứng trên mặt cắt trong mặt phẳng đối xứng của hệ là bằng không Ngợc lại nếu tải trọng là phản đối xứng thì nội lực đối xứng phải bằng không
Ví dụ : Vẽ biểu đồ mômen nội lực của khung siêu tĩnh chịu lực nh hình vẽ
(H 8-21):
Bài giải:
Trang: 25
Hình 8-17
M M
c)
M M
Mx
My
z
Nz
Qy
Qx
y
x
Mz
Mx
My
z
Nz
Qx
Qy
y
x
Mz
Hình 8-18
Trang 11Khung có trục đối xứng CD và chịu tác dụng của tải trọng đối xứng nên thành phần lực cắt trên mặt cắt qua trục CD bằng không
Ta cắt đôi khung và xét một nửa khung (H 8-21b), vì tính chất đối xứng nên momen uốn và lực dọc trên hai mặt cắt ở các điểm D và C phải bằng nhau Từ
điều kiện cân bằng ta có :
2
P N
N1 = 2 =
Vậy ta chỉ còn phải tìm trị số mômen uốn X1.Từ điều kiện chuyển vị tơng đối giữa các mặt cắt tại C và D phải bằng 0 ta thiết lập đợc phơng trình chính tắc
0 Δ X
δ11 1+ 1P =
Biểu đồ đơn vị Mnvà tải trọng MPđợc biểu diễn nh hình 8- 19c,d
Hệ số phụ và số hạng tự do đợc tính nh sau:
−
−
=
=
+
=
=
∑∫
∑∫
1 2
π EJ
Pa ds
EJ
M M Δ
2
π 1 EJ
a 2 ds EJ
M M δ
2 P
1 P
1
P 1 11
Vậy ta có:
Pa 0.11 δ
Δ X
11
P 1
1 =− =
Biểu đồ mômen uốn của hệ đợc biểu diễn nh trên hình 8-22
a
C
D
Hình 8-21
b)
P
P/2
P/2
X
1
c)
X1 = 1
X1 = 1
d)
P
P/2
P/2
0,39Pa
M 0,39Pa 0,11Pa
