DE THI HOC KY II TOAN 7

Chứng minh rằng: AM là phân giác góc A.. Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ BH vuông góc với AC, H AC.. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.. Chứng minh rằng AI là tia phân giác củ

( ) ( trung điểm BC) (cạnh chung)

AB AC gt

AM







ƠN TẬP HÌNH HỌC 7 HỌC KỲ II.

1 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC.

BÀI TẬP THAM KH Ả O

BÀI 1.

Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: AM là phân giác góc A

Hướng dẫn:

Xét ABM và ACM

A Ta có:

(cạnh-cạnh-cạnh)

B M C

Suy ra: ABM ACM (góc tương ứng)

Vậy AM là phân giác góc A

BÀI 43/125 SGK.

Cho góc xOy khác góc bẹt Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA<OB Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA; OD = OB Gọi E là giao điểm của AD và BC Chứng Minh rằng:

a/ AD = BC

b/ EAB ECD

c/ OE là phân giác của góc xOy

B x

A 2

1 E

O 21 1 2

C D y

Hướng dẫn:

a/ Chứng minh: AD = BC

Xét OBC và ODA

Ta có:



( )

chung

( )

OB OD gt

OC OA gt











  (c-g-c) Suy ra AD = BC (cạnh tương ứng)

b/ Chứng minh: EAB ECD.

Ta có:

AB = OB – OA

CD = OD – OC

Mà OB = OD (gt), OA = OC (gt)

Suy ra AB = CD (1)

Mặt khác:

 

 

0

0

180 (kề bù)

180 (kề bù) (2)



 





   

  ( ) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra EAB ECD (g- c- g)

c/ OE là phân giác của góc xOy

Xét OAE và OCE

Ta có:

( )

cạnh chung

( EAB= ECD)

OA OC gt

EA EC







(c-c-c)

Suy ra  

O O (góc tương ứng)

Vậy OE là phân giác của góc xOy

2 TAM GIÁC CÂN.

Bài tập 1.

Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ BH vuông góc với AC, (H AC) Biết Â= 600 Tính góc CBH

Hướng dẫn:

A Tam giác ABC cân

tại A, ta có:

H B C  , mà Â = 600

Do đó B C  = 600

B C Vậy tam giác ABC là tam giác đều

Xét ABH và CBH

Ta có:

  90 (BH AC)0

BH cạnh chung

( ABC đêù)

AHB CHB

AB CB















(cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra ABH CBH (góc tương ứng)

Đo đó:    600 0

30

2 2

 B 

ABH CBH

Vậy tam giác BHC là nửa tam giác đều

Bài tập 2.

Cho tam giác đều ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự các điểm

D, E, F sao cho AD= BE = CF Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều

Hướng dẫn:

A

D

F

B E C

Tam giác ABC đều

Suy ra: AB = BC = CA

Mà AD = BE = CF (gt)

Nên DB = EC = FA

Do đó: DBE ECF  FAD(c-g-c)

Suy ra: DE = EF = FD

Vậy tam giác DEF đều

Bài tập 3.

Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm D và E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho

AD = AE

a/ Chứng minh rằng: BE = CD

b/ Gọi I là giao điểm của BE và CD, chứng minh IB = IC

Hướng dẫn:

A

a/ Xét ADCvà AEB

D E Ta có:

I AD = AE (gt)

B C Â chung

AB = AC (ABC cân)

Suy ra ADC = AEB (c-g-c)

Do đó BE = CD (cạnh tương ứng)

b/ Ta có ADC = AEB (c m t)

Suy ra: ABEACD(góc tương ứng)

Mà ABCACB (ABCcân tại A)

Do đó IBC ICB 

Vậy IBCcân tại I

Suy ra IB = IC (cạnh tương ứng)

3 ĐỊNH LÝ PY-TA-GO

Bài tập 56/131 SGK.

Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:

a/ 9cm, 15cm, 12cm

b/ 5dm, 13dm, 12dm

c/ 7m, 7m, 10m

Hướng dẫn:

Ta có:

a/ 92 = 81; 152 = 225; 122 = 144

Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam giác có ba cạnh đã cho là tam giác vuông

b/ 52 = 25; 132 = 169; 122 = 144

Ta thấy 169 = 25 + 144 nên tam giác có ba cạnh đã cho là tam giác vuông

c/ 72 = 49; 102 = 100; 122 = 144

Ta thấy 100  49 + 49 nên tam giác có ba cạnh đã cho không là tam giác vuông

Bài tập 60/113 SGK.

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH vuông góc với BC (HBC) Cho biết AB = 13cm,

AH = 12cm, HC = 16cm Tính độ dài AC, BC

Hướng dẫn:

A

13 12

B H 16 C

Xét tam giác AHC vuông tại H

Aùp dụng định lý Py-Ta-Go ta có:

2

12 16

12, 16

144 256 400

20

AC

AC

AC





Tương tự áp dụng định lý Py-Ta-Go cho tam giác ABH

Xét tam giác ABH vuông tại H

Aùp dụng định lý Py-Ta-Go ta có:

2 2

12, 13

13 12

169 144

25

5

BH

BH BH BH BH





Ta có H nằm giữa B và C

Do đó: BH +HC = BC

Mà BH = 5cm, HC = 16

Ta tính được BC = 21cm

Bài tập 65/137 SGK.

Cho tam giác ABC cân tại A ( Â < 900) Vẽ BH AC (H AC), CK AB (KAB) a/ Chứng minh rằng AH = AK

b/ Gọi I là giao điểm của BH và CK Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A

Hướng dẫn:

A

AB = AC, Â < 900

BH AC (H AC)

K H GT CK AB (KAB)

I KL a) AH = AK

B C b) AI là phân giác góc A

a) Chứng minh ABH  ACK

Xét ABH và ACK

Ta có:

 



0

=90 (BH AC, CK AB) ( cân tại A)

A góc chung

AHB AKC









   (cạnh huyền,góc nhọn)

Suy ra AH = AK (cạnh tương ứng)

b) Chứng minh AI là phân giác góc A

Xét AKI và AHI

Ta có:

  =90 (BH AC, CK AB)0

( )

AI cạnh chung

AKI AHI









  (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra KAI HAI (góc tương ứng)

Vậy AI là phân giác góc A

Bài tập 4.

Cho tam giác ABC cân tại A Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho

AD = AE Gọi K là giao điểm của BE và CD.Chứng minh rằng:

a/ BE = CD

b/ KBD KCE

c/ AK là tia phân giác của góc A

d/ KBClà tam giác cân

Hướng dẫn:

  

  

 

 

ECK C DCB

B C ABCcan



 





 







A

ABC cân tại A

GT AD = AE

D E KL a/ BE = CD

K b/ KBD KCE

B C c/ AK là

d/ KBCcân

a/ Chứng minh.BE = CD

DBC ECB

  (c.g.c)

Xét tam giác DBC và tam giác ECB

Ta có:

( )

( )

DB EC

  



  





(1)

 

B C (ABCcân tại A) (2)

BC (cạnh chung) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra DBC ECB (c.g.c)

Suy ra BE = CD (cạnh tương ứng)

b/ KBD KCE

Xét tam giác KBD và tam giác KCA

Ta có:

(1)

DB = EC (cmt) (2)

Từ (1), (2), (3) suy ra KBD KCE (g.c.g)

c/ AK là tia phân giác của góc A

ADK  AEK

  (c.c.c)

Suy ra DAK EAK (góc tương ứng)

Vậy AK là phân giác góc A

d/ KBCcân

Ta có KBD KCE (cm câu b)

Suy ra KB = KC (cạnh tương ứng)

Vậy KBCcân tại I

Bài tập 2.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(5; 4); B(2; 3); C(6; 1) Tính các cạnh và các góc của tam giác ABC

y

4 A

3 B

2

1 C

O 1 2 3 4 5 6 x

AB2 = (5-2)2 + (4-3)2 = 10 (1)

AC2 = (6-5)2 + (4-1)2 = 10 (2)

BC2 = (6-2)2 + (3 -1)2 = 20 (3)

Từ (1) và (2) suy ra AB2 = AC2

Vì AB, AC >0 nên AB = AC

Vậy ABC cân tại A

Ta lại có:

AB2 + AC2 = 20 (4)

BC2 = 20 (5)

Từ (4) và (5) suy ra:

BC2 = AB2 + AC2

Do đó ABC vuông tại A

Vậy ABC vuông cân tại A

Suy ra B C  450

Bài tập 3.

Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm Kẻ AH vuông góc với BC (H BC)

a/ Chứng minh rằng: HB = HC và BAH CAH

b/ Kẻ HD vuông góc với AB (H BC), HE vuông góc với AC (E AC)

Chứng minh HDEcân

c/ Tính độ dài AH

d/ Chứng minh AH là phân giác góc DHE

Hướng dẫn:

A ABC cân tại A

AH  BC (H BC)

HD AB (D AB)

D E GT HE AC (E AC)

AB = AC = 5, BC = 6

B H C

KL a/ HB = HC và BAH CAH

b/HDEcân

c/ Tính độ dài AH

d/AH là phân giác góc DHE

a/HB = HC và BAH CAH

Xét AHB và AHC

Ta có:

 

 









0

90 ( ) ( ABC cân taiï A) ABH= ACH (cạnh huyền-góc nhọn) ( ABC cân taiï A)

AB AC

B C

Suy ra HB = HC (cạnh tương ứng)

Suy ra BAH CAH (góc tương ứng)

b/ Chứng minh HDEcân

Xét HBD và HCE

Ta có:

 









0

(cmt) = (cạnh huyền-góc nhọn) ( ABC cân taiï A)

B C

Ta có BHD CHE(cmt)

Suy ra HD = HE (cạnh tương ứng)

Vậy HDEcân tại H

c/ Tính độ dài AH

Ta có HB = HC (cmt)

Suy ra HB = HC =

2

BC

, mà BC = 6 Vậy HB = HC = 3

Tam giác AHC vuông tại H

Aùp dụng định lý Py-ta-go

Ta có:

AC2 = AH2+ HC2

Mà AC = 5(gt), HC = 3 (cmt)

Suy ra 52 = AH2+ 32

52 - 32 = AH2

25 – 9 = AH2

16 = AH2

4 = AH

Vậy AH = 4 cm

d/AH là phân giác góc DHE

Xét AHD và AHE

Ta có:











0

(cạnh chung) AHD= AHE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

HD = HE (cmt)

AH

Suy ra AHD AHE (góc tương ứng)

Vậy AH là phân giác của góc DHE

4 GÓC ĐỐI DIỆN VỚI CẠNH LỚN HƠN

Bài tập 3/56 SGK

Cho tam giác ABC vơí A 1000, B 400

a/ Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC

b/ Tam giác ABC là tam giác gì?

B

400 GT A 1000

B  400

1000 KL a/Tìm cạnh lớn

A C b/ ABC?

a/ Trong tam giác ABC ta có:

Góc A là góc tù, vậy cạnh lớn nhất là cạnh BC

b/Tam giác ABC là tam giác gì?

Xét tam giác ABC ta có:

  



0

0

180

40

100 , 40

A B C

C



   

 



Do đó B C  400

Vậy tam giác ABC cân tại A

Bài tập 5/56 SGK.

Ba bạn Hạnh, Nguyên, Trang đi đến trường theo ba con đường khác nhau AD, BD, CD Biết rằng ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường thẳng và góc ACD là góc tù Hỏi ai đi xa nhất, ai đi gần nhất? Hãy giải thích

D (Trường)

1 2 ACD 900

A B C

(Hạnh) (Nguyên) (Trang)

Hướng dẫn:

Xét DBCta có:

0 2

90 ( )

DBC

B



 





Do đó  

2

C B  DB DC (1)

(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác)

Ta lại có:

  0

B C  (góc ngoài củaDBC)

Suy ra  

1

Xét DAB ta có:

 

DAB

AD DB







(2) (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra DA > DB > DC

(tính chất bắt cầu)

Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất

Bài 3.

Cho tam giác ABC có AB < AC

a/Gọi M là trung điểm của BC So sánh BAM và CAM

b/Gọi AI là tia phân giác của góc A

(I  BC) Chứng minh IB < IC

Hướng dẫn:

A A

1 2

1 1 2 1 2 E B M 2 C 1

B 2 I C

D

ABC, AB<AC, BM=CM

GT BAI CAI  , I  BC

KL a/So sánh BAM vàCAM

b/ IB < IC

a/Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = AM

Ta có AMB DMC(c-g-c)

Suy ra  

1

A D(góc tương ứng)

AB = DC (cạnh tương ứng)

Tam giác ABC có AB <AC (gt)

Mà AB = DC (cmt)

Suy ra DC < AC

Trong tam giác ADC có DC < AC

Do đó  

2

DA (quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác)

Mà  

1

Suy ra  

Vậy BAM = CAM (đpcm)

b/Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE =AB

Ta có:

AIB AIE

  (c-g-c)

Suy ra IB = IE (cạnh tương ứng) (1)

 

B E (góc tương ứng)

Ta lại có:

 

 

0

0

180

180

 

 

Suy ra  

Tam giác ABC ta có  

2

B C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Do đó  

2

E C  IC > IE (quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra IB < IC (đpcm)

5 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUƠNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN.

Bài 10/59 SGK.

A

ABC,AB=AC

GT M BC

KL AM  AB

B M H C

-Vẽ AH vuông góc với BC tại H

Ta có:

*M có thể trùng với B, C hoặc H

*M có thể nằm giữa BH hoặc CH

-Nếu M H thì AM = AH

-Nếu M B (hoặc C) thì AM = AB = AC

-Nếu M nằm giữa B và H (hoặc C và H) thì MH < BH (hoặc MH < CH) suy ra AM < AB (hoặc AM < AC) theo quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

BÀI TẬP 2.

Cho tam giác ABC có B và C là hai góc nhọn Gọi D là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC, gọi

H và K là chân đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD

a/ So sánh các độ dài BH và BD Có khi nào BH = BD không?

b/ So sánh tổng BH + CK với BC

A

H

B D C

K

ABC, B và Cnhọn

D BC, BH AD (H AD)

GT CK AD (K AD)

KL a/So sánh BH và BD

b/So sánh BH + CK với BC

a/ So sánh các độ dài BH và BD Có khi nào BH = BD không?

Ta có:

BH  BD (đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên)

BH = BD khi và chỉ khi H  D, tức là AD  BC

b/ So sánh tổng BH + CK với BC

Ta có:

CK CD

 



 

Xảy ra BH + CK = BC khi và chỉ khi

AD  BC

-Bài tập 11/60 SGK

A

Chứng minh rằng:

Nếu BC < BD thì AC < AD

B C D

Ta có:

BC < BD  C nằm giữa B và D





0

90

ABC

ACB

B







 



nhọn

Mà ACB và ACD kề bù.

Suy ra ACD là góc tù

Xét tam giác ACD

90 ( )

ACD

ADC









nhọn Suy ra AD > AC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

6 BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

Bài 18/63 SGK.

a/ 2cm, 3cm, 4cm

Ta có 4cm < 2cm + 3cm

Do đó vẽ được tam giác

b/ 2cm, 3,5cm, 1cm

Ta có 3,5cm > 2cm + 1cm

Do đó không vẽ được tam giác

c/ 2,2cm, 2cm, 4,2cm

Ta có 4,2cm = 2cm + 2,2cm

Do đó không vẽ được tam giác

Bài tập 19/63 SGK.

Hướng dẫn:

-Chu vi của tam giác cân là tổng ba cạnh của tam giác ấy

-Gọi độ dài cạnh thứ ba của tam giác cân là x (cm) ,x > 0

Aùp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

7,9 – 3,9 < x < 7,9 – 3,9

4 < x < 11,8

Vậy x = 7,9 cm

Chu vi của tam giác cân là 19,7 cm

7 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC.

Bài tập 24/66 SGK

M

S

G

N R P

a)

1

2



b) 2 , 3 , 2

3

Bài tập 25/67 SGK.

B

M

3 G

A 4 C

Theo định lý Py-ta-go ta có:

BC2 = AB2 + AC2

Mà AB = 3 cm, AC = 4 cm

Suy ra BC2 = 52  BC = 5

Bài tập 28 SGK

D

E I F

a/ DEI DFI c c c)( )

b/ Từ a/ ta có: DIE DIF 

Ta lại có: DIE DIF  1800

Nên DIE DIF  900

Vậy các góc đó là góc vuông

c/ 1 10 5

Tam giác DIE vuông tại I, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

DI2 = DE2 – IE2 = 132 – 52 = 122

Vậy DI = 12

8 TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM THUỘC TIA PHÂN GIÁC.

Bài tập

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm của BC Kẻ tia Mx vuông góc với BC (tia Mx và Anằm khác phía đối với BC) Trên tia Mx lấy điểm E sao cho ME = MB

a/Tam giác BEC là tam giác gì?

b/Gọi H và K là chân các đường

A

K

B M C

H

E

a/Chứng minh MBE MCE  =450 suy ra tam giác BEC vuông cân tại E

c/BEH  CEK(cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra EH = EK  AE là tia phân giác của góc A

9 ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Bài tập 40/73 SGK.

a / D ABD = D ACD (c - g - c )

b / Từ a) suy ra BD = CD , Do đó D BCD cân tạiD , Suy ra DBC = DCB

Tam giác ABC cân tại A

Suy ra Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc AM

Điểm I nằm trong tam giác ABC và cách đều ba cạnh của tam giác

đó nên I nằm trong góc A và cách đều hai tia AB , AC

Vậy I thuộc tia phân giác góc A hay I  AM Kết luận : A , G , I

cùng thuộc một đường thẳng

10. BÀI TẬP TỤ GIẢI

1/ Cho tam giác ABC vuơng ở A cĩ gĩc C = 300 , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB Từ C kẻ CE I AD Chứng minh:

a/ Tam giác ABD là tam giác đều

b/ AH = CE

c/ EH song song với AC

2: Cho tam giác ABC vuơng ở A, gĩc B bằng 60o Tia phân giác của gĩc ABC cắt AC tại E Kẻ EK vuơng gĩc với BC (K thuộc BC) Chứng minh:

a D ABE = D KBE b BE là đường trung trực của đoạn thẳng AK

c D EBC cân d EC  AB

B

· G A

C M