Chuyên đề 2 BDHSG toán 8

Chuyên đề 2Biến đổi biểu thức đại số a – biển đổi biểu thức nguyên biển đổi biểu thức nguyên I.. Một số hằng đẳng thức cơ bản 1.. B – biển đổi biểu thức nguyên biển đổi phân thức hữu tỉ

Chuyên đề 2

Biến đổi biểu thức đại số

a – biển đổi biểu thức nguyên biển đổi biểu thức nguyên

I Một số hằng đẳng thức cơ bản

1 (a  b)2 = a2  2ab + b2 ;

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;

2

=



2 (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b);

(a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ;

3 a2 – biển đổi biểu thức nguyên b2 = (a – biển đổi biểu thức nguyên b)(a + b) ;

a3 – biển đổi biểu thức nguyên b3 = (a – biển đổi biểu thức nguyên b)(a2 + ab + b2) ;

an – biển đổi biểu thức nguyên bn = (a – biển đổi biểu thức nguyên b)(an – biển đổi biểu thức nguyên 1 + an – biển đổi biểu thức nguyên 2b + an – biển đổi biểu thức nguyên 3b2 + … + ab + abn – biển đổi biểu thức nguyên 2 + bn – biển đổi biểu thức nguyên 1) ;

4 a3 + b3 = (a + b)(a2 – biển đổi biểu thức nguyên ab + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 – biển đổi biểu thức nguyên a3b + a2b2 – biển đổi biểu thức nguyên ab3 + b5) ;

a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – biển đổi biểu thức nguyên a2k – biển đổi biểu thức nguyên 1b + a2k – biển đổi biểu thức nguyên 2b2 – biển đổi biểu thức nguyên … + ab + a2b2k – biển đổi biểu thức nguyên 2 – biển đổi biểu thức nguyên ab2k – biển đổi biểu thức nguyên 1 + b2k) ;

II Bảng các hệ số trong khai triển (a + b) n – Tam giác Pascal

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 =

3 + 1, … + abKhai triển (x + y)n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn Chẳng hạn, với n = 4 thì :

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

và với n = 5 thì :

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5

II Các ví dụ

Ví dụ 1 Đơn giản biểu thức sau :

A = (x + y + z)3 – biển đổi biểu thức nguyên (x + y – biển đổi biểu thức nguyên z)3 – biển đổi biểu thức nguyên (y + z – biển đổi biểu thức nguyên x)3 – biển đổi biểu thức nguyên (z + x – biển đổi biểu thức nguyên y)3

Lời giải

A = [(x + y) + z]3 – biển đổi biểu thức nguyên [(x + y) – biển đổi biểu thức nguyên z]3 – biển đổi biểu thức nguyên [z – biển đổi biểu thức nguyên (x – biển đổi biểu thức nguyên y)]3 – biển đổi biểu thức nguyên [z + (x – biển đổi biểu thức nguyên y)]3

= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – biển đổi biểu thức nguyên [(x + y)3 – biển đổi biểu thức nguyên 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – biển đổi biểu thức nguyên z3] – biển đổi biểu thức nguyên

– biển đổi biểu thức nguyên [z3 – biển đổi biểu thức nguyên 3z2(x – biển đổi biểu thức nguyên y) + 3z(x – biển đổi biểu thức nguyên y)2 – biển đổi biểu thức nguyên (x – biển đổi biểu thức nguyên y)3] – biển đổi biểu thức nguyên [z3 + 3z2(x – biển đổi biểu thức nguyên y) + 3z(x – biển đổi biểu thức nguyên y)2 + (x – biển đổi biểu thức nguyên y)3] = 6(x + y)2z – biển đổi biểu thức nguyên 6z(x – biển đổi biểu thức nguyên y)2 = 24xyz

Ví dụ 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 4b) Tính giá trị của các biểu thức sau :≥ 1), chẳng

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lời giải a) x2 + y2 = (x + y)2 – biển đổi biểu thức nguyên 2xy = a2 – biển đổi biểu thức nguyên 2b

b) x3 + y3 = (x + y)3 – biển đổi biểu thức nguyên 3xy(x + y) = a3 – biển đổi biểu thức nguyên 3ab

c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – biển đổi biểu thức nguyên 2x2y2 = (a2 – biển đổi biểu thức nguyên 2b)2 – biển đổi biểu thức nguyên 2b2 = a4 – biển đổi biểu thức nguyên 4a2b + 2b2

d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)

Hay : (a2 – biển đổi biểu thức nguyên 2b)(a3 – biển đổi biểu thức nguyên 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – biển đổi biểu thức nguyên 5a3b + 5ab2

Chú ý : a 6 + b 6 = (a 2 ) 3 + (b 2 ) 3 = (a 3 ) 2 + (b 3 ) 2

a 7 + b 7 = (a 3 + b 3 )(a 4 + b 4 ) – biển đổi biểu thức nguyên a 3 b 3 (a + b)

= (a 2 + b 2 )(a 5 + b 5 ) – biển đổi biểu thức nguyên a 2 b 2 (a 3 + b 3 )

Ví dụ 3 Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) a3 + b3 + c3 – biển đổi biểu thức nguyên 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – biển đổi biểu thức nguyên ab – biển đổi biểu thức nguyên bc – biển đổi biểu thức nguyên ca) ;

Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số

Lời giải a) a3 + b3 + c3 – biển đổi biểu thức nguyên 3abc = (a + b)3 + c3 – biển đổi biểu thức nguyên 3abc – biển đổi biểu thức nguyên 3a2b – biển đổi biểu thức nguyên 3ab2

= (a + b + c)[(a + b)2 – biển đổi biểu thức nguyên (a + b)c + c2] – biển đổi biểu thức nguyên 3ab(a + b + c)

= (a + b + c) [(a + b)2 – biển đổi biểu thức nguyên (a + b)c + c2 – biển đổi biểu thức nguyên 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – biển đổi biểu thức nguyên ab – biển đổi biểu thức nguyên bc – biển đổi biểu thức nguyên ca)

b) (a + b + c)3 – biển đổi biểu thức nguyên a3 – biển đổi biểu thức nguyên b3 – biển đổi biểu thức nguyên c3 = [(a + b + c)3 – biển đổi biểu thức nguyên a3] – biển đổi biểu thức nguyên (b3 + c3)

= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – biển đổi biểu thức nguyên (b + c)(b2 – biển đổi biểu thức nguyên bc + c2)

= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a)

Ví dụ 4 Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :

A = x3 – biển đổi biểu thức nguyên 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)

Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = 2

S - 2P; a3 + b3 = 3

S - 3SP Vì vậy :

A = x3 – biển đổi biểu thức nguyên 3( 2

S - 2P)x + 2( 3

= 2 2 2

= 2 2

= (x – biển đổi biểu thức nguyên a – biển đổi biểu thức nguyên b)[x2 + (a + b)x – biển đổi biểu thức nguyên 2(a + b)2 + 6ab]

= (x – biển đổi biểu thức nguyên a – biển đổi biểu thức nguyên b)[x2 + (a + b)x – biển đổi biểu thức nguyên 2(a2

Ví dụ 5 Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Lời giải Vì x + y + z = 0 nên x + y = – biển đổi biểu thức nguyênz  (x + y)3 = – biển đổi biểu thức nguyênz3

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = – biển đổi biểu thức nguyênz3  3xyz = x3 + y3 + z3

Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mà x2 + y2 = (x + y)2 – biển đổi biểu thức nguyên 2xy = z2 – biển đổi biểu thức nguyên 2xy (vì x + y = – biển đổi biểu thức nguyênz) Tơng tự :

y2 + z2 = x2 – biển đổi biểu thức nguyên 2yz ; z2 + x2 = y2 – biển đổi biểu thức nguyên 2zx

Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – biển đổi biểu thức nguyên 2yz) + y3(y2 – biển đổi biểu thức nguyên 2zx) + z3(z3 – biển đổi biểu thức nguyên 2xy)

= 2(x5 + y5 + z5) – biển đổi biểu thức nguyên 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)

Bài tập

1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x3 + 4x2 – biển đổi biểu thức nguyên 29x + 24 ;

b) x4 + 6x3 + 7x2 – biển đổi biểu thức nguyên 6x + 1 ;

c) (x2 – biển đổi biểu thức nguyên x + 2)2 + (x – biển đổi biểu thức nguyên 2)2 ;

d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;

e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1

2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x8 + x4 + 1;

b) x10 + x5 + 1 ;

c) x12 + 1 ;

3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) (x + y + z)3 – biển đổi biểu thức nguyên x3 – biển đổi biểu thức nguyên y3 – biển đổi biểu thức nguyên z3 ;

b) (x + y + z)5 – biển đổi biểu thức nguyên x5 – biển đổi biểu thức nguyên y5 – biển đổi biểu thức nguyên z5

4 Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4

5 Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức :

B = (x – biển đổi biểu thức nguyên 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009

6 Cho a2 – biển đổi biểu thức nguyên b2 = 4c2 Chứng minh rằng : (5a – biển đổi biểu thức nguyên 3b + 8c)(5a – biển đổi biểu thức nguyên 3b – biển đổi biểu thức nguyên 8c) = (3a – biển đổi biểu thức nguyên 5b)2

7 Chứng minh rằng nếu (x – biển đổi biểu thức nguyên y)2 + (y – biển đổi biểu thức nguyên z)2 + (z – biển đổi biểu thức nguyên x)2 =

= (x + y – biển đổi biểu thức nguyên 2z)2 + (y + z – biển đổi biểu thức nguyên 2x)2 + (z + x – biển đổi biểu thức nguyên 2y)2 thì x = y = z

8 a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì a b

x = y

b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 và x, y, z khác 0 thì

9 Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng :

a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;

b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;

c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5)

10 Chứng minh các hằng đằng thức sau :

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;

b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2

11 Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2

Chứng minh rằng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4

12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945

13 Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :

a3 – biển đổi biểu thức nguyên 3a2 + 5a – biển đổi biểu thức nguyên 17 = 0 và b3 – biển đổi biểu thức nguyên 3b2 + 5b + 11 = 0 Hãy tính : D = a + b

14 Cho a3 – biển đổi biểu thức nguyên 3ab2 = 19 và b3 – biển đổi biểu thức nguyên 3a2b = 98 Hãy tính : E = a2 + b2

15 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008

B – biển đổi biểu thức nguyên biển đổi phân thức hữu tỉ

Ví dụ 5

a) Chứng minh rằng phân số 3n 1

+ + là phân số tối giản nN ;

b) Cho phân số

2

A

+

= + (nN) Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A

cha tối giản Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó

Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – biển đổi biểu thức nguyên 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1

Vậy phân số 3n 1

+ + là phân số tối giản.

b) Ta có 29

+ Để A cha tối giản thì phân số

29

n + 5 phải cha tối giản Suy ra n + 5

phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29

Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5  29  n + 5 = 29k (k  N) hay n = 29k – biển đổi biểu thức nguyên 5

Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k – biển đổi biểu thức nguyên 5 < 2009 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 k 69 hay k≤ n = 29k – 5 < 2009 ≤ n = 29k – 5 < 2009 {1; 2;… + ab; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng của các số này là :

29(1 + 2 + … + ab + 69) – biển đổi biểu thức nguyên 5.69 = 69690

Ví dụ 6 Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau Từ đó suy ra rằng :

2009 2009 2009 2009 2009 2009

Lời giải

Ta có : 1 1 1 1

+ + =

0

+ +

Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số

 a b a b

0

+ + +

+ +

 (a + b)(b + c)(c + a) = 0 

ộ + = ờ

ờ + = ờ

ờ + = ở



ộ =-ờ

ờ =-ờ

ờ =-ở

 đpcm

Từ đó suy ra : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091



2009 2009 2009 2009 2009 2009

Ví dụ 7 Đơn giản biểu thức :

A

Lời giải

Đặt S = a + b và P = ab Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – biển đổi biểu thức nguyên 2ab = 2

a3 + b3 = (a + b)3 – biển đổi biểu thức nguyên 3ab(a + b) = 3

S - 3SP

Do đó : 1 1 a b S

;

+

.

Ta có : A =

=

Hay A =

.

Ví dụ 8 Cho a, b, c là ba số phân biệt Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x :

S(x)

Lời giải

Cách 1

S(x)

2 – biển đổi biểu thức nguyên Bx + C

A

a b b c c a

B

C

Ta có : b a c b a c

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)

B

-=

0

C

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)

1

Vậy S(x) = 1x (đpcm)

Cách 2

Đặt P(x) = S(x) – biển đổi biểu thức nguyên 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2 Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm

Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x)

Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x

Suy ra S(x) = 1 x  đpcm

Ví dụ 9 Cho 1

x + = Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) 2

2

1

x

= + ; b) 3

3

1

x

= + ; c) 4

4

1

x

= + ; d) 5

5

1

x

Lời giải a)

2 2

2

ỗ

b)

3 3

3

c)

2

ỗ

ố ứố ứ  D = 7.18 – biển đổi biểu thức nguyên 3 = 123.

Ví dụ 10 Xác định các số a, b, c sao cho :

+

Lời giải

Ta có :

-2

Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số

Vậy 2 2 2x 1 1

Bài tập

16 Cho phân thức

P

-=

a) Rút gọn P ;

b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm đợc trong câu a) tại n luôn là một phân số tối giản

17 a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n :

;

+ +

3

;

+ + + 2

+

b) Chứng minh rằng phân số

8

+ + không tối giản với mọi số nguyên dơng n.

c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho

2

+ + là phân số cha tối giản.

18 Tính các tổng sau :

+

2

f)

+

= + + + (k! = 1.2.3… + abk)

19 Tính các tích sau :

a)

= - ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ - ữ ữ ỗ ỗ - ữ ữ ỗ ỗ - ữ ữ

b)

-=

c) 1 1 1

= + ỗ ỗ ố ữ ữ ứố ỗ ỗ + ữ ữ ứố ỗ ỗ + ữ ỗ ữ ứ ố ỗ + + ứ ữ ữ ữ.

20 Tính :

L

=

21 Tính

M

=

22 Thực hiện các phép tính :

A

B

c)

C

d)

C

-23 Rút gọn :

2

A

=

24 Rút gọn :

=

25 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau với x = – biển đổi biểu thức nguyên1,76 và y = 0,12 :

ỗ

ữ

(Trích đề thi HSG toàn quốc 1963)

26 Rút gọn :

Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số

a)

-;

28 a) Biết a – biển đổi biểu thức nguyên 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức : 3a 2b 3b a

P

b) Biết 2a – biển đổi biểu thức nguyên b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức : 5a b 3b 3a

Q

c) Biết 10a2 – biển đổi biểu thức nguyên3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – biển đổi biểu thức nguyên b2 0, hãy tính : ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện R 2a b 5b a

29 Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a)

A

b)

B

C

30 Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức :

31 Cho 3 số a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn điều kiện a b b c c a

= = Tính giá trị của

biểu thức : b c a

32 a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 Chứng minh rằng :

2

ỗ

b) Tính D

1 2 3 2 3 4 3 4 5 2007 2008 2009

33 Đơn giản các biểu thức sau :

a)

A

b)

3

34 a) Chứng minh rằng nếu abc = 1 thì 1 1 1

1

b) Cho abcd = 1, hãy tính :

35 Chứng minh rằng nếu 1 1 1

2

2

(Trích đề thi HSG toàn quốc 1970)

36 Cho x y z

0

2

x + + = y z Tính giá trị của biểu thức

37 Cho a b c a b c

b + + = + + c a c a b CMR tồn tại hai trong ba số a, b, c bằng nhau

38 Rút gọn biểu thức :

39 Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hệ thức : a b c b c a c a b

0.

minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0

40 Rút gọn biểu thức :

41 Cho a, b, c khác nhau đôi một và 1 1 1

0.

a)

M

b)

N

c)

P

42 Xác định a, b, c sao cho :

a) 1 a bx + c

= + ; b) 1 a b

Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 – phần đại số

43 Rút gọn biểu thức :

-=

-44 Rút gọn biểu thức : n 1 n 2 n 3 2 1 1 1 1

45 Rút gọn biểu thức :

-=

+ + + +

-

46 Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hai điều kiện abc = 1 và 1 1 1

rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1

47 Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2008 và 1 1 1 1

rằng tồn tại ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2008

48 Giả sử a, b, c là ba số khác nhau thỏa mãn a b c

0

- - - Chứng minh rằng :

0

49 Cho a b c

1

+ + + Chứng minh rằng

0

50 Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và a b c

0

ax2 + by2 + cz2 = 0

51 Cho x2 – biển đổi biểu thức nguyên 4x + 1 = 0 Tính giá trị của các biểu thức A = x5 +

5

1 x

và B = x7 +

7

1 x

52 Cho

2

x

2008.

- + Tính

2

x M

=

2

x N

=

53 Cho dãy số a1, a2, a3, … + ab sao cho : 1

2 1

a

-=

2 3 2

a

-= + ; … + ab ;

n 1 n

n 1

a

-=

a) Chứng minh rằng a1 = a5

b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108