Phương trình - BPT chứa căn

Chú ý: Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.. Ta thực hiện theo các bước:Bước 1: Đặt điều kiện c

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 3

Phần 1: Phương trình vô tỷ 4

Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 4

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 6

Dạng 1 6

Dạng 2 8

Dạng 3 9

Dạng 4 10

Phương pháp 3: Hàm số 12

Dạng 1: Sử dụng tính chất liên tục của hàm số 12

Dạng 2: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 13

Dạng 3: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 14

Dạng 4: Sử dụng định lý Lagrange 15

Dạng 5: Sử dụng định lý Rôn 16

Phương pháp 4: Đồ thị 17

Phương pháp 5: Điều kiện cần và đủ 18

Phương pháp 6: Đánh giá 19

Phần 2: Bất phương trình vô tỷ 21

Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 21

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 22

Dạng 1 22

Dạng 2 23

Dạng 3 23

Phương pháp 3: Hàm số 24

Dạng 1: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 24

Dạng 2: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 25

Phương pháp 4: Đồ thị 26

Phương pháp 5: Điều kiện cần và đủ 27

Phương pháp 6: Đánh giá 28

Tài liệu tham khảo 29

Ý kiến của Giảng Viên 30

PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Cách bước giải phương trình vô tỷ:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.

Bước 2: Lực chọn phương pháp thực hiện:

Phương pháp 1: Biến đổi tương đương.

a) Giải phương trình với m= 1.

b) Giải và biện luận phương trình

- Với m=0 Khi đó ( )2 vô nghiệm do đó ( )1 vô nghiệm

- Với m≠0 Khi đó ( )I có nghiệm ⇔( )2 có nghiệm thoả mãn x≥ −m

m x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

11

21

2 1 02

Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

1 Nếu bài toán chứa f x( ) và f x( ) có thể:

Đặt t= f x( ) , điều kiện tối thiểu t≥0, khi đó ( ) 2

f x =t .

2 Nếu bài toán chứa f x( ) , g x( ) và f x( ) g x( ) =k (k cont= ) có thể:

Đặt t= f x( ) , điều kiện tối thiểu t≥0, khi đó g x( ) k

  hoặc x= a cost với t∈[ ]0,π .

5 Nếu bài toán chứa 2 2

  hoặc đặt x= a cotgt với t∈(0,π).

7 Nếu bài toán chứa a x

8 Nếu bài toán chứa (x a b x− ) ( − ) có thể đặt ( ) 2

x a= + −b a sin t.

Chú ý: Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ,

nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ

Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau:

( )

2 2 2

2

2

11

1

x x

x

++

Phương trình được biến đổi về dạng:

( )

2 2

*

4sin os2 2 os2 2cos sin sin 4

2sin os2 1 os2 2sin os2 2sin os2 sin sin 0

1 2sin sin sin 0 sin 1 2sin 1 sin 0

đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp

Khi đó thường ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình.

Bước 2: Biếu đổi phương trình về dạng:

1 Các hệ thu được thông thường là các hệ đối xứng

2 Ở đây chúng sẽ đi xem xét hai dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Phương trình chức căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai

2

2

12

- Với ( )3 thay vào ( )1 , ta được một phương trình bậc hai theo x

- Với ( )4 thay vào ( )1 , ta được một phương trình bậc hai theo x

Nhận xét: Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình

ban đầu về dạng thoả mãn điều kiện ( )*

Dạng 2: Phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba

3

3

12

- Với ( )3 thay vào ( )1 , ta được một phương trình bậc hai theo x

- Với ( )4 thay vào ( )1 , ta được một phương trình bậc hai theo x

( ) ( )

( ) ( )

I Phương pháp

Cho phương trình f x( ) =0, để chứng minh phương trình có k nghiệm phân biệt trong

[ ]a b, , ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn các số a T< < < <1 T2 T k−1<b chia đoạn [ ]a b, thành k khoảng thoả mãn:

0 0

x− = ⇔ = + >t x t

Vậy, với mọi m phương trình luôn có một nghiệm lớn hơn 1

DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Phương pháp

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta

có ba hướng áp dụng sau:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

- Với x x> 0 ⇔ f x( ) > f x( )0 =k, do đó phương trình vô nghiệm

- Với x x< 0 ⇔ f x( ) < f x( )0 =k , do đó phương trình vô nghiệm

Vậy x x= 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

( ) ( )

f x =g x . ( )2

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ) và y g x= ( )

Dùng lập luận khẳng định hàm số y= f x( ) là đồng biến còn hàm số y g x= ( ) là hàm hằng hoặc nghịch biến

Xác định x0 sao cho f x( )0 =g x( )0 .

Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x x= 0.

Hướng 3: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

Nếu có nghiệm là duy nhất.

Thấy x=1 thoả mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x= 1

Chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lập luận số nghiệm của ( )1 là số giao điểm của đồ thị hàm số ( )C :y= f x( ) và đường thẳng ( )d :y g m= ( ).

Bước 2: Xét hàm số y= f x m( , )

- Tìm miền xác định D

- Tính đạo hàm y', rồi giải phương trình y' 0= .

- Lập bảng biến thiên của hàm số

- Phương trình cớ k nghiệm phân biệt ⇔( )d cắt ( )C tại k điểm phân biệt

- Phương trình vô nghiệm ⇔( ) ( )d ∩ C = ∅.

Dạng 1: Chứng minh phương trình có nghiệm, dựa trên đánh giá:

Từ định lý Lagrange, nếu f a( ) = f b( ) thì ∃ ∈c ( )a b, sao cho:

⇔ phương trình f x( ) =0 có nghiệm thuộc ( )a b,

Vậy, để áp dụng được kết quả trên vào việc chứng minh phương trình f x( ) =0 có nghiệm trong ( )a b, điều quan trọng nhất là nhận được hàm F x( ) (thực chất nó chính là nguyên hàm của hàm f x( )) Cụ thể, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số F x( ) khả vi liên tục trên [ ]a b, và thoả mãn

Dạng 2: Giải phương trình mũ, bằng việc ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Gọi α là nghiệm của phương trình.

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp f a( ) = f b( ), từ đó chỉ ra được hàm số ( )

F t khả vi và liên tục trên [ ]a b,

Khi đó theo định lý Lagrange ∃ ∈c ( )a b, sao cho:

Phương trình được viết dưới dạng: 3u + =5u 2.4u ⇔ −5u 4u =4u −3 u

Giả sử phương trình có nghiệm α , khi đó: 5α−4α =4α −3α ( )1

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ) trên D

Sử dụng đạo hàm khẳng định hàm số y= f x( ) lồi hoặc lõm trên miền D.

Bước 3: Vậy phương trình ( )1 nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm

Ta cần chỉ ra hai giá trị x x1, 2∈D sao cho: f x( )1 = f x( )2 =0.

Bước 4: Kết luận.

II Bài tập áp dụng

Giải phương trình:

Vậy phương trinh ( )1 nếu có nghiệm sẽ không quá hai nghiệm, ta có: f ( )0 = f ( )1 =0.

Do đó phương trình có hai nghiệm x=0,x=1.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt y= f x m( , ), khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

( ) ( )

,,

C C

Bước 2: Bằng việc xét vị trí tương đối của hai đường ( )C1 và ( )C2 ta có được kết luận về nghiệm của phương trình

Lưu ý: Thông thường nếu ( )C1 là phương trình đường thẳng thì ( )C2 có thể là phương trình đường tròn, elíp, hyperbol hoặc parabol (cũng có trường hợp ( )C1 và ( )C2 đều là phương trình đường tròn)

( ) ( )

2 2

1 230

- Với m< − 2∨ >m 1 thì ( ) ( )C ∩ d = ∅ ⇔( )1 vô nghiệm.

- Với m= − 2∨ − < <1 m 1 thì ( ) ( ) { } ( )C ∩ d = A ⇔ 1 có nghiệm duy nhất.

- Với − 2< ≤m 1 thì ( ) ( ) {C ∩ d = A B, } ( )⇔ 1 có hai nghiệm phân biệt.

PHƯƠNG PHÁP 5: ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

I Phương pháp

Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp dạng toán: Tìm điều kiện tham số để:

Dạng 1: Phương trình có nghiệm duy nhất.

Dạng 2: Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số.

Dạng 3: Phương trình có nghiệm đúng ∀ ∈x D

Dạng 4: Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bấc phương trình

khác

Khi đó ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa.

Bước 2:Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có được một số kỹ năng cơ bản.

Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu phương trình có nghiệm x0, thì cũng nhận −x0 làm

nghiệm Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện đủ là

0 0 0 0 3

Điều kiện đủ: Với m= 3, khi đó phương trình có dạng:

PHẦN 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Lược đồ để giải các bất phương trình vô tỷ có thể được minh hoạ theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình.

Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện:

Phương pháp 1: Biến đổi tương đương.

1 Trong các phép biến đổi trên ta luôn giả sử f x( ) và g x( ) đã có nghĩa

2 Với các bất phương trình có chứa tham số ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cần).

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương chuyển bất phương trình về hệ bất

phương trình đại số, từ đó xác định nghiệm x

Bước 3: Kiểm tra điều kiện cho nghiệm x tìm được

( ) 2

2 2

2 2

1

21

12

1

2

14

44

10

x x

x

x x

x x

Vậy nghiệm của bất phương trình là 1 ≤ ≤x 5

00 0

00

A B

A B

A B

00

A B

A B

A B

I Phương pháp

Sử dụng các tính chất của hàm số để bất phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta

có 2 hướng áp dụng sau:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng:

- Với x x≤ 0 ⇔ f x( ) ≥ f x( )0 =k , do đó bất phương trình vô nghiệm.

- Với x x> 0 ⇔ f x( ) > f x( )0 =k, do đó bất phương trình nghiệm đúng.

Vậy x x> 0 là nghiệm của bất phương trình.

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng:

Ta có f ( )0 =5, do đó:

- Nếu x>0 thì f x( ) > f ( )0 ⇔ x+ +9 2x+ >4 5, nên x>0 là nghiệm

- Nếu − ≤ ≤2 x 0 thì f x( ) ≤ f ( )0 ⇔ x+ +9 2x+ ≤4 5, nên − ≤ ≤2 x 0 không phải là nghiệm

Vậy nghiệm của bất phương trình là x>0

- Tính đạo hàm y', rồi giải phương trình y' 0= .

- Lập bảng biến thiên của hàm số

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x∈ −[ 2; 4] là m≥10.

PHƯƠNG PHÁP 4: ĐỒ THỊ

I Phương pháp

Với các bất phương trình logarit chứa tham số sử dụng phương pháp đồ thị thường được thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương, biến đổi bất phương trình về một hệ

(gọi là hệ ( )I ) các bất phương trình đại số

Bước 2: Xét hệ trục toạ độ Oxm

- Biểu diễn những điểm M x m( , ) thoả mãn các bất phương trình trong ( )I Giả sử là các tập X X1, 2, ,X n

2 2

122

( )5 là tập hợp các điểm thuộc cung CD» của đường tròn ( )C u: 2+ =v2 2a.

Vậy hệ ( )I có nghiệm khi và chỉ khi:

PHƯƠNG PHÁP 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

Khi đó ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của bất phương trình có nghĩa.

Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có được một số kỹ năng cơ bản.

Đó là điều kiện cần để bất phương trình nghiệm đúng ∀ ∈ −x [ 2; 4].

Điều kiện đủ: Giả sử m≥4, khi đó:

Áp dụng BĐT Côsi cho vế trái, ta được: (2 ) (4 ) (2 ) (4 ) 3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x=1.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phương pháp giải toán ĐẠI SỐ – (tập 3) Phương trình, bất phương trình và hệ vô tỷ

– Lê Hồng Đức – NXB Đại Học Sư Phạm – 2004.

2 Phương trình, bất phương trình và hệ phươn trình – TS Đặng Hùng Thắng – NXB

ĐHQG Hà Nội – 2005.

Ý KIẾN CỦA GIẢNG VIÊN