* Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.. * Dấu hiệu 3: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( mà t[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Biên soạn: TRẦN VĂN THỌ - GV Trường THCS
Dũng Sĩ Điện Ngọc, Điện Bàn, Quảng Nam.
I KIẾN THỨC CƠ BÀN:
* Học sinh cần nắm vững định nghĩa: Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn
là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.
- Để chứng minh một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn, học sinh cần phải nắm vững các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn sau:
* Dấu hiệu 1: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 180 thì tứ giác 0
đó nội tiếp được trong một đường tròn.
* Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.
* Dấu hiệu 3: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
* Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc (an-pha) thì nội tiếp được trong một đường tròn.
II Một số bài toán luyện tập:
* Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) nội tiếp trong đường tròn tâm I; bán kính r Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC.
a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K Xác định tâm K của đường tròn này.
b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) và ( K ) tiếp xúc nhau.
@ Gợi ý:
a/ Chúng minh IP AC p900 Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường tròn ( H P 1800)
- Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI Chứng minh tương tự đối với điểm H Từ đó xác định được tâm K ( là trung điểm đoạn
AI ).
( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2 trang 85)
b/ Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:
- Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hia tâm bằng tổng hai bán kính OO’ = R + r
Trang 2- Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính OO’ = R – r> 0
- Tính IK để kết luận (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2: CHo đường tròn tâm O, đường kính AB cố định Điểm I nằm giữa A
và O sao cho AI =
2
3AO Kẻ dây MN AB tại I Gọi C là một điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC, cắt MN tại E.
a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn Xác định tâm đường tròn này.
b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Và chứng minh AM2 AE AC
c/ Chứng minh AE AC AI IB AI 2
@ Gợi ý:
câu a/ HS chứng minh tương tự câu a ở bài 1 ở trên.
Câu b, c : HS tự ch minh
* Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A ( A 900) Đường vuông góc với AB tại
A cắt đường thẳng BC tại E Kẻ EN AC Gọi M là trung điểm của BC Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F.
a/ Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong
đường tròn Xác định tâm các đường tròn này.
b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
@ Gợi ý:
a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để ch.minh MCNF và dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMNE nội tiếp.
b/ Tính AEB MAE ? và tính BAM MAE ? So sánh AEB và
BAM So sánh BAM và MAC( 1)
- Tứ giác AMNE nội tiếp nên MAC và MEN thế nào với nhau, vì sao ( 2)
Từ ( 1) và ( 2) nêu ra kết luận.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax và Ay sao cho xAy 450 Tia Ax cắt CB và ND lần lượt tại E và P Tia Ay cắt CD và BD lần lượt tại F và Q.
a/ Chứng minh EBAQ và FDAP nội tiếp được trong đường tròn.
b/ Chúng minh năm điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.
@ Gợi ý:
a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD là đường chéo của hình vuông ABCD nên DBC? - Dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh EBAQ nội tiếp ( Hướng dẫn HS lập luận như sau: Hai đỉnh A và B của hai góc QAE và BQE nhìn đoạn thẳng QE chứa hai đỉnh còn lại của tứ giác EBAQ cùng dưới một góc 450 nên EBAQ nội tiếp được trong đường tròn.
Trang 3- Chứng minh tương tự đối với tứ giác FPAD.
b/ Chứng minh năm điểm Q, P, E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.
HS cần nắm được kiến thức sau: Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp thì bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó (Định lý)
- Góc FQE là góc ngoài tại đỉnh Q của tứ giác nội tiếp EBAQ nên góc EQF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu độ?
- Góc EPF là góc ngoài tại đỉnh P của tứ giác nội tiếp APFD nên góc EPF bằng góc nào? Và bằng bao nhiêu độ?
- Xét các điểm P, Q, C có cùng nhìn đoạn thẳng EF dưới cùng một góc vuông không? Vậy P, Q, C thuộc đường tròn nào? Từ đó kết luận 5 điểm Q, P,
E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5:Cho đường tròn ( O;R) và đường thẳng xy cách tâm O một khoảng OK= a ( 0 < a < R ) Từ một điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB
và AC đến đường tròn (O) ( B, C là các tiếp điểm; O và B nằm cùng phía với xy)
a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại hai điểm D và E.
b/ Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn Xác định tâm của đường tròn này.
c/ BC cắt OA và OK theo thứ tự tại M và S Chứng minh tứ giác
AMKS nội tiếp được trong một đường tròn.
@ Gợi ý:
Câu b: dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh 5 điểm thuộc đường tròn Câu c: dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMKS nội tiếp.
Bài 6: Từ một điểm A ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm) Trên tia đối của tia BC, lấy điểm D Gọi E
là giao điểm của DO và AC Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O),
có tiếp điểm là M; tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K
a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
b/ Chứng minh D, B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn.
@ Gợi ý:
- Câu a/ - So sánh góc MOE và góc MBC.
- So sánh góc MOD và góc MBD
- Hai điểm O và B cùng nhìn đoạn thẳng DM dưới một góc bằng nhau Vậy kết luận gì về tứ giác DBOM?
- Câub/ Chứng minh B, O, M, K cùng thuộc một đường tròn ( dấu hiệu 1) Rồi kết luận 5 điểm B, O, M, K, D cùng thuộc một đường tròn.
***
***
Trang 4Bài tập vận dụng dấu hiệu 2 (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.)
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O; đường kính AI Gọi E là trung điểm của AB ;K là trung điểm của OI; H là trung điểm của EB.
a/Chứng minh HK EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp được trong một đường tròn.
@ Gợi ý:
Câu a/ B thuộc nửa đường tròn đường kính AI AIB ?0
- Chúng minh HK là đường trung bình của hình thang EBOI, từ
đó kết luận HK EB
Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân tại K để suy ra BEK EBK (1)
- Chứng minh EBK AKC (2)
- Từ (1) và (2) suy ra BEK ACK
Góc BEK là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC bằng góc ACK ( là góc tại đỉnh đối của đỉnh E) Do đó, căn cứ vào dấu hiệu 2, kết luận AEKC nội tiếp được trong đường tròn.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm I, đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx và lấy điểm P chính giữa nửa đường tròn Trên cung PN, lấy điểm Q ( không trùng với P, N ) Các tia MP và MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự tại S và T.
a/ Chứng minh NS và MN.
b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT.
c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp được trong một đường tròn.
@ Gợi ý:
a/ Điểm P nằm chính giữa nửa đường tròn, vậy góc PMN bằng bao nhiêu độ? ( HS nhớ lại kiến thức góc nội tiếp chăn1/4 đường tròn) Kết luận tam giác MNS là tam giác gì? ( cân?), suy ra điều cần chứng minh.
b/ HS tự chứng minh 2 tam giác đề ra là đồng dạng( trường hợp góc-góc).
c/ Do tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT( ch minh trên) nên
TMN TNQ ( 1) và QNM NTQ ( 1)
Mà góc SPQ có bằng góc QNM không?( nhớ lại định lý về góc ngoài tại
1 đỉnh của tứ giác nội tiếp để trả lời- Tứ giác MPQN nội tiếp phải không?)(2)
Từ (1) và (2) có thể kết luận góc NTQ bằng góc SPQ không? Xét vị trí hai góc này đối với tứ giác PQTS để kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp được hay không ( dựa vào dấu hiệu 2)
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Nửa đường tròn đường kính AB cắt
BC tại D Trên cung AD lấy một điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.
Trang 5@ Gợi ý: Chứng minh tương tự bài 7.
Trang 6Bài 10:Bài tập vận dụng dấu hiệu 3:
Cho đường tròn tâm O Kẻ đường kính AB và CD vuông góc với nhau Gọi E
là điểm chính giữa cung nhỏ CB EA cắt CD tại F; ED cắt AB tại M.
a/ Các tam giác CEF và EMB là những tam giác gì?
b/ Chứng minh bốn điểm D, C, M, B thuộc đường tròn tâm E.
@ Gợi ý:
Câu a: Góc CEF là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn; góc FCE là góc nội tiếp chắn cung ED Lập các biểu thức về số đo các góc đó, so sánh để thấy 2 góc đó bằng nhau Kết luận tam giác CEF là tam giác gì? ( Cân?)
- Chứng minh tương tự đối với tam giác EMB.
- Từ đó suy ra EC = EB = EF = EM Dựa vào dấu hiểu để kết luận điều phải chứng minh.
HẾT
Email: info@123doc.org
Website: http://huynhvumt.violet.vn