Định nghĩa này rất khó sử dụng để chứng minh một tập là liên thông.. Các định lý cơ bản về không gian topo liên thông : 1 Không gian topo X liên thông nếu X không thể phân hoạch được thà
Trang 14 BÀI TẬP NHẬP MÔN GIẢI TÍCH
-Bài 1 :
Cho ( E , d ) là không gian metric và A⊂E và x E∈
Ta định nghĩa :
+ x là điểm dính của A ⇔ ∀ > r 0, B x, r ( ) I A ≠ ∅
+ x là điểm tụ của A ⇔ ∀ >r 0, B x, r \ x ( ) { }I A≠ ∅
+ x là điểm trong của A ⇔ ∃ > r 0, B x, r ( ) ⊂ A
+ x là điểm biên của A ⇔x cùng là điểm dính của A và của E\A
Ta ký hiệu :
+ Alà tập hợp các điểm dính của A , gọi là bao đóng của A
+ Ao hoặc Int(A) là tập hợp các điểm trong của A
+ A’ là tập hợp các điểm tụ của A
+ ∂ Alà tập hợp các điểm biên của A , gọi là biên của A
Chứng minh rằng :
1) A A A ' = U
2) A là tập đóng trong E và là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A
c) Ao là tập mở trong E và là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A
d) ∂ = ∂ A ( E \ A ) ; ∂ = A A E \ A I ; E A A E \ A
U U
e) ∂ A là tập đóng trong E , và hơn nữa : A đóng ⇔ ∂ ⊂ A A
Giải a) Chứng minh : A A A ' = U
( )
x A ∈ ⇔ ∀ > r 0, B x, r I A ≠ ∅
⇔ ∀ > r 0, x ( { } U B x, r \ x ( ) { } ) I A ≠ ∅
{ }
( ) { }
r 0,
≠ ∅
⇔ ∀ >
≠ ∅
I
I
{ }
( ) { }
≠ ∅
⇔
I
I
x A
x A '
∈
⇔ ∈
⇔ ∈ x A A ' U
Vậy : A A A ' = U
Trang 2b) Chứng minh :
A là tập đóng trong E và là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A
HƯỚNG DẪN :
Để chứng minh tập đóng , ta sử dụng tính chất sau đây :
F đóng trong E ⇔ ∀ ( ) xn n∈¥ ⊂ F, xnn→ ∈ ⇒ ∈→∞x E x F
Lời giải
Ta chứng minh A đóng trong E
Cho dãy ( ) xn ⊂ A sao cho : n
→∞ = ∈ .
Ta phải chứng minh : x A∈
Tức là chứng minh : ∀ > r 0, B x, r ( ) I A ≠ ∅
Thật vậy , cho r > 0 tùy ý
N , d x , x
2
a A
r
d x , a
2
∈
( ) ( N) ( N ) r r
d x, a d x, x d x , a r
2 2
( )
⇒ I ≠ ∅ ∀ >
x A
Vậy : A đóng
Ta chứng minh A là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A
Giả sử F là tập đóng trong E chứa A
Từ : A⊂F suy ra : A⊂ =F F ( tính chất : A đóng ⇔ = A A)
Vậy A là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A
c) Ta chứng minh Int(A) là tập mở trong E
Với mỗi x int A ∈ , tồn tại r > 0 sao cho : B x, r ( ) ⊂ A
B x, r int B x, r int A
Vậy : intA mở
Ta chứng minh intA là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A
Cho G là mở trong E bị chứa trong A
Từ : G ⊂ Asuy ra : G int G = ⊂ int A
Vậy : intA là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A
d) Chứng minh : ∂ = A A E \ A I
Trang 3Theo định nghĩa :
x là điểm biên của a khi và chỉ khi ta có đồng thời :
+ x là điểm dính của A , tức : x A∈
+ x là điểm dính của E\A , tức : x E \ A ∈
Do đó : ∂ = A A E \ A I (*)
Chứng minh : ∂ = ∂ A ( E \ A )
Áp dụng (*) cho A và E\A , ta có :
A A E \ A E \ A A E \ A E \ E \ A E \ A
Chứng minh : E = ∂ A int A int E \ A U U ( )
E = ∂ A U E \ A ∂
= ∂ A E \ A E \ A ( )
= ∂ A U ( E \ A ) ( U E \ E \ A )
= ∂ A int E \ A U ( ) U int E \ E \ A ( ) ( do E \ A, E \ E \ A mở )
A int E \ A int E \ E \ A
A int A int E \ A
( )
E A int A int E \ A
( )
E A int A int E \ A
d) Chứng minh : ∂ A đóng
Vì A, E \ A đóng trong E nên : ∂ = A A E \ A I đóng trong E
Chứng minh : ∂ ⊂ ⇔ A A A đóng
Ta có :
∂ ⊂ A A
= A I ( A E \ A U ) = A I { A U ( E \ A ) U E \ A \ E \ A ( ) }
= A I { E U E \ A \ E \ A ( ) } = A E A I =
A A
⇔ =
⇔A đóng
-Bài 2 :
Cho ánh xạ f từ không gian metric X vào không gian metric Y
Trang 4Chứng minh rằng :
f liên tục trên X ⇔ ∀ ⊂ A X,f A ( ) ⊂ f A ( )
Giải a) Phần thuận :
Giả sử f liên tục trên X
Cho A⊂Xtùy ý
CÁCH 1 ( Sử dụng dãy )
Nếu : y f A ∈ ( ) thì : y f a = ( ) với một a A ∈
Vì a A ∈ nên tồn tại một dãy ( ) an n ⊂ A hội tụ về a
Vì f liên tục tại a nên ta có :
Vậy : f A ( ) ⊂ f A ( )
Cách 2 ( Sử dụng tính chất liên tục và bao đóng )
Ta có :
A ⊂ f− f A ⊂ f− f A
⇒ ⊂A f−1f A( )=f−1f A( )
( vì f liên tục và f A( ) đóng )
( ) ( )
b) Phần đảo :
Giả sử : ∀ ⊂ A X,f A ( ) ⊂ f A ( ) (*)
Để chứng minh f liênm tục trên X , ta cho F là một tập đóng tùy ý trong Y và ta sẽ chứng minh f−1( )F đóng trong
X
Áp dụng tính chất (*) cho tập f−1( )F ⊂X , ta được :
( ) ( )
f f − F ⊂ f f − F ⊂ = F F
( )
1
f− F
Vậy : f liên tục trên X
Không gian topo liên thông
-I Định nghĩa :
+ Không gian topo X gọi là liên thông nếu trong X chỉ có tập X và tập ∅ lả các tập vừa đóng , vừa mở trong X mà thôi
+ Một tập A⊂Xgọi là một tập liên thông khi không gian con A là một không gian liên thông
Định nghĩa này rất khó sử dụng để chứng minh một tập là liên thông Trong thực hành ta sử dụng một trong các định lý sau đây :
II Các định lý cơ bản về không gian topo liên thông :
1) Không gian topo X liên thông nếu X không thể phân hoạch được thành hai tập mở khác rỗng và rời nhau
Trang 5Nghĩa là :
X không liên thông khi và chỉ khi tồn tại hai tập V , V1 2 ⊂ Xsao cho :
+ V , V1 2 ≠ ∅
+ V , V1 2mở trong X
+ V1I V2 = ∅
+ X V = 1U V2
Định lý này là phương pháp quan trọng nhất và thường được sử dụng để chứng minh một không gian là liên thông
Như vậy , phương pháp chứng minh một không gian liên thông là phương pháp phản chứng
Vì trong không gian topo bất kỳ ta luôn có tính chất :
Cho A là tập con khác rỗng của không gian topo X thì :
V là tập mở trong không gian con A khi và chỉ khi V có dạng :
V G A = I , trong đó G là một tập mở trong X
Nên từ định lý trên ta có hệ quả hiển nhiên sau đây dùng để chứng minh một tập A⊂X là liên thông :
2) Một tập A⊂Xkhông liên thông khi và chỉ khi tồn tại hai tập V , V1 2⊂ Xsao cho :
+ V , V1 2mở trong X
+ V1I A, V2I A ≠ ∅
+ ( V1I A ) ( I V2I A ) = ∅
+ A ⊂ V1U V2 ( tương đương với : A = ( V1I A ) ( U V2I A ) )
3) Cho ánh xạ f từ không gian topo X vào không gian topo Y
Nếu f liên tục và A⊂Xliên thông trong X thì f(A) liên thông trong Y
-Bài tập 1 : ( Đây là bài tập nền cho các bài tập về liên thông )
Cho không gian topo X và các tập ∅ ≠V, A⊂Xvà V mở trong X Chứng minh nếu V A ∩ = ∅ thì V A ∩ = ∅ Giải
Nếu V A ∩ ≠ ∅ thì có x V A ∈ ∩
+ x V ∈ mở trong X ⇒ có lân cận W x ( ) ⊂ V (1)
+ x A ∈ ⇒ W x ( ) ∩ ≠ ∅ A (2)
( ) ( ) 1 2 ⇒ ∩ = ∅ V A
Điều này trái với giả thiết V A ∩ = ∅
Vậy : V A ∩ = ∅
-Bài 2 :
Cho tập A liên thông trong không gian topo X và A⊂ ⊂B A
Chứng minh B liên thông
Giải
Trang 6Nếu B không liên thông thì : B = ( V1∩ B ) ( ∪ V2∩ B ), trong đó :
+ V , V1 2mở trong X
+ V1∩ B, V2∩ ≠ ∅ B
+ ( V1∩ B ) ( ∩ V2∩ B ) = ∅
Ta có :
1
B A
V B
Chứng minh tương tự , ta được : V2∩ ≠ ∅ A
Tóm lại , ta có :
+ V , V1 2mở trong X
+ V1∩ A, V2∩ ≠ ∅ A
+ ( V1∩ A ) ( ∩ V2∩ A ) = ∅
+ ( V1∩ A ) ( ∪ V2∩ A ) = A
⇒ A không liên thông
Điều này trái với giả thiết A liên thông
Vậy : B liên thông
Bài 3 :
Cho họ ( ) Ai i I∈ các tập khác rỗng liên thông của không gian topo X thỏa i
i IA
∈
I Chứng minh : i
i I
∈
= U liên thông Giải
Nếu A không liên thông thì : A = ( V1I A ) ( U V2I A ), trong đó :
+ V , V1 2mở trong X
+ V1I A, V2I A ≠ ∅
+ ( V1I A ) ( ∩ V2I A ) = ∅
i I
∈
∈I (1)
Ta có :
1
2
x A
∈
∈ ∩
Có thể giả sử x V ∈ ∩1 A (2)
( ) ( ) 1 2 ⇒ ∈ ∩ x V1 A , i Ii ∀ ∈
⇒ ∩ ≠ ∅ ∀ ∈ (3)
Ta có :
U U
Trang 7⇒ ∃ ∈ ∩ ≠ ∅ (4)
( ) 3 ⇒ V1∩ Ai0 ≠ ∅
Tóm lại , ta có :
+ V , V1 2mở trong X
+ V1I A , Vi0 2I Ai0 ≠ ∅.
+ ( V1I Ai 0) ( ∩ V2I Ai 0) = ∅
+ Ai 0 = ( V1I Ai 0) ( U V2I Ai 0)
0
i
A
⇒ không liên thông
Điều này trái với giả thiết Ai0liên thông
Vậy : A liên thông
-Bài 4 :
Trong không gian topo X cho hai tập liên thông A,B khác rỗng sao cho A B ∩ ≠ ∅ Chứng minh A∪Bliên thông Giải
Nếu C A B = ∪ không liên thông thì :
C = V C ∩ ∪ W C ∩ trong đó :
+ V,W mở trong X
+ V C, W∩ ∩ ≠ ∅C
+ ( V C ∩ ) ( ∩ W C ∩ ) = ∅
Lấy một x A∈ ∩B (1)
Vì : x C,C ∈ = ( V C ∩ ) ( ∪ W C , V C ∩ ) ( ∩ ) ( ∩ W C ∩ ) = ∅
Nên x hoặc chỉ thuộc V C ∩ hoặc chỉ thuộc W C ∩
Có thể giả sử x V C ∈ ∩ (2)
( ) ( ) 1 2 ⇒ ∈ ∩ ∩ ⇒ ∩ ≠ ∅ x V A B V A (3)
Vì : W C ∩ ≠ ∅
nên : ∅ ≠ W C W ∩ = ∩ ( A B ∪ ) ( = W A ∩ ) ( ∩ W B ∩ )
W A
⇒ ∩ ≠ ∅ (4)
Từ (3),(4) suy ra :
+ V,W mở trong X
+ V∩A, W∩ ≠ ∅B
+ ( V A ∩ ) ( ∩ W A ∩ ) = ∅
+ A = ( V A ∩ ) ( ∪ W A ∩ )
⇒ A không liên thông ( trái giả thiết )
Vậy : C A B = ∪ liên thông
-Bài 5 :
Trang 8Trong không gian topo X ,cho n tập liên thông A , A , , A1 2 n khác rỗng sao cho : Ai∩ Ai 1+ ≠ ∅ ∀ = , i 1, 2, , n 1 −
Chứng minh : n i
i 1A
=
∪ liên thông Giải
Ta chứng minh n n i
i 1
=
= ∪ liên thông bằng qui nạp Theo bài 4 thì đpcm đúng khi n = 1 , 2
Giả sử ta có n n i
i 1
=
= ∪ liên thông với một số tự nhiên n nào đó
Ta chứng minh n 1 n 1 i
i 1
=
= ∪ liên thông
Vì Bn 1+ = Bn∪ An 1+ , mà B , An n 1+ là các tập liên thông khác rỗng thỏa Bn∩ An 1+ ≠ ∅ nên áp dụng kết quả khi
n = 2 , ta có Bn 1+ liên thông
Vậy , theo nguyên lý quy nạp , ta có :
n
i 1
=
= ∪ liên thông , ∀ ≥n 1
-Bài 6 :
Cho dãy ( ) An n các tập liên thông khác rỗng trong KG topo X thỏa : An∩ An 1+ ≠ ∅ ∀ ≥ , n 1 Chứng minh :
n
n 1
≥
= U liên thông
Giải
Chứng minh được n n i
i 1
=
= ∪ liên thông , ∀ ≥n 1.( Bài toán 5 )
n 1
≥
= U không liên thông thì : A = ( V A ∩ ) ( ∪ W A ∩ ), trong đó :
+ V , W mở trong X
+ V∩A, W∩ ≠ ∅A
+ ( V A ∩ ) ( ∩ W A ∩ ) = ∅
Tương tự , từ W A ∩ ≠ ∅ suy ra : ∃ ≥ n2 1: V B ∩ n2 ≠ ∅
Chọn n0 = max n , n { 1 2} thì : V B , W B ∩ n0 ∩ n0 ≠ ∅
Đến đây , ta có :
+ V,W mở trong X
+ V B , W B ∩ n0 ∩ n0 ≠ ∅
+ ( V B ∩ n 0) ( ∩ W B ∩ n 0) = ∅
+ ( V B ∩ n 0) ( ∪ W B ∩ n 0) = Bn 0
0
n
B
⇒ không liên thông ( trái giả thiết )
Trang 9Vậy : n
n 1
≥
= U liên thông
-Bài 7 : Chứng minh không gian topo X có tính chất :
“ Với mọi x,y thuộc X , luôn tồn tại không gian con liên thông Y sao cho x, y Y∈ “ thì X liên thông
Giải
Cố định một x X∈ thì với mỗi y Y∈ , tồn tại một không gian con Yy sao cho : x, y Y ∈ y
y YY
I ( nó luôn chứa x ) và : y
y Y
∈
= U Nên theo bài tập 6 , ta có X liên thông
-Bài 8 :
Trong không gian topo X , cho các tập liên thông A và B sao cho
A B ∩ ≠ ∅ Chứng minh A∪Bliên thông
Giải
Nếu C A B = ∪ không liên thông thì :
C = V C ∩ ∪ W C ∩
Trong đó :
+ V,W mở trong X
+ V C, W∩ ∩ ≠ ∅C
+ ( V C ∩ ) ( ∩ W C ∩ ) = ∅
Lấy một x A∈ ∩B
Ta có :
+ x A C ∈ ∩
+ A C A∩ = ∩(V C∩ ) (∪ W C∩ )
Bài 9 :
Cho B là một tập con liên thông của không gian metric X và A là một tập con bất kỳ của X sao cho :
( )
A B, X \ A ∩ ∩ ≠ ∅ B Chứng minh rằng : B ∩ ∂ ≠ ∅ A
Giải
Từ giả thiết : B A, B ∩ ∩ ( X \ A ) ≠ ∅
và tính chất :B ∩ ∂ = ∩ A B ( A X \ A ∩ ) ( = B A ∩ ) ( ∩ B X \ A ∩ )
Ta suy ra : nếu B ∩ ∂ = ∅ A thì :
+ B A; B X \ A∩ ∩ ≠ ∅
+ B A; B X \ A∩ ∩ đóng trong B
+ ( B A ∩ ) ( ∩ B X \ A ∩ ) = ∅
+ ( B A ∩ ) ( ∪ B X \ A ∩ ) = B
⇒ B không liên thông ( mâu thuẫn )
Vậy , phải có : B ∩ ∂ ≠ ∅ A
Bài 10 : Cho không gian metric X Chứng minh X liên thông nếu và chỉ nếu với mọi A⊂X,∅ ≠ ≠A Xta đều có phần biên ∂ ≠ ∅ A
Trang 10a) Phần thuận :
Giả sử X liên thông và A⊂X,∅ ≠ ≠A X
Ta có : ∂ = ∩ A A X \ A Vậy , nếu ∂ = ∅ A thì :
+ A, X \ Alà các đóng khác rỗng trong X
+ A X \ A ∩ = ∅
+ X A X \ A = ∪
⇒ X không liên thông ( mâu thuẫn )
Vậy : nếu A⊂X,∅ ≠ ≠A X thì ∂ = ∅ A
b) Phần đảo :
Nếu X không liên thông thì tồn tại A⊂X,∅ ≠ ≠A X sao cho A vừa đóng vừa mở trong X Khi đó :
A A X \ A
∂ = ∩ = ∩ A ( X \ A ) ( Vì A , X\A đóng ) = ∅
-Bài 11 :
Cho (E,d) là một không gian metric liên thông , không bị chặn Chứng minh rằng mọi mặt cầu
S x, r = ∈ y E / d , x = r đều khác rỗng
Giải:
Ta có : S x, r ( ) = ∈ { y E / d y, x ( ) = = ∂ r } B x, r ( ) = B' x, r ( ) ∩ C x, r ( )
Với : B' x, r ( ) = ∈ { E / d y, x ( ) ≤ r } và C = ∈ { y E / d y, x ( ) ≥ x }
Nếu S x, r ( ) = ∈ { y E / d y, x ( ) = = ∅ r } thì ta có :
+ B' x, r ,C x, r ( ) ( ) là các tập đóng khác rỗng trong E
+ B' x, r ( ) ∩ C x, r ( ) = ∅
+ E B' x, r = ( ) ∪ C x, r ( )
⇒ E không liên thông ( mâu thuẫn )
Vậy : S x, r ( ) ≠ ∅
6 Không gian compact
-Bài 1 ( Số Lebesgue ) :
Cho không gian metric (X,d) và ( ) Gi i I∈ là một họ phủ mở của nó Ta nói số α > 0 là số Lebesgue của họ phủ mở ( ) Gi i I∈ nếu :
i
Chứng minh rằng trong một khong gian metric compact , mọi bao phủ mở đều có một số Lebesgue
Chú ý :
Từ đề bài ta suy ra :
Họ phủ mở ( ) Gi i I∈ của (X,d) có số Lebesgue nếu và chỉ nếu :
i
∃α > ∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂
Giải
Trang 11Cho (X,d) là không gian metric compact và ( ) Gi i I∈ là một họ phủ mở của nó
Giả sử họ ( ) Gi i I∈ không có số Lesgue thì :
n n
1
d iamA
A G , i I
Với mỗi n ∈ ¥∗, ta chọn ra một an∈ An thì được dãy ( ) an trong không gian compact X nên tồn tại dãy con
( )an k khội tụ về một phần tử a X ∈
i I
∈
= U nên tồn tại
0
i ∈ Isao cho : a G ∈ i0
Do Gi0mở trong X nên : ∃ > ra 0 : B a, 2r ( a) ⊂ Gi0
klim a a
→∞ = nên tồn tại một số tự nhiên k0đủ lớn sao cho :
a
0
1
r
k < và ank0 ∈ B a, r ( a)
Theo (1) thì : Ank0 ⊄Gi0 (2)
Vì :
( )
k 0
0
k0 k0
k0
∈
∈
nên : Ank0 ⊂ B a, 2r ( a) ⊂ Gi0
Điều này mâu thuẫn với (2)
Vậy , họ phủ mở ( ) Gi i I∈ có số Lebesgue
Bài 2 :
(i) Chứng minh rằng mọi không gian compact đều tiền compact
(ii) Từ (i) và bài tập 1 , hãy suy ra rằng : Để không gian metric (X,d) compact , ĐKCVĐ là mọi bao phủ mở của X đều
có một bao phủ con hữu hạn
Giải
(i) Giả sử (X,d) là không gian compact
Nếu (X,d) không tiền compact thì tồn tại ε > 0sao cho không thể phủ được X bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính
ε
Lấy x1∈ Xthì X ⊄ B x , ( 1 ε )
nên có x2∉ B x , ( 1 ε ⇒ ) d x , x ( 2 1) ≥ ε
Vì : X ⊄ B x , ( 1 ε ) U B x , ( 2 ε )
Nên có x3∉ B x , ( 1 ε ) U B x , ( 2 ε ⇒ ) d x , x ,d x , x ( 3 1) ( 3 2) ≥ ε
Tiếp tục quá trình trên theo hướng quy nạp , ta tìm được một dãy
( ) xn n ⊂ X sao cho d x , x ( m n) ≥ ε ∀ ≠ , m n
Trang 12Như vậy , mọi dãy con của dãy ( ) xn nkhông phải là dãy Cauchy nên không thể hội tụ và như vậy thì (X,d) không compact ( mâu thuẫn )
(ii) a/ Phần thuận :
Giả sử (X,d) compact
Cho ( ) Gi i I∈ là một phủ mở của (X,d) thì tồn tại một số Lebesgue 3 α > 0sao cho :
i 1
x , x , , x X : X B x ,
=
Vì : diamB x , ( k α ≤ α < α ∀ = ) 2 3 , k 1, 2, , n
Nên : ∀ = k 1, 2, , n, i ∃ ∈k I : B x , ( k α ⊂ ) Gik (2)
( ) ( ) n ik
k 1
=
⇒ ⊂ ∪
Như vậy : từ phủ mở ( ) Gi i I∈ của X , ta đã trích ra được phủ con hữu hạn ( )Gi 1 k n k ≤ ≤ .
b) Phần đảo :
Gỉả sử từ mọi phủ mở của (X,d) ta đều trích ra được một phủ con hữu hạn
Cho ( ) xn n ⊂ X tùy ý
Nếu A = { x / n 1n ≥ } hữu hạn thì có dãy con hội tụ là một dãy hằng
Nếu A vô hạn và nếu A không có điểm tụ nào cả thì :
∀ ∈ ∃ > ∩ = ∅
Suy ra : ∀ ∈ ∃ > x X, rx 0 : B x, r ( x) ∩ ⊂ A { } x
Không gian compact nhận họ (B x, r( x) )x X∈ làm một phủ mở nên tồn tại một phủ con hữu hạn ( ( )x i )
1 i n
B x, r
≤ ≤ .
Vậy :
( i) ( i)
n
i 1 x x , x , , x
=
⇒ A hữu hạn ( vô lý )
Vậy , A phải có một điểm tụ x X∈ và do đó tồn tại một dãy con
( )xn k k ⊂Ahội tụ về x X∈
Tóm lại , mọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ
Vậy : X là không gian compact
-Bài 3 :
Chứng minh hợp của một số hữu hạn các tập compact khác rỗng cũng là một tập compact
Giải
Giả sử : K , K , , K1 2 n ≠ ∅là các tập com pact
Trang 13Ta chứng minh tập n i
i 1
=
= ∪ compact Giả sử K có phủ mở ( ) Gj j J
∈ .
Với mỗi i = 1 , 2 , … , n , vì ( ) Gj j J∈ là phủ mở của tập compact Ki nên tồn tại phủ con hữu hạn ( ) ( )p
i
i j
1 p n
G
≤ ≤ .
p
n
i 1 i 1p 1
= ∪ ⊂ ∪ ∪
K có phủ con hữu hạn ( ) ( )p
i
i
j 1 i n
1 p n
≤ ≤ trich ra từ phủ mở ( ) Gj j J
∈ .
Vậy , n i
i 1
=
= ∪ compact
-Bài 4 :
Cho ( ) Kn n∈¥ là dãy giảm các tập compact khác rỗng của không gian metric X Chứng minh tập
n
n
∈
= ∩
¥ là tập compact không rỗng của X
Giải
Với mỗi n ∈ ¥ , Kn ≠ ∅, ta chọn ra một xn∈ Kn
Ta được dãy ( ) xn n trong tập compact K0nên tồn tại dãy con
( )xn k k
∈ ¥ hội tụ về một x K ∈ 0
Hơn nữa , vì ( ) Kn n∈¥ là dãy giảm nên với mọi m ∈ ¥ , ta có
( )xn m m k Km
≥ ⊂ hội tụ về x
Vậy ,x K , m ∈ m ∀ ∈ ¥
Ta chứng minh K compact
Cho dãy ( ) xm m ⊂ K tùy ý và cố định một n tùy ý
Vì ( ) xm m ⊂ Kncompact nên tồn tại dãy con hội tụ :
( )
( )k
k
n
n
m k
x → ∈→∞x K
Vì : x K , n ∈ n ∀ ∈ ¥ nên : n
n
∈
¥
Vậy : K compact
Bài 5 :
Trong không gian metric E , cho dãy ( ) xn nn→→∞a