Tìm GTLN, GTNN của hàm số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A.. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I.. Các phương pháp thường sử dụng Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương Phương pháp 2: Tam

BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số  f x

Bước 1: Dự đoán và chứng minh  f x c f x;  c

Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để  f x c

2 Các phương pháp thường sử dụng

Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc hai

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacôpski

Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm

Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa độ

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ

II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y) = x2 + 11y2  6xy + 8x  28y + 21

Giải Biến đổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x  3y + 4)2 + 2(y  1)2 + 3  3



Bài 2 Cho x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =

y x

y x  y  x  

Giải

2

S

y x

S

2

x

S

2

x

Với x = y > 0 thì MinS = 2

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Ssin2xsin2 ysin (2 xy)

Giải Ssin2 xsin2 ysin (2 xy) = 1 cos 2 1 cos 2 1 cos (2 )

y x

x y





Với

3

x y  k , (k) thìMax 9

4

S 

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2 3 8 ( 1 2 2 3 6 7 7 8 8)

Sx x x  x  x x x x  x x x x x

Giải

Sx  x   x  x   x  x   x  x  

9

S 

Bài 5 Cho , ,x y z ¡ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = 19x2+ 54y2 +16z2 16xz  24y +36xy

Giải Biến đổi S  f(x) = 19x2  2(8z 18y)x + 54y2 +16z2  24y

Ta có x = g(y) = (8z 18y)2  (54y2 +16z2  24y) = 702y2 +168zy  240z2

 y = (84z)2  702.240z2 = 161424z2  0 zR  g(y)  0 y, zR

Suy ra x  0 y, zR  f(x)  0 Với x y z  0 thì MinS 0

Bài 6 Cho x2 + xy + y2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

S = x2  xy + y2

Giải Xét y = 0  x2 = 3  S = 3 là 1 giá trị của hàm số

Xét y  0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây

x xy y

y



 u(t2 + t + 1) = t2  t + 1  (u  1)t2 + (u + 1)t + (u  1) = 0 (*)

+ Nếu u = 1, thì t = 0  x = 0, y =  3  u = 1 là 1 giá trị của hàm số

+ Nếu u  1, thì u thuộc tập giá trị hàm số  phương trình (*) có nghiệm t

3   u

Vậy tập giá trị của u là 1 ,3

3

3

u  ; Max u = 3

3

u   t = 1 

3

x y

x y









Max S = 9  Maxu = 3  t = 1 











Bài 7 Cho x,yR thỏa mãn điều kiện  x2  y2 1 2 4x y2 2   x2 y20

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S= x2 y2

Giải Biến đổi x2  y2 2 2x2  y2 1 4x y2 2  x2 y20

 x2 y2 2  3x2 y2 1 4x2   0 x2 y2 2  3x2 y2 1 4x2

Do 4x2  0 nên x2y2 2 3x2y2   1 0 3 5 2 2 3 5

2



2

x y  

2



2

x y  

Bài 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  x 4x2 2x 1

Giải Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x)

 tồn tại x0 sao cho y0 = 2

0 4 0 2 0 1

x  x  x 

y  x  x  x   y  y x x  x  x 

3x 2(1y x)  1 y  Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0 0

(1y )  3(1 y ) 2(2 y y  1) = 2(y0 1)(2y0  1) 0

  0  2y0  1  0  0 1

2

y  Với x = 1

2

 thì Minf(x) = 1

2

Bài 9 Cho yf x x2 5x4mx. Tìm các giá trị của m sao cho Min y 1

2

1 2

2

f x







Gọi (P) là đồ thị của y = f(x)  (P) = (P1)  (P2) khi đó (P) có 1 trong các

hình dạng đồ thị sau đây

Hoành độ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P):

Hoành độ giao điểm (P1), (P2) x A = 1; x B = 4 ; Hoành độ đỉnh (P1): 5

2

C

m

x  

Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:

 Nếu xC [x A , x B ]  m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4).

Khi đó Minf(x) > 1 

m

  











 1 < m  3 (1)

 Nếu xC [x A , x B ]  m[ 3, 3] thì Minf(x) = 1  1

5 2

C

m

f x f   

4

Khi đó Minf(x) > 1 

2

[ 3, 3]

m

m

 







(2)

 Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1  1m52 3

Bài 10 (Đề thi TSĐH 2005 khối A)

A

B C

P2

P1

A

B C

P2

P1

A

B C

P1

P2

Cho , ,x y z  ; 1 1 1 40 x y z  Tìm Min của S 2x 1y zx 21y zx y1 2z

Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có:

a b c d1 1 1 1 4.4abcd.4.4 1 16 1 1 1 1 16

  

2

2

2

S









Bài 11 (Đề thi TSĐH 2007 khối B)

y

Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số ta có

S

4 4 4

4 4 4

Bài 12 Cho , 0

1

x y

x y









Tìm giá trị nhỏ nhất của S =

y x

Mặt khác, S =

y x

x  y  4

2 2 2

Bài 13 Cho x, y, z > 0 Tìm Max của: S =  

Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi và BunhiaCôpski ta có 3 đánh giá sau:

2 2 2 3 3 2 2 2

2 2 2 3

3

xyyz zx  xy yz zx x y z

3

S

xyz

Bài 14 (Đề thi TSĐH 2003 khối B)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y x  4 x2

Cách 1: Tập xác định D   2; 2;

2 2

4

x

x



0

2 4

x

x





 

y y









Cách 2: Đặt 2sin , ;

2 2

x u u   

4

Bài 15 (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y x 6 4 1  x23 trên đoạn 1;1

Cách 1 Đặt u x 20;1 Ta có y u 3 4 1  u3 3u3 12u2 12u4

2

3

y  u  u   u   u  

9

Cách 2 Đặt xsinu ysin6u4 cos6u

Với x  thì max0 y  Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:4









x01y 0 00y4

1

x 22y  +00y22

 

Bài 16 a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 3

1

x y x





 b) Cho a b c  1 Chứng minh rằng: a2  1 b2  1 c2  1 10

Giải a) TXĐ: D ¡ ;

x



2

2 2

1

y

x x

x x

Suy ra limx y1; limx  y Nhìn BBT1

1

x

x



 b) Theo phần a) thì y 10 ,  x x 3 10 x2 1,  x

Đặc biệt hóa bất đẳng thức này tại các giá trị x a x b x c ,  ,  ta có:

2 2 2







a b c    a   b   c   10 a2 1 b2  1 c2 1

Cách 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt

 ;1 ;  ;1 ;  ;1

OAuur a uuurABb BCuuurc

Khi đó OC OA AB BCuuur uur uuur uuur   a b c  ; 3

Do OAuur  uuurAB  BCuuurOA AB BCuur uuur uuur  OCuuur

Từ đó suy ra a2  1 b2  1 c2  1 10

Bài 17 (Đề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987 – 1995)

Cho x2 y2  Tìm Max, Min của A  1 x 1y y 1x

Giải 1 Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có

A  x2 y21y1x  2 x y  2 2x2 y2  2 2

x1/3 y  +00y11

a a+b a+b+c

C

A

B

1 2 3

y

Với 1

2

2 Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau đây

• Trường hợp 1: Nếuxy  , xét 2 khả năng sau: 0

+) Nếu x0,y0 thì A>0  MinA 0

+) Nếu x  0, y  0 thì

Từ 2 khả năng đã xét suy ra với xy  thì Min A = 0 1

• Trường hợp 2: Xét xy  : Đặt x y t0    2 1 0

2

t

xy    t   1,1

A x y  xy x y y x  xy x y  xy  x y xy

2

2

A f t    t  t   t  

Thế t t vào phần dư của  1, 2 f t chia cho f t     

 

27

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

2

1

2 19 3 2

27

xảy ra  xy t1 ; 12 1

2

t

xy 

,

6

x y   

Kết luận: Max A  2 2 ; 2 19 3 2 

Min

27

t1t1t21001 1

Bài 18 Cho x y z , , 0,1 thoả mãn điều kiện: 3

2

xy z  Tìm Max, Min của biểu thức: S cosx2 y2 z2

Giải Do x y z , , 0,1 nên 0 2 2 2 3

Vì hàm số y cos nghịch biến trên  0,

2

 nên bài toán trở thành

1 Tìm MaxS hay tìm Minx2 y2 z2

x y z    x y z  xy z 

2

x y z   thì MaxS = cos3

4

2 Tìm MinS hay tìm Maxx2 y2 z2

Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai:

2

z Max x y z  z  

  Biến đổi và đánh giá đưa về tam thức bậc hai biến z

x y z z  xy  xy z   z  z  z f z

Do đồ thị hàm y = f(z) là một parabol quay bề lõm lên trên nên ta có:

2

z x y thì MinS = cos5

4

Cách 2: Phương pháp hình học

Xét hệ tọa Đề các vuông góc Oxyz Tập hợp các điểm M x y z thoả mãn  , , 

điều kiện x y z , , 0,1 nằm trong hình lập phương ABCDABCO cạnh 1 với A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0)

2

xy z  nên M x y z nằm trên mặt phẳng (P):  , ,  3

2

xy z 

Vậy tập hợp các điểm M x y z thoả mãn điều kiện giả thiết nằm trên thiết , , 

diện EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập phương Gọi O là hình chiếu của O lên EIJKLN thì O là tâm của hình lập phương và cũng là tâm của lục giác đều EIJKLN Ta có O M là hình chiếu của

OM lên EIJKLN Do OM2 = x2 y2 z2 nên OM lớn nhất  OM lớn nhất

1 K

3/ 2 J M

z

x

I

O

Từ đó suy ra:

 

x y z OK   

4

2

z x y thì MinS = cos5

4

Bài 19 Cho a,b,c 0 thỏa mãn điều kiện a b c 3

2

  

Giải Sai lầm thường gặp:

 Nguyên nhân:

2

a b c

 Phân tích và tìm tòi lời giải :

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại 1

2

a b c  

 Sơ đồ điểm rơi:

2

a b c   

1 4



  









   



4   16

 Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có

3 17 17 17 17

1

17

2

2

3

2

a b c   thì Min 3 17

2

S 

 Cách 2: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có

b

c

a















17

a b c

3

3

a b c

2

a b c   thì Min 3 17

2

S 

 Cách 3: Đặt u a,1; v  b,1 ; w  c,1

Do u  v  w  u  v  w

nên suy ra :

2 2

a b c

a b c



2 3

2  abc  a b c   16  abc   2

3

a b c

 

1 2

a b c   thì Min 3 17

2

S 

B CÁC ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

I ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1 Giải phương trình: 4 x 244 x2

Giải Đặt f x 4 x 244 x với 2 x 4

 

Nhìn BBT suy ra: f x f 3   2 x 2, 4

 Phương trình f x 4 x 244 x  có nghiệm duy nhất x  32

Bài 2 Giải phương trình: 3x 5x6x2

Giải PT  f x 3x 5x  6x 2 0 Ta có: f x 3 ln 3 5 ln 5 6x  x 

 f x 3 ln 3x 2 5 ln 5x 2  x0  ¡  (x) đồng biến

Mặt khác (x) liên tục và

 0 ln 3 ln 5 6 0

f      , f  1 3ln 3 5ln 5 6 0  

 Phương trình (x)  0 có đúng 1 nghiệm x0

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Phương trình f x 3x5x  6x 2 0 có không quá 2 nghiệm

Mà f 0 f 1 0 nên phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x  và 0 x 1

Bài 3 Tìm m để BPT: m 2x2 9 x m có nghiệm đúng x ¡

Giải m 2x2 9 x m  m 2x2 9 1 x    2

x

m f x

x

2

2

x

f x

 0  2x2 9 9  x6

x 0x0 1f  0f

(x0)

x66f 0+0



x234  02

 

2

2

x x

 

2

2

x x

     







Bài 4 Tìm m để PT: 2 2sin 2 x m 1 cos x2 (1) có nghiệm ,

2 2

x   

2 2

x   

x  

2

x

t   

1

t

x

t





1

t x t



 Khi đó (1)  2 sin xcosx2 m1 cos x2

Ta có: f t  2 2 t 1 t22 2 t  0 t1;t 1 2  Bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Để (2) có nghiệm t   1,1

thì tMin  1,1 f t 2mtMax  1,1 f t 

 0 2 m 4 0 m 2 Vậy để (1) có nghiệm ,

2 2

x   

  thì m0; 2

Bài 5 Tìm m để hệ BPT:

2







(1) có nghiệm

Giải (1) 

x

 







(2)

2 2

f x





;

3

x  Nhìn BBTsuy ra: Maxx0;3 f x f 3 21

x023 f 0 f0CT821 t11(t) 0(t)4

04

Để (2) có nghiệm thì Maxx0;3 f x m2  4m  m2  4m21  3  m  7

Bài 6 Tìm m  0 để hệ:

2

35

4 33

4







(1) có nghiệm

Giải

(1) 

3

1

2











3

1

2







(2)

Xét f m m3  12m17 Ta có: f m 3m2  12 0  m 2 0

Nhìn BBT suy ra: (m)  (2)  1,m  0

kết hợp với sinxy1 suy ra đểhệ (2)

có nghiệm thì m  2, khi đó hệ (2) trở thành:

1

sin

2

x y

x y









x y Vậy (1) có nghiệm  m  2.

II ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1 Chứng minh rằng: 1xlnx 1x2  1x2 , x ¡

BĐT  f x  1 xlnx 1x2 1x2  x0  ¡

Ta có: f x lnx 1x2 0 x 0

 Bảng biến thiên

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

   0 0

Bài 2 Cho

1

a b c









2

b c c a a b 

Xét hàm số f x x1 x2 với x > 0

x0f  0f

0

xf 0f m02 0171

Ta có   1 3 2 0 1 0

3

f x   x   x 

3 3

f x   x

Khi đó :

 2  2  2 3 3 2 2 2 3 3

b

3

a b c

Bài 3 Cho 3  n lẻ Chứng minh rằng: x  0 ta có:

Ta cần chứng minh f x u x v x    < 1

Ta có:

 

 

n n

n n











!

n

x

n







Do 3  n lẻ nên (x) cùng dấu với (2x)

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

   0 1 0

Bài 4 Chứng minh rằng: 3 3 3 4 4 4

a b a b

 

 

4 4

3

1

1

a

b





1

1



b

1

2

3 3

1

t



2

3

2 3

2

3 3

1

t









f(t) = 0  t = 1  Bảng biến thiên của f(t)

3

2

2  f(t) < 1 t > 0 

4 4 4 4

2 2







a b a b

Dấu bằng xảy ra  a = b > 0.

x0f 0f1

t01+f0+ f1 1

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1 Cho ABC có A B C  Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f x

Bài 2 Tìm Max, Min của: y  sin6 xcos6x a sin cosx x

Bài 3 Cho ab  0 Tìm Min của y a44 b44 a22 b22 a b

b a

Bài 4 Cho x2 y2  Tìm Max, Min của 0

S





Bài 5 Giả sử phương trình 2 2

x px

p

   có nghiệm x1, x2

Sx x nhỏ nhất

Bài 6 Tìm Min của y2 32x 2 32x 8 2  3x 2 3x

Bài 7 Cho x, y  0 và xy1 Tìm Max, Min của S 3x9y

Bài 8 Cho x2 y2 z2  Tìm Max, Min của P1  x y z xy  yz zx

Bài 9 Tìm m để PT: 2 x  2x  2 x 2x m có nghiệm

Bài 10 Tìm m để PT: x  9 x  x2 9x m có nghiệm

Bài 11 Tìm m để PT: x2  2x23  4 x2  2x2 2 x2  4x m có 4

nghiệm phân biệt

Bài 12 Tìm m để PT: 3 2 1 2 1

x

Bài 13 Tìm m để PT: cos 2 m x 4sin cosx x m  2 0 có nghiệm  0,

4

x 

Bài 14 Tìm m để PT: sin cos 2 sin 3 x x x m có đúng 2 nghiệm ,

4 2

x 

Bài 15 Tìm m để hệ BPT:

2 2







có nghiệm

Bài 16 a Tìm m để: m x2 8  có 2 nghiệm phân biệt.x 2

b Cho a b c  12 CMR: a2 8 b2 8 c2 8 6 6

Bài 17 Chứng minh: 2x3 y3 z3  x y2 y z z x2  2 3 , x y z, , 0,1