Học sinh trường:.... ĐỀ CHÍNH THỨC.
Trang 1UBND HUYỆN PHÚ THIỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (3 điểm)
a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 6x3 + 13x2 + 4x – 3
6x3 + 13x2 + 4x – 3 = 6x3 + 6x2 + 4x2 + 3x2 + 4x – 3 0,25đ
= 6x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 3(x + 1)(x – 1) 0,25đ
= (x + 1)(6x2 + 4x + 3x – 3) = (x + 1)( 6x2 – 2x + 9x – 3) 0,50đ
= (x + 1)[2x(3x – 1) + 3(3x – 1)] = (x + 1)(3x – 1)(2x + 3) 0,50đ
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: x2 + 2x + 3
Vì (x + 1)2 > 0 với mọi x, nên: (x + 1)2 + 2 > 2 0,50đ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: 2 0,50đ Bài 2 : (4 điểm)
a) Giải phương trình : x2 + 2x + 2 x+ 1 - 2 = 0 (1)
(1) ⇔ x2 + 2x + 2(x + 1) – 2 = 0
⇔ x = 0 hoặc x + 4 = 0 ⇒ x = -4 < -1 (loại) 0,25đ
(1) ⇔ x2 + 2x – 2(x + 1) – 2 = 0
⇔ x2 + 2x – 2x – 2 – 2 = 0
⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) = 0 0,25đ
⇔ x + 2 = 0 ⇒ x = -2, hoặc x – 2 = 0 ⇒ x = 2 > -1 (loại) 0,25đ Vậy phương trình có tập nghiệm là: {-2; 0} 0,25đ
b) Dùng phương pháp biến đổi biểu thức hãy so sánh hai số sau:
4019
1
2009 2010
2009 2010
B
+
−
=
Giải:
Ta có:
2009 2010
1 4019
1 A
+
=
) 2009 2010
(
) 2009 2010
)(
2009 2010
( 2009 2010
2009 2010
+
+
−
= +
−
0,50đ
2 2
2 2
2009 2009
2010 2 2010
2009 2010
+ +
−
Vì 20102 + 2.2010.2009 + 20092 > 20102 + 20092 0,25đ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Nên: B
2009 2010
2009 2010
2009 2009
2010 2 2010
2009 2010
2 2
2 2
2 2
2 2
= +
−
<
+ +
Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm các giá trị x, y thỏa mãn: xy – 3x – 5y + 15 = 0 (3)
⇔ x – 5 = 0 ⇒ x = 5 hoặc y – 3 = 0 ⇒ y = 3 0,50đ Vậy các giá trị x, y cần tìm là:{x = 5, y ∈ R} hoặc {x ∈ R, y = 3} 0,50đ b) Chứng minh rằng:
a
1
a + > 2, với mọi a > 0.
Xét hiệu
a
1
a + - 2 =
a
a
a
a 1 ) 2
( −
Nên
a
a 1 ) 2
Hay
a
1
a + - 2 > 0 ⇒
a
1
Bài 4 (5 điểm): Cho
ΔABC (AB < AC), phân
giác của A Bˆ C cắt AC tại
D, phân giác của A Cˆ B cắt
AB tại E, qua D kẻ đường
thẳng song song với BC
và cắt AB tại K Chứng
minh rằng:
a/ E nằm giữa B và K
b/ CD > DE > BE
Giải:
a/ E nằm giữa B và K.
Áp dụng định lý về đường phân giác của tam giác ta có: 0,50đ
EB
AE BC
AC BC
AB DC
AD = < = (vì AB < AC) (1)
Vì KD // BC, nên
KB
AK DC
Từ (1) và (2) ⇒ AKKB< AEEB⇒ AKKB+KB< AEEB+EB 0,50đ
Hay
EB
AB KB
b/ CD > DE > BE
A
D E
K
M
Trang 3Ta có: E Bˆ D = D Bˆ C (gt); K Dˆ B = D Bˆ C (vì DK //BC) 0,50đ
Vì tia DE nằm giữa 2 tia DK và DB nên: E Dˆ B < K Dˆ B 0,50đ
⇒ E Dˆ B < E Bˆ D⇒ DE > BE (trong tam giác, cạnh đối diện với
Tương tự ta có: D Eˆ C > D Cˆ E = E Cˆ B, nên CD > ED 0,50đ
Bài 5: (2 điểm) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho tích của chúng bằng 1680 Giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp phải tìm là: x – 1, x, x + 1, x + 2 (x ∈ N, x > 2) 0,25đ
Ta có: (x – 1)x(x + 1)(x + 2) = 1680
⇔ (x2 + x)(x2 – x + 2x – 2) = 1680
⇔ x4 + x3 – 2x2 + x3 + x2 – 2x = 1680 0,25đ
⇔ (x2 + x)2 – 2(x2 + x) + 1 = 1680 + 1 0,25đ
⇔ (x2 + x – 1)2 = 1681 = 412 vì x > 2, nên: x2 + x – 1 = 41 0,50đ
Bài 6: (2 điểm) Chứng minh rằng: 34n+2 + 2.43n+1 17, với mọi n ∈ N
Giải:
Ta có 34n+2 = 32.(32)2n = 9.9n = 9.(17 – 8)2n = 17t + 9.64n (t ∈ Z) 0,75đ
34n+2 + 2.43n+1 = 17t + 9.64n + 8.64n = 17t + 17.64n 0,25đ
= 17(t + 64n) 17 vậy 34n+2 + 2.43n+1 17, với mọi n ∈ N 0,50đ
Hết
Trang 4UBND HUYỆN PHÚ THIỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
Môn: Toán Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3 điểm)
a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 6x3 + 13x2 + 4x – 3
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: x2 + 2x + 3
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình : x2 + 2x + 2 x+ 1 - 2 = 0
b) Dùng phương pháp biến đổi biểu thức hãy so sánh hai số sau:
4019
1
2009 2010
2009 2010
B
+
−
=
Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm các giá trị x, y thỏa mãn: xy – 3x – 5y + 15 = 0
b) Chứng minh rằng:
a
1
a + > 2, với mọi a > 0.
Bài 4: (5 điểm): Cho ΔABC (AB < AC), phân giác của góc ABC cắt AC tại D, phân giác của góc ACB cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB tại K Chứng minh rằng:
a/ E nằm giữa B và K
b/ CD > DE > BE
Bài 5: (2 điểm) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho tích của chúng bằng 1680.
Bài 6: (2 điểm) Chứng minh rằng: 34n+2 + 2.43n+1 17, với mọi n ∈ N
Hết
Họ và tên học sinh: ; SBD: Học sinh trường:
ĐỀ CHÍNH THỨC