TÌM GTLN, GTNN của hàm số

bài tập cơ bản và nâng cao về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sô.luyện thi cao đẳng đại học........lời giải có đáp án chi tiết, rõ ràng............................................................................................................................................................................................................................................

TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho hai số thực thay đổi x, y thỏa: x2 + y2 =2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P=

2 (x3+y3)-3xy

Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của y= sinx+ cos x

trên [0; π / 2]

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= sin2010x+cos2010x

Bài 4: Cho y ≤ 0 và x2 + x = y +12 Tìm GTLN, GTNN của A= xy + x +2y +17

Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của y=

2

1 1

x x

− + trên [-1;2]

Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= sin3x-cos2x+sinx+2

Bài 7: Tìm GTLN, GTNN của y= (3-x)

x +

trên [0;2]

1) Cho hai số thực thay đổi x, y thỏa: x2 + y2 =2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

P= 2 (x3+y3)-3xy

Ta có (x+y)2-2xy=2

Đặt t=x+y Ta có xy=t2/2-1

ĐK: (x+y)2-4xy>=0  t2-2t2+4>=0

-t2+4>=0  -2 ≤ t ≤2

Ta có P=2(x+y)(x2+y2-xy)-3xy=2(x+y)(2-xy)-3xy

P= 2t (2-(t2/2-1))-3(t2/2-1)=-t3-3t2/2+6t+3=f(t)

f’(t)=-3t2-3t+6 f’(t)=0  t=1 hay t=-2

(1) 13 / 2

( 2) 7

(2) 1

f

f

f

=



 − = −





Vậy max P= max f(t)=13/2

Min P= min f(t) = -7

2) Tìm GTLN, GTNN của y= sinx+ cos x

trên [0; π / 2]

cos sinx

'

2 sinx 2 cos

' 0 cos x cos s inx sinx s inx cos x

<=>tan x=1

x y

x

Ta có

4

(0) 1

( / 2) 1

( / 4) 8

f

f

f

π π





Vậy

4 [0; /2]

[0; /2]

x

x

y y

ε π

ε π

=

=

3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= sin2010x+cos2010x

Đặt t= sin2x với x ϵ R ta có t ϵ [0;1]

Ta có y= t1005 + (1-t) 1005 = f(t) với t ϵ [0;1]

f’(t)= 1005 t 1004 – 1005 (1-t)1004

f’(t)=0  t= ±

(1-t)  t=1/2 f(0)=1

f(1)=1

f(1/2)=

1004

1 2

max y= max f(t)=1

miny=minf(t)=

1004

1 2

4) Cho y ≤ 0 và x2 + x = y +12 Tìm GTLN, GTNN của A= xy + x +2y +17

 y= x2 +x -12 ≤ 0  -4 ≤ x ≤3

Ta có A= f (x) = x(x2 +x -12) +x +2(x2+ x -12) +17

= x3 + 3 x2 -9x – 7 với -4 ≤x ≤3

f’(x)= 3x2 +6x -9

f’(x)=0 

1 3

x x

=



 = −



Ta có f(-4)=13

f(3)= 20

f(1)= -12

f(-3)=20

max A= max f(x) =20

min A = min f(x) = -12

5) Tìm GTLN, GTNN của y=

2

1 1

x x

− + trên [-1;2]

1

'

x y

x

+

=

+

≥ 0 ∀

x ϵ [-1;2]

 Hs đồng biến trên [-1;2]

 Max f(x) =f(2)=

1 5

 Min f(x)= f(-1) = − 2

6) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= sin3x-cos2x+sinx+2 Đặt t= sinx, ∀

x ϵ R => t ϵ [-1;1] với x ϵ R

Ta có y= t3 – ( 1- 2t2) +2+ t = t3 +2t2+t+1 = f(t)/[-1;1] f’(t) = 3t2 + 4t +1

f’( t) =0  t=-1 hơặc t= -1/3

Ta có

f(-1)=1

f(1)= 5

f( -1/3)= 23/27

Vậy max y= 5

Min y= 23/27

7) Tìm GTLN, GTNN của y= (3-x)

x +

trên [0;2]

2

2x 3x 1

'

1

y

x

=

+

y’=0 

1 1/ 2

x x

=



 =



f(0)=3

f(2)= 5

f(1/2)=

5 5

4

f(1)= 2 2

max y=3

min y= 5