ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN CÁC NĂM MÔN GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN III DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN ĐHSP HÀ NỘI

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN CÁC NĂM MÔN GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN III DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN ĐHSP HÀ NỘI

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN CÁC NĂM MÔN GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN III

DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN ĐHSP HÀ NỘI

ĐỀ THI SỐ 1:

I Lý thuyết (3 điểm)

1 Phát biểu và chứng minh điều kiện cần và đủ để một hàm bị chặn là khả tích Riemann trên hình hộp

2 Phát biểu và chứng minh công thức Stokes

II Bài tập (7 điểm)

1 (3 điểm)

a Tính thể tích vật thể thể giới bởi:

z y z và 2

yx

b Tính diện tích mặt ngoài của giao hai hình sau:

,

x z a y z a

2 (2 điểm) Tìm miền hội tụ của các tích phân

a I x pcosx q dx









b

0

sin( q)

p

x

x



  (q 0)

3 (1 điểm) CMR: dF là biểu thức vi phân toàn phần và tính F(x,y) biết

2

( 2 ) ( , )

x y dx ydy

dF x y

x y





4 (1 điểm) Tính

L

I ydyzdyxdy

Với L là giao tuyến của mặt cầu 2 2 2 2

x y z a và mặt phẳng xyx0, định hướng như biên của bán cầu với hướng là pháp tuyến ra ngoài

ĐỀ THI SỐ 2

I Lý thuyết (3 điểm)

1 Phát biểu và chứng minh định lý về tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi

2 Phát biểu và chứng minh định lý 4 mệnh đề tương đương

II Bài tập (7 điểm)

1 (3 điểm)

a Tính thể tích vật thể thế giới bởi zx2y2,yx y2,  và 1 z  0

b Tính diện tích phân mặt được xác định bởi: x2y2z2 a2 nằm ngoại trụ x2y2 a a2( 0)

2 (2 điểm) Cho hai hàm số: 2 2

0

t x

f  e dx và

2 (1 2 ) 2 0

( )

1

e

x









a CMR f t( )g t( )C, C là một hằng số thực

b Tìm lim ( )

 Từ đó tính tích phân 2

0

x







3 (1 điểm) Tính 2 2

C

xdy ydx

x y





 với C là đường cong kín trơn từng khúc không đi qua gốc tọa độ với giới hạn bởi một miền đơn liền

4 (1 điểm) Tính 2dydz+ydzdx+z2

S

Với S là mặt phẳng x   nằm giữa hai mặt phẳng z 1 0 y0,y4 thuộc góc phần tám thứ nhất, có hướng lên trên

ĐỀ THI SỐ 3

1 Phát biểu định lí về bốn mệnh đề tương đương trong tích phân đường loại II

Nêu chứng minh phần từ mệnh đề 4 suy ra mệnh đề 1

2 Tính các tích phân sau:

a 2 2

1

D

 D giới hạn bởi 2 2

x y  y

b ( 2 2)

K

x y ds

 , K là đường tròn x2y2 ax a, ( 0)

3 Tính F(t), nếu

1 1

0

t x



  f(y)dy, f(y) liên tục

ĐỀ THI SỐ 4

4 Phát biểu và chứng minh định lý Fubini đối với tích phân hai lớp trên hình chữ nhật

5 Tính các tích phân như sau:

( ) dxdy

D

xy

AB





6 Tính "

( )

a

F u  ux e dx u a b

ĐỀ THI SỐ 5

Câu I a Xét tính khả vi của hàm số

1

0

sin , # 0

( )

0, 0

x

dx y

y





 









Trên R

b Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân

0

sin(xy)

dx

x y



Câu II

a Tìm tọa độ trọng tâm của vật đồng chất giới hạn bởi các mặt

x y z

y z x x y z

Câu III

c

xyy dxx dy

ngược chiều kim đồng hồ, biểu diễn diện tích của miền giới hạn bởi chu tuyến đó

d   x  yz dx y  xz dy z  xy dx

Câu IV: Cho

( )

x y R

I R

 





S

y zdxdyxzdydxx ydzdx

1

x y 

ĐỀ THI SỐ 6

1 Bằng phương pháp đạo hàm theo tham số, hãy tính tích phân sau:

0

sin

x









Từ đó hãy tính tích phân Dirichlet

0

sin x

x





 

2

4

x y z 

3 Cho tích phân đường

2 ( cosy)dx+e (1 siny) dx

L

1( 0)

A(-1,0) đến điểm B(1,0)

dyd

S

I x z y dzdx z dxdy



( )

u

B

u dS n









B  , ở đây n là pháp tuyến ngoài của mặt cầu B

ĐỀ THI SỐ 7

Câu 1:

a Giả sử D là miền đơn liên: P(x,y), Q(x,y) là hai hàm khả vi liên tục trong miền D CMR nếu

( , ) ( , )

AB

P x y dx Q x y dy

 trên cùng trơn hay trơn từng khúc AB không khép kín nằm hoàn toàn

trong miền D chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của cung AB mà không phụ thuộc vào đường nối hai điểm A và b thì tồn tại một hàm F(x,y) hai lần khả vi liên tục trong miền D sao cho: ( , ) ( , ) ( , )

b Tính tích phân:

(3,0)

( 2, 1)

(x 4xy dx) (6x y 5y dy)

 



Câu 2: CMR tích phân Dirichlet

0

s inx ( )

x





 

a Hội tụ đều trên [a,b] không chứa   0

b Không hội tụ đều trên [a,b] chứa   0

Câu 3: Tính các tích phân sau:

a 2 : [ 1,1] x [0, 2]

D

yx dxdy D 



C

z x y ds

 Trong đó C là cung đường cong xtcos ,t ytsin ,t zt, 0 1 2

Câu 4: Tính thể tích vật thể giới hạn mặt Paraboloit z12x2y2 và mặt nón z2 x2y z2,  0

Câu 5: Tính tích phân: 2dyd 2 2

S

x z y dzdxz dxdy

 Trong đó S là phía ngoài của biên của hình lập

phương 0x1; 0 y1; 1 x1