Ghép 4 điểm trong các điểm đó, chứng minh tứ giác nội tiếp.. Tiếp đó ghép 4 điểm khác trong đó có 3 điểm trớc, chứng minh tứ giác nội tiếp rồi lại tiếp tục làm nh trên.. Tứ giác MNPQ nộ
Trang 1Chuyên đề: tứ giác nội tiếp
I Lý thuyết:
1 Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đờng tròn (Tứ giác ABCD nội tiếp)
Cách 1 Theo định nghĩa: CM có một điểm cách đều 4 điểm (Có O: OA = OB = OC = OD) Cách 2 Theo tính chất: à A C + à = 1800 (Hoặc Góc A bằng góc ngoài của tứ giác tại C)
Cách 3 Theo quỹ tích cung chứa góc: ãABD = ãACD .
Cách 4: AB cắt CD tại I và thoả mãn: IA.IB = IC.ID
Chú ý: Cần chú ý trờng hợp: à A C = = à 900 hoặc ãABD = ãACD = 900
Các loại tứ giác đã học ở lớp 8, từ giác nào nội tiếp đợc một đờng tròn ?
2 Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đờng tròn:
Cách 1 CM có một điểm cách đều các điểm đã cho (Có O: OA = OB = OC = OD = ) …
Cách 2 Ghép 4 điểm trong các điểm đó, chứng minh tứ giác nội tiếp Tiếp đó ghép 4 điểm
khác (trong đó có 3 điểm trớc), chứng minh tứ giác nội tiếp rồi lại tiếp tục làm nh trên.
Chú ý: a Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đờng tròn.
b Có duy nhất một đờng tròn nhận một đoạn thẳng cho trớc làm đờng kính.
II Bài tập:
Bài 1 Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của AB, BC,
CD và DA Chứng minh rằng:
a Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc một đờng tròn, xác định tâm O của đờng tròn đó.
b Biết AC = 19cm, BD = 98cm Tính diện tích của đờng tròn (O).
Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD, gọi M, N, P, Q là giao điểm của các đờng phân giác trong của
tứ giác Chứng minh rằng 4 điểm: M, N, P, Q cùng thuộc một đờng tròn.
Bài 3 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A, B Các đờng thẳng AO, AO’ cắt
đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C, D và cắt đờng tròn (O’) tại các điểm thứ hai E,
F Chứng minh rằng:
a Ba điểm B, C, D thẳng hàng.
b Tứ giác CDEF nội tiếp đợc một đờng tròn.
c A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE.
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đờng cao AH và vẽ đờng tròn đờng kính AH, đ-ờng tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
Trang 2Bài 5 Cho hình vuông ABCD Lấy AB làm cạnh huyền dựng tam giác vuông AEB ra phía ngoài hình vuông Chứng minh rằng phân giác góc E chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 6 Cho tam giác MNP vuông tại M (MN < MP) và nội tiếp đờng tròn tâm (O, R) Gọi K
là trung điểm của MP và MI là đờng cao của tam giác MNP.
a Chứng minh tứ giác MIOK nội tiếp đợc trong một đờng tròn (O’) Xác định tâm O’ của
đờng tròn đó.
b Xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn (O) và (O’).
c Đờng tròn (O’) cắt MN tại E Chứng minh 3 điểm E, O’, K thẳng hàng.
Bài 7 Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE tới đờng tròn Gọi I là trung điểm của DE.
a Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn.
b Chứng minh rằng IA là tia phân giác của góc BIC.
Bài 8 Cho tam giác ABC cân là A nội tiếp đờng tròn (O) Hai điểm H, K trên cạnh BC,
AH, AK thứ tự cắt đờng tròn tại P, Q Chứng minh rằng:
a Tứ giác KHPQ nội tiếp đợc một đờng tròn.
b AH.AP = AK.AQ.
Bài 9 Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn Gọi I là một điểm nằm trên dây BC, đờng thẳng vuông góc với OI tại I cắt AB, AC thứ tự ở
M, N Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài 10 Cho tam giác nhọn ABC, đờng tròn đờng kính BC cắt AB, AC thứ tự tại D, E AE cắt BD tại H Chứng minh rằng:
a Tứ giác ADHE nội tiếp đợc một đờng tròn (O’).
b. AI ⊥ BC và OO’ ⊥ DE.
Bài 11 a Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn.
b Cho hai đoạn thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau tại I (A nằm giữa I,B; C nằm giữa I, D) Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn.
Bài 12 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Một đờng thẳng qua A cắt hai đ-ờng tròn tại P, Q Các tiếp tuyến của hai đđ-ờng tròn tại P, Q cắt nhau tại T CMR:
a Góc PBQ không đổi khi đờng thẳng MN quay quanh A.
b Tứ giác TPBQ nội tiếp đợc một đờng tròn.