Sách gồm những câu hỏi ôn tập, bài tập ôn tập, câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 11 và bài tập ôn tập cuối năm
Trang 1
eee, Giai i tap
Giải tích 41
CO BAN VA NANG CAO
Trang 2
ˆ NHÀ XUẤT BẢN HÀ NỘI
Chịu trách nhiệm xuất bản
NGUYEN KHAC OANH Chịu trách nhiệm nội dung vé ban quyền
TRUNG TÂM VAN HOA TRANG AN
Biên lập nội dung
PHAM QUOC TUAN Trình hày bìa PHAM HUE
GIẢI BÀI T TARO BẢN VÀ NẴNG CAO GIẢI TÍCH II
In 1000 cuốn, Khe 1 6x24em, tai TT CN in — Cơng ty Khảo sắt và Xây dưng
Đăng kí KHXB số: 125-2011/CXB/207cTK-I0/HN
In xong và nộp lưu chiều quy 1I nắm 2011
CHUONG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§1 HẰM SỐ TƯỢNG GIÁC Bài tận
6} Y=lan| x 5 i 4) yreotan{ x42)
_ 3, Dua vio dé thicia him sé y = sinx, hay vé dé thi cia ham sy =| sinx |
4 Chứng minh rằng sin2(x ~ kr) = sin 2x wii mộ số nguyên k, Từ đĩ vẽ đẻ thị hàm số y = sin 2x
8 Tìm giá trị lớn nhất của các hầm số: &) y=2vCosx +1; b) x= 3 — 2sinx
9” Chứng mình rằng với mọi x ta đều cĩ: |°084⁄†Asin3x+l, 1~vI:3a”
0033X + 2 5 _ 10 Chứng minh rằng trang thọi A ABC, ta ludn cé:
Ú <sinA + sinH + sinC ¬~ sinAsinl3 — sinsinC — sinCsinA < 13,
(Trich dé thi -vao DH Ngoại thương - D, 1997) ,
1 Căn cứ vào đổ thị hầm số y = tan trên đoạn | 52) ta tìm được y = tanx,
a) tạnx = ðtại xe [=r„U.m}: h) tanx = 1 tại Sie yal’
¢) tanx > đ khi xe(_=-$]H[s “line:
NN Là d)tanx < đ khi 8T U af: |
2 a) Ham sé xac dinh khi sins #0 <> x +kr Vậy tập xác định vủa hàm số là D=Ex{krlkec ấ}
(I+eesx]}1~ seer) 20 cosx 20
h | -lscusxsl
Uj Hầm số xác định kú lay £0 Vậy hàm sở xác định với mọi x trừ x = kâm Vậy tập xác định của hầm sổ là
‘sinx với sinxz6
3 y= aing|= ae sỉnw với Sup?
Như vậy muốn vẽ đồ thị y = | siax | ta vẽ đồ thị y = sinx rồi giữ lại phan đồ thị vớ
sinx > đ, sau đĩ lấy đối xứng phần dé thi vol siax <0 qua trục hồnh Đỏ thị là:
ự ching minh duoc ham số y = sin2x là hàm sổ ruẩn hồn với chu kỳ T = mt,
¥ =sink cT~** t7 ~ T8 " äin2x ấy
vi, ] P
3 eS aN = hE +k2n (cất đổ thị hầm sf y = cosx béi Penna, ,
y= ee tt thì hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình cox =),
6 Dựa vào (hình 2) y = sinx > 0 th) x thude các khnảng sau (km; x +k2n),k c #
7 Dé thi ham sé y = cosx 1a
Vay GTLN y =3— 2sinx = Š khi sink = —l =© era Rea ed
cos3x tasin3x+1 xác định với mọi x hay D = ï,
00S3X +2
9 Hàm số y=
Bài tốn dẫn đến tìm miễn giá trị tủa Y
Ta 06 y(cos3x + 2)“ 0K3X ~ asin3x + I ©> (1 y)eos32x + asin3x = 2y — L
10, Chắc chin cd : sinA(] — sinB) + sinBU — sin€) + sinC(1~ sind} > 0
<> sinA + sinB + siaC — sinAsin — sin BsinC — sinCsinA > 8,
Ta cũng cĩ (1 ~ sinA)( — sinB)(1 — sinC) > 0
1 — sinA - sinB ~ sinC + sinAsinH + sinlisinC +: sinCginÄ — sinAsinBsinC 2 0
eo 1—sinAsinBsin€ 2 sin’ + sinB+ ainC — sinAsinB — simBsinC ~ sinCsins
&@>sinA + sinB + sinC - sinAsinB — sinBsinC sinCsinA < L, dpem
Và anes : Hướng dẫn giải ‘ 1
§2 PHUGNG TRINH LUGNG GIAC CO BAN : dd) cos*2x= „(83x 25;
Bài tập 1.8) sin(x +2)= -‹ Phương trình cĩ nghiệm là: 4 3
_3 Với những giá trị nào của x thả giá trị của các ham s6 y = sin3x và y = suax bản : § om 8 Nghiệm i của phương trình là x=„_ 1 â cả KE k~:T;% 8 zg ? | ;
v ? >
De ie: 2x FL =_+k—,ke# zl i Bey 8.Giải các phương trình a) eosx(x~l]=Š h) cas3x = cos12" e) sal 5 *)- a ca mg a 2 ae tm-Ttk2mcX=- +khÍk s2)
) (3s at 1 ® da(3x+20°)=- X2 ca shiƯx + 20") = sin( 60") Vay ta cĩ: Đđi chiếu với điểu kiện của phung mình, phương th số nghiệm là
0) cos} —=-— ‘=~; SN d) vos* 2x a == , 2 : ` x=~7 + kf(keZ)
|
aac dale an? EGP le +1080" 4 oy,
“4 Giải phương trình: == =0 2x +20° =180" = 60° 4360" ` {x=110~kl80! 5 a) Didu kiện của phương trình cos(x ~ 15°) #0
4 — sin 2X c Ũ
5 : a) (kee = cos(x — 13°) # cos 90" <> x — 15" 4 490° +k360"
các phưởng trình a} tan(x at; b) eot(3x -1}= V3; ahơx= de Tổng v, kân |= +ke a |xz ~75” « k360°
¢) cos2x tanx = 0; d) sin3x cotx = 0,
túi các giá trị nàn của x thì giá trị của các hàm số ¥ -wn( —) vay = an2x nhau?
Hii cic phuong tinh sau vé biéu dién nghitm inén đường trịn Hượng giác:
in3x — cosSx = 0; b) tan3x tang = 1
: yan
7 Ra Ome ey 3 (ke#
rat cRPR.£® | * an! }
— 1§ 3
tan(x=15' )= ` =am30° xá I-kI8f?, (K= #)
i h) Điều kiện của phương trình: sin(3x — 1} #0
©€>3x-l——+kmơẽ @€x=-+-—+k— (he &) x § x 3° 1B ky {ke &)
'6} cos2x tạng = | ane -y {isu kitn oda phuong trinh x + > a tke, ke E) _€0S2X = 0
Trang 3Sasa coe eS rne
Đối chiếu với điều kiện của phương trình x ¿ ke, xây họ nghiệm thứ nhất J + 3, 6, 9,
'Ta tích họ nghiệm: xe thành X= _ rkm,k € #; X~ ae
` 3 oa Vậy nghiệm của phương trình là:
vain, x=-T+kR, x~ 24mm (k,me 2)
3 ` 3 2
6, tan 2x = tant 2 a (1)
n1: 8 ' 2x32 tkx c9 xe +
Điều kiện của nhương trình: sf
Chai ý: Muũn đối chiếu nghiệm với điểu kiện của phương trình ta phải biểu điễn
chúng trên đường trên lượng siác để loại đi những cung nghiệm khơng, thậ mãn
điều kiện của phương trình
7 a) sin3x — cosSx = 0 <> cosSx = sin3Kx
Cũ5 3x z © KẾ ĐK
a cosx +0 Ke tke
sin3x sinx fan3x tanx =1 <> ==) & Ms
cos 3x cosx eos3x cosy ~ sin3xsinx = 0
Hình 5
>cus4x=f© X atthe ke a
8 4
_Biển điện nghiệm trên đường trồn lượng giác lu được 8 cung lượng giác:
AM, AM, AM, AM,, AM,.AM,.AM,, AM, |
Ba) sin'2x +cos"3x = | <> sin’2x = Ì — rog'Äx <<» sÌn 22x =sÍ 3K + sin2e = sind
2K=m+3.+kến x=-r+i2r 1 Giải phường trình; xin x — sinx = 0, Biểu điển các họ nghiệm trên ne trịn lượng, giấc; ta được nghiệm của phương
trình là: x aki kee
b) Lam tong ty nhu cay a)
cì L + sinx cos3x + sinx + cos3x = 0
[pos3x+I=0
<> (cos3x +1 )(sinx + Ụ =ử = len Sic
* costx +1 =O cos3x =-1
Zi
> cos3x = cose > kK eaptk sk € &,
3
# sinx + Í = sin = -l X=s + kến, E EZ
đỳsinx{l — cútx] —cos’x(1 — tanx)= 0
nu ki c 7” |eosx#0 keke bez, 2 Phương trình đã cha tương đương với phương trình :
„.1„ SIIX—0SN x_ £0SX — SỈn X sin’ 3 or x
Sin x €ũäX
<> (SỈnX ~ cosx)(sin’x + cos*x) = 0 <> sinx = cosx
<> lanx= foo x-tke.ke = (do cosx + {1}
2, Giai cic phuong trinh: a) 2cos”x — 3cosx + =0; bì 2sin2x +/2sin4x=0,
ˆ 3, Giải các nhương trình; a} sin? =~ 2en s+ 2=0; bìBcpsx 4 2sinx 7= 0:
co) Qtan’x + Hann +150; d) tanx + 2cotx +1 =0
4 Giải các phương trình:
a) 2sin’x + sinxeosx ~ 3cos?x = 0 b) 3sio*x ~ dyinxcosx + Seos"x = 2;
¢) sin? x ~sin 1x —2cos”x -4i d) 2cos?x - 33 sin 2x —4sin? x -—4,
§ Gili cic phuong trinh:
a cosx—V3sinx =/2; b) 3sin3x - 4oos3x = 5; c} 2sin x + 2cosx - V2 = 0:
e) 3sÌn x—v/3cosx = 2/5,
di) Scos2x + 12sin2x 13 =0;
đ Giải các phương trình sau:
# a) (an(2x + 1} + tan(3x — 1)= 1:
(4sinx — Scosx)’ — 13(4sinx — Scosx) + 42 = 0;
sin? x —4 sin xcosx t2 CHỦ xay €} colx — tans = sins + cosx; inx + cotx = 2sin2x + 1; (Irích để thĩ HV Ngân hàng — 2000)
Cho phương trình cos'x — sin’x =m a
kỹ
%
2} Tìm m sao cho phương trình (L) cĩ đứng hai nghiệm x = (=: ` |
(Trích để thi vào ĐHQG TP Hồ Chi Minh — A, 2000),
+ sinx — L =[ee si = Í c» xe~+2kx, kc Z
#sin2x =0 o> x=ki, ke,
#l1+X2c0x2x=Ú cos2x~—-EƠ <> x PEL thew; ke Ey
b} Phương pháp giải bài 3 là sử đụng sin' + cosˆx = 1 (đã học ở lớp 10) sau đĩ đặt t= siox hay t = cosx, với |1, < 1 và đưa phương rình lượng giác vẻ phương trình / bác hai đối với t, tìm 1 (ch nhận t thế mãn |3{ < l) san đĩ tìnt x
; Tí Sit EM: X=—+k2m K==—+k2
fan x = yer es area) + da, fe @,
4 Điều kiện x # k$œ ø ), Phương trình vơ nghiệm
d, Phương pháp giải bài tập 4:
„ Trước hết nếu thấy cosx = (x= dake, k © &) thoa man phương trình Ủủ
x “ + k là nghiệm của phương trình
s Nếu cosx — Ú, khơng thoả mãn phương trình tức là eosx # 0 Chỉa cá hai vế của phương trình cho cos”x, lá được phun trình bậc hai đố với tanx và ra để đầng giải nhường trình này
a) 28inƯx + sinwcosx — 3cosˆx = Ú Rõ rằng eosx œ Ú, chỉa cả a vế eat
5 Phuong trình của bài 5 là phương trình bậc nhất dối với ainx và casx, phương
` Bình này cĩ dạng: ssinx +bcoœx=c (1);a,b,cc;az0,b=0
Cĩ nhiều cách giải loại phương trình này, xin đưa re một cách giải: chia cả hai về
b i - của phương trình (1) cha a rồi đặt tan ma ta co:
sin + lano.cosx =~ © sinxcosa.t cosxsina = Sens
“8 easx~ ¥isinx=2 Dat ana = v3 mua
cos x cosa —sinxsine = V2 cosa
= ÍTHƯ VIÊN TÌi
Trang 4
7 a}, b) Hoe sink ur lam,
¢) Dat (4sinx — Sousx) = 1 voi? S47 + S*=41 dé phirmg wrinh có nghiệm
có hương trình ẩn t: Ủ — Lãt + 42 = 0 “6 ae t trình ẩn t: É — Lãt + ‡2 = Ũ <2 [ee Ề =7 (loa) 3
« Với t— 1, 1ñ có tăng = 1 <> x-2+kn, (kez);
& Với + “3 tod, taux =3 - x= aretin 2+ler, (keZ), 5
<> cos"s - sin"x — (SinK + cosx)sinxcosx = 0
<> (sinx + cosx}(cosx — sinx — sinxcosx) = 0
cosx =—sinx tay
=* SH) ong 2k2 (ke 2),
4 V2
h} 2sinx + cotx = 2sin2x +1 (1) (diéu kién sinx # 0; 8 # kn)
> Zsin*x + cosx = 4sin®xcosx + sinx e> 2sin®x sinx = 4in’xcosx — cosx
> sinx(2sinx — 1) = oosx(2sinx — 1}(2sinx + 1)
<> (2sinx — 13[sinx - cosx(2sinx + J)] = Ð
+2sint-l=0 © sinx=2 = xei tian, Kae + kom (ke th
e sinx — 2cosxsink — cosx = 0
a gixe| 2.2 Ehnả mãn (*) Vậy (1) có đúng hai nghiệm thưộc 32]
Di tan = 7 eee Mê trình trưng đương: Bs ctx = —1 (chile chia wing #6) = xan keD
sinx cosa —sinercosx = 2—>— ‘ Ta ¢6 phuong tinh: 1 +t-1=0 na
€SŸ— 3t+2m =0 (99) có đúng hai nghiệm thuộc [0x2]
64/41 ` in VI ng, 4 ậ : : , Sa oad
lê ae ag ee RE TTA? Re tins is Dealt nnẾo i i Ti (**) <> 2m=-t'+ 34,
10 SN 23440677 í +k2m {oosx - sinx)? $ (IẾ+ 1?(cos°x + sin x} c> < 2 (hoặc biến đổi ta cũng có điều này) w _ Ris “fs
i ei : =F _ -112V5 =-'+ vdi le 0: “đụ ~ -3g sc ages
e sin(x a) xã — 10 kee ĐAU ey tac tha <0» 145 cooasl x+ 5 ]= 1+vš vit = 6 2] <6 ra 30 + 3, acd bang hiến thiên
=T®-ñcsin—== + + k2n Vi cosx —sinxn =t <> (cosx = singh =t š 3 V4 2
lũ 3.41 d) cosx = ñ không là nghiệm của phương trình đã cho, nên eosx # 0, Chia ci hai về é ` j=
(eos? x—av/3 onsx +3}+{3tn* +23 tan x H)=9 " bề 0À 1 la kỹ út 0g! TH se? ng Œ): ris
tia vi (ins 20, Gidi các bất phương trình sau:
te fa ‘ 2cosx—xJ3 =0 Ý * n AMT Ngee “apsin’x + 6cus’x—1>0; b) tan’x + cote 22:
(2608-3) +(y3tanx+1) =05% | bì Hàn số y = tan x-:| có phải là hàm vớ lẻ không? Tại saa? 10, Phương trình 2tanx ~ 2catx — 3 = Ö có nghiệm thuộc khoắng &_ là:
TI Cin CỬ Vào đổ thị hàm số y.= sinx, thm những giá trị của x trên đoạn
10, Điều kien: sinne Š Ox “tên, xư TH tên, (k = 2)
'Ta có phượng trình tương đương:
: 2
‘Deos*x — 3cosx + ] = Ú; b) 25sinˆx + L5sin2x + Ocosfx = 25;
Ê) Zsìnx + coax = 1; d) sinz + 1,3corx = 0
By PC Vi eae tan 2x có sử nghiệm thưc khoảng a Tay” Slots 3 7)
nghiệm (H):3nghiệm; (C3 #nghiệm, (D): 5 nghiệm
ôm dương nhỏ nhất của phương trình: sinx + sin2x = cosx + 2cos3x là:
TL an Ree: t
rs Bh BỊ: —: - OF 2) ng “HS i=
ghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan?x + Stanx + 3 = 0 1a: 12, Tìm m để phương trình sau có nghiễm :
sẻ x a) 1 = cosx = m{sinx + 1): b) (2m=l)sin2~ o8 + Ì=m;
+
a) sin’x — 2c0&X = m: đ) cos”x — sÌnx + m = 0
13 Tìm k để phương trình san vô nghiệm : a) (k +L)sinx — keosx = 2k ; b) sin’x + 2cosx = 2k
14, Giai phuong tinh; tank + tanx + tan'x + colx + cot'x + col = 6
18 Giải phương trình: sin x +sinx+sin* x~cosx =1, {ích để thi [IV Quan hệ quốc tế, 1997)
T6 Giải phương trình : 1+sỈn” 2x +oos” 2x =sin4x
(Trich dé thi DH Gino théng, 1997)
17, Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; 27) cla phuong tinh ;
) =cos2x+3
cos 3x + sin 3X
Ss shee ( 1+2sin2x {Trích để thị đại học - khối A, 2002)
us Sap te gee COTES,
18, Giải phương trình : col x NT; Gne + sin? x—tsin 2X
2 (Trích dé thi vio dai hoc — khdi A, 2093)
19, Giải: cos*3xcos2x — cos"x = 0
{Trích để thi vào đại học — khối A, 2005)
24
f= ten x *),
f(-x)- un(-x+ 5Ì» tol x-F stan! n+] #-f(x),
` nén ham sé nay khêng phải la hầm sỡ lẻ
) Ca x tung = ) 2 2 hàm số y = sinx nhan gid wi bang -1,
BỊ Trên các khoảng { -r: 0}, (m, 2n) hằm số y = sinx nhận giá trị am
na) y =e {i+cos x) +1 GTLN y phu thuộc vào GTLN eta cosx ma GILN
Box = 1, suy ra CTLN y -V4+1-2+1=3 @ x=k2n, (ke 2)
Trang 5" peosx ‘ = | x =k2z; # cosx- Leo x=t2_—kam, ke a) 2 3 :
b) ® Với cosx = Ú, nghiệm đúng plxrơng trình đã chu, nén x= 5 km là nghiệm
- của pÏtrzng trình đã cha
ø Với cosx # Ú, chỉa cả hai vế của phương trình cho cos*x, ta duce phương trình
25tan°x +'3(Wanx 1 0= 25(tan°x + ]}
eosk =e x ~= SE skan, kee
6 Phuong án A dting, phuung trinb cesx = sinx c6 2 nghigm
Cá hi; Vẽ dé thị y = sinx và = cusx trên cũng một hệ trục tọa dộ Xết trên I—n; a] ta thay chúng có 3 giao điểm Vậy cosx = sinx có 2 nghiệm
Cách 2 : Từ phương winh cost = sink <> cosx ~ sink = 0
11.2) y = 12c0s"x — 2Ssinxensx + 12sin?x, Chấc chin cosx + (F nén ta 66+
_¥ 13 -2stanx +12tan2x-<> y(l + tan?) = 12uun?x — 25tanx + 12 cos’ x
l GTXN y =2= ae SGTLN y- 21582
{ et
Mee siix-cosxtl \ẾI „ Ệ
¥ e) Ade định với mọi giá trị của x,
% => 2y — ysiox = SỈnK - cosx + l
lò & 2y - 1 = (y + L)sinx — cosx *)
we ‘Dé dang ching minh bất ding thức sau :
lẻ dia, b,c, de 5 mì fab ted)? sta? 4+ c(h! + a
một đường thẳng song song với true hodah
Căn cứ vào để thị (i.8), ta thay PT đã chủ có
1 a bav5
a
Vậy phương trình võ nghiệm với k < hoặc k>—
hỳ Có nhượng trình tương đương; ~c0s'x + 2cosx = 2k — 1
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:
16 Có phương trình tương đương;
1+ {sin2x+ cos2x}{1 = SỈN2XCOS2K) = TP Ớ
Đật sín2x+ cas2x = t với |“ fi cindxcon2x = có phương trình tương
đương: lŸ + 3Ú ~ 3t~ 5 =0 &Ằ (I+UX3È+2t—~3)=0
re-t luc
Ki L 4%t-5=0 | Vanghiệm và |Ý pv : Ry 3
com =) 4) col ae sos 4 xk==+kr
Lee (thỏa mãn điền kiện) - xe: +ke
4
ft cos3x + sin3X
17 3! sinx + TT |= 008 1+2pin 2x 2x +3
xe TP Điều kiện: 1 + 2sinx z 0 =2 Sin2x # —— => kes
Biến đổi về trái:
cos3x 4 sÌn 38 sinx +2sinxsin2x+ cos 3x + sin3x
3 LG, Oe ee ye an nến ee
\-2sin2x 14 2sin2x
„3Ì 28x — cos3x+casix tsindx _ <(2sin2x+ D0 Duy,
I+2sin2+x 1+2sin2x
Scoss = 2oos2x+ 3 {+ 2p03?x 3coxx+2= 0
=> casx = 2 (leai} hoặc cose = xnti thin, kee, Vine (0 2m)
c> 2084 -SinK sinx
<> (cosx - sinx}(] — cosxsinx 4 in x) = ữ
ee aes
=cusx(cosx —sinx)+sinx(sinx —cosx)
_Í—sinxcusx +sin” x =Ứ #sSinx = cosx € LunX =] xe tt hn, Kez
= 1 —cusxsink + sina =0 > 1= shn3x +sin?x =0, vỡ nghiệm (wì VT là một số dương) vx
18 Phương trình đã cho tương đương với plhroiie trình:
6x +]
: THẾ nay — cos? x = 0¢> coséxcos2x + cos2n - {1 +cos2x) =0
+ cosixcos2x — 1=0 + cosSx+ cosdx -2= 0
| cas4x =1
c? 2cos 4x + cos4dx= 3 =0 3
cos 4x =—— (Iai) 3m
-®@cos4x= Ì © 4x =k2n ©> x=kŠ (kez)
20 a) Ca BPT tone duong: sin*s — Ginx +5>0 ©sinx < L;
Sesin’x +> 1 = sinx < | «+ đứng với mọi x
b) Xét higu: tan*x + cots — 2 = (tama — colxy’ 2 0
_ Dấu = xây ra khi tanx = cot > xo the, (k c#)
¢} 1 = cosx < tanx(] — coax) <> (1 - cosx}{l — Tang) < 0,
33
Trang 6
C6 hai hé BPP trong đương:
a wpa a0 cosx >] Pee ke te: : :
ø = => khong.cé pia tri nao cia x thoa man
đ) sin| J š —+x |>< | 3 (góc phụ hu ohau) hau} => k2m+—s—+xs4—+k2n REG RG ARE +
> kann eke <i thin Π=5)
CHƯƠNG II FỔ HỢP - XÁC SUẤT
§I QUY TÁC ĐẾM Bài tập
'3 Cae than pho A, B,C, D duge néi với nhau bởi các đoạn như hình 10 Hồi;
'8) Có bao nhiêu cách đi từ Ä đến D, qua B và C chi một lần?
tb) Có bao nhiêu cách đi từ Á đến D rồi quay lại A?
điïnh ¡0
da, vải và nhựa) Hỏi có bao nhiều cách chọn Xa chiếc đồng hở một kiểu
Xà một đây”
„ Một lắn có :10 học sinh đãng ký chơi ft nhất một trong hai mẽn thể thao: bảng
Xà bóng chuyển, Có 30 em đăng ký mớn bóng đá 25 em đăng ký môn báng tuyển, Hỏi có bau nhiều em đăng ký chơi cả hai môn thể than?
3 Từ cáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5 6 có thể lạp dược bao nhiêu số tự nhiên:
a) Béhon 100; sp có 66=36số —b) BA hom 1000; abe c6 6.0.6 = 216 86
nhau về riột chiếc đồng hé (ci kiéu mat va kidu day)
5, Số em học sinh chỉ đăng ký bóng chuyền ; 40 - 30 = 10
Sở em học sinh chỉ đăng ký chơi bóng đá; 40 - 2#= 15 Vay số em đãng kỹ chơi cả 2 môn là:
| = đăng ký một món; 23
§2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Bai tap
-1 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập cúc số gảm sáu chữ số khác nhau, Hồi:
_aỳ Uó tất cẢ bao nhiêu số?
'h) Cá bao nhiêu số chẩn, bao nhiều số ie?
_eì Cá ban nhiêu số bé hon 432 0007
2 C6 bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười phế kẻ
_ thành dãy?
-3 Giả sử có bảy bông hoa mầu khác nhau và ba cải lọ khác nhau Hỏi cố hao nhiệu cách cắm ba bông hoa vào ba cái lọ đã cho? (Mỗi lọ cấm một bông) _4 C4 bao nhiêu cách mắc nổi tiếp 4 hóng đền chọn từ 6 hồng đèn kiểu khác nhan?
ˆ Mỗi cách mắc là một thông tìn nào đó được xác định bởi số bỏng, kiểu của chúng
và thứ tự sắp xếp các bóng đền đồ - -8, Có bao nhiều cách cầm 3 bông hea vào 5 cái lạ khác nhau (mỗi lụ cẩm không quá 1 bông hoa)?
6 1rong mật phẳng, cho sấu điểm phân biệt sao cho không cớ bá điểm nào dâu hàng Hỏi cổ thể lập dược bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm
đã cho?
7 Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 4 dường thẳng song song với nhau và 5 đường thẳng yuông góc với 4 đường thẳng song song đó ? W', Hai dãy ghế dới diện nhau, mỗi dãy năm ghế được xếp ở hai b¿n một chiếc bàn Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho năm ban lớp À và nữun bạn lớp B sao ,
& Hãy đếm số các hình vông trong hình 11 2,6 12 Tp:
SO cdc hình vuông có cạnh dài 3 là: a) Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau?
15=5 b) Không có hai bạn cùng lớp nào ngồi đối diện với nhau hoặc cạnh nhau?
35 36
Số cách xếp chế theo yêu cẩu efla cảu ä là: 3.22(5HÊ = 921.600
Hướng dẫn giải 1 Cách làm gắn giống hài số 4 phản 1 (Quy tắc đếm) Hưởng dẫn giải
à : b) Nếu không có 2 bạn cùng lớp ngồi đổi diện hoặc cạnh nhau thị chỉ có thể ngồi
} Cố bao nh ) Ti D000 ah ! xen kẽ then sơ đổ sau: -1.{á+2b)` =C?a” + C18 "(2b)— C?n)(2h}) +Cja”(2b)' + Cfa(2h)" +Cƒj(2b}
a liêu lêu sỡ: 6! = 1.2.3.4.5.6 số; 6! = 1.2.3.4.Š.6 = 720 số = ! 8ð linh chứ nhật canh a; là ` 7 Mội lớp agồi số chấn, một lớp ngồi sở lẻ = Chủ” ~2ClhTb + 4CÍn b +§ClaÉb! + LáCSb? = 32C%"
bì Có bao nhiêu số lề: 3.(51) = =36 : i : Gene 5
) u số lẻ: 3.(51] = 3.120 = 360 số lẻ và 360 số chẩn Số hình chữ nhật cạnh a; là + Do đó sô cách sip xép La: 2(5!)° = 28.800 cach =a’ +1da*b+40a°b" + R0a “h” + 80ab” + 32h”
©) Có bao nhiên số < 432/000 Mỗi số cả đạng abodef , Sở lình chữ nhật cạnh a; + a; là Fe = re feat bs
as3 có: 3.445.121= 3.(5!)= 360 số 8# hình chữ nhật cạnh a; + a; là hs in
( k~u vẽ
a=4.h=3eó: 1.1-1321=31=6 số, Tổng số hình chi nhat cd là: 6.7 = 42 hình 1, Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-Irn:
Tổng số có 414 số: 8, Trường hợp 1: Lứp À ngồi bên trái, lớp B bên phải: A : ei ye Ca v2L¿z +24 ~2x esa eae Avaya +8C,
a) (a + 2hy; h (+ Seth lop eye lở (<3): =ñ" —6v2n` + 30a) — 40V/2a' + 6a! — 24 2a +8:
2 Có bao nhiều cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 khich vào 10 ghế kế thành đấy: 51 cách xếp hoc sinh lop A’ => C6(51)' wichxEp lop A&B ' |
Mỗi cách xếp là I hoán vị của 1ũ phần tử 3| cách xếp học sinh lớp 1, 2 Lm số hạng thứ sáu của khai triển nhị thức theo công thức nhị thức Nin-tơn (1) (- ¬Ì = xà Chal (xt) =k rx?
Vay 06; 10! = 3.628.800 cách xếp Trường heap 2: Lop A vẫn ngồi bên trai co 1 em di : a) ( 4, eee ve+4] : b) 1-2 : =Cix cl x! 4C2x? la Cl y? b4 T5 6 Pal)
3 C6 7 bong hoa miu khác nhau và 3 lọ khác nhan chuyển sang phải khi dé 1 em lớp B sang trái ở cũng vị ` x} a 1 i : " HN Bs a
: : Rs ) ‘ $0h an Cle aoe Ceca ck
Số cách lựa chọn 3 bong hoa trony 7 bong hoa la: C= 35 cach, trí đánh số thứ tự (giả thiết từ rên xuống) — Minh 3 Tim số hang thứ mười ba của khai triển nhị thức theo công thức nhị thức
: ; Meee ak ; w : 4 ages : |
Khi đã cá 3 bông hon lhác nhau để cắm vào 3 lọ khác nhau là 3!, Khi đó sẻ cách xếp chỗ cho cả Á và Blà: C;(5!} Niu-ton (1): (38 ' ⁄2) 4 =x! tay!) 7âx”-2R6x +715x ~1287x`+1716x ~1716— Vậy có C} 3! cách câm họa theo để bài ra Trường hợp 3: Lớp À vẫn ngồi bèn trái cho 2 cm dị chuyển Sun phái đổi chỗ cho 4 Xết xem số bụng thứ rnấy của khai iển nhị thức thee rông thức nhị thức 1 I 1 i 1 i
Dap si 31Ci = A} = 210 cach xã Blà: C‡(SUÊ fs : Nin-ton (1): (x + a không chứa x
4 Môi tín biệu là mội cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn lấy từ 6 báng đèn có chú ý Trường hợp 4; Cha 3 em của 2 lớp dổi vị trí g 3 S010 nã Gx~68 tats yo ng Laila sx cca 2 Cha Á “xe ni “dc ve) (x7) -) Cu as
đến thứ tự của bóng Vậy số cách mắc 4 bóng đèn trang 6 bóng đền có chú ý đến tương tỉng Œ}(SĐ° 9 4
Trường hợp $: Cho 4 em của 2 lúp đổi vị trí Jitể) Lai: nữ Giới vi
* Ba bông baa khác nhau, đáp số lề: ć = 60 (cách) Trường hợp 6: Cho 5 em của 2 lớp đổi vị trí tương ứng C‡(5U} o via {1+ vio) -{1—t0) Matic | Pegs Sa : ;
: F $ Số hạng thứ 6 ứng với k= Slà: T, =(-2)'Cj,y' =(-32).20949.y" =-651 168)"
6 Số các tam giác lập được là: C; = 20 Vậy với quy định lớp A bên trái có tất cả (CC +C; + C? +C; ~ C¡ +CŸ) 311 - :
Trang 7c} volts v10y" -(-i9}”] là 1 số nguyên
Taco: (+vid) "20%, +Ch 10+ Ci VI0 +0 V0 + C88 VO;
(I- V18) =c8, Cl, ¥10 +02, /10 - C210 + TO”
© peas: [lee si0)"™ thie) ale, iB ach AT.)
=2T0[C),, ‘C2, 104 40% 10" ], Nếu: i[t+.ip}” -(1-4/10) } le my +10 z Ca 105 ]
là một sổ nguyên đã chia hết cho 200,
§ 4 PHÉP THỦ VẢ BIẾN Cố Bài tập
Gieo mét con súc sắc hai lần
ä} Mlô tà không giãn mẫu;
'b) Phát hiển các biến cố sau đưới dang mệnh đề:
C= {(1.1), (22), (3), (44), (5.5).06/8)1-
3 Kiột hộp chứa 4 cái thẻ dược đánh số 1, 2, 3, 4 Lấy ngấu nhiên hai thẻ
a) Mo ta khong gian mau;
5, Ti một hộp chữa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1,2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh
số 6 mầu xanh vã các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 mau tang Lấy ngẫu nhiên mớt the
a) M6 t4 khong gian mẫu;
h) Kỉ hiệu À, H, C là các biến cổ sau:
Á: "Lấy được thể màu đô”)
B: “Lấy được thẻ mầu trắng”:
€: "Lấy được thé ghi sé chan"
Hữy biểu diễn các hiến cố A, B, C bởi các tập hợp con tong ting cila khong gian mau
6, Gieu một đồng tiển liên tiếp cho đến khí lần = tiên xuất hiện mặt sấp hoặc of bốn lần ngữa thì dừng lại
a) Xây dựng không gian mẫu:
tì) Xác định oác biến cổ sau:
` (I0 (52) (53) (34) G5) (5,6)
(61) (62) (63) (64) (6,8) (6.6)
bìBiến cổ: A=l[(6,L) (62) (6.3) (6.4) (6,6) (6.61
Biến cũ R=((2/6) (62) (3.5) (5,3) (4.43)
= Tổng sổ chấm là 8 trong 2 lần sisp
Hiến cố C=[(1,1) {22) (3.3) (44) (55) (6,6)
= IIai lắn gieo đều cùng được một số chấm :
3 Một hộp chứa # thẻ đánh số 1,2, 3,4 Lay ngdu nhiên 2 thể cùng một lúc
a) Không gian mẫu sẽ là: @ = {(1,2) (13) (14) (23) 341
bì Biến cố A = Tổng cc số trên 2 thẻ là chãn = { (1,3) (2,401
Biến cố Bñ= Tích các số trên 2 thẻ lã chăn = [{1/2); (14): (2,34 (2.4) GAL
4, Không gian mẫu là [A,Ä.,AA.,A,As;AiÃ: |,
Biến cố A: Khong ai ban tring ca: [Ay Ad |
Rién of B: Ci déu ban tring: [A,A,]
Biến cứ C: Có đúng một người bắn trúng: [áA„,A5; |-
Biến cố D: ñ nhất một người bắn trúng; A,A.A A.A, 3; |-
Š, Không gian mâu
= [(thé 1), (thé 2), (thé 3}, (thé 4), (thé 5), (the 6), (che 7), (the 8), (thẻ 9), (thẻ L0}
Biến cố A: 1.ấw được thé mau dd 9, = {(thé 1), (thé 2) (the 3), (the 4), thẻ 51}
Biến of B: T ay diene thé man ting: Q, = {¢thé 7), (thé 8), (thé 9), (thẻ 101]
Tiến cố C: Ly được thê ghi số chấn : 23;= {(thẻ 2), (thẻ 4), (thẻ 6) (thẻ 8), (thế 10)}
7 Không gian mẫu;
6 Không gian mẫu:
=I,ấn sien đầu xuất hiện 6 cham
B= ((2,0), (0,2), (3,5), (5,3), (4,4)): b} Mac dinh các biến cố:
4 TƯ "Bienes B= 1.6) (62) (33) G2) (4/91
43 44 45
- x "
PEERED ASS Cte 3 Một người chọn ngăn nhiên hai chiết pity từ bốn đôi giay cổ khác nhan Tính Tế
2l) @2) (23) (24) 23) xác suấi đ# hai chiếc chọn được tạ thành một đổi “1.a) Khi gieo con xúc sắc căn đối và đồng chất 2 lần ta có không gian mẫu:
jal tacts feos pres ` ` anal 5 fart) U21 GD 042 Q59, (6
(31) (3.2) (3.3) (3.4) 3.5%} 4, Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, Miếu con súc sắc hiện mặt b chấm a : es mm father 21⁄2 i rẻ
(5.1) (5.2) (5,3) (5,4) (5,3)} có 23 phản từ a) Phương trình có nghiệm; 4) 2 (3 4 (465) G8)
a : ; lệm; ˆ $1) 62 63 G4 GHD G6)
tiến có 06 A: Chil A: s6 lén sau lớn hưn lần lrước có: : Sh aS a Nae b) Phương trình vò nghiệm; bê ; sd vs Ns nộ “6D ¢ (62) C3) GH GHP Gs
= 4(1,2), (1.3), (1.4), (1.5), (2,3), (2,4), (2,5), (2.4), (3,5), (4.59) 06 10 phần nf, ©) Phuong Irình có nghiệm nguyn
|
t ree Ễ SỆ Lộ b Bign of A: Téng sé cham khong bé hon 10,
Biến cố B: Chữ số lắn trước gấp đôi chữt số lần sau: 5 Từ cỗ bài tú lơ khơ 32 con rút ngắn nhiên cùng môi lúc bốn con, Tinh xác suất \
d) Bich vỡ C: Hai chữ sở bà : Ệ :
OJ = {(L,1), (2,2), (3.9), (4.4), (5,59) -— có 5 phan ot, c} Được hai con 6t và hái cou K- 1 EN : viel '
4 Hai ban nam va hai ban uO được ngồi ngẫu nhiên vào bến ghế xếp thành hai ; is ji i 1
§ 5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CO dãy đối diện nhau Tính xác suất sau cho: 3, Có bốn tấm bìa như nhau được cánh số từ 1 đến 4 Rút ngẫu nhiên 3 tấm bide
Bai tap a) Nam, nữ ngồi đối điện nhau; th a nghĩa lấy cùng một lúc \
- Ciieo ngẫu nliên một cón súc sắc căn đới và đỏng chất hai lần h) Nữ ngồi đối diện nhau a) } Khong gian mẫn: {
ý mô tả không cian mẫu 1, Có hai hộp chứa các quả cẩu Hộp thứ nhất chứa đ quả cầu Wang, 4 qua cdu den, {( 2, 3), (1: 2: 4), q: 3: +), (349 1
Bee dat cde bien oh sau THập thứ hai chứa 4 quả cdu wang, 6 qua den Tir mai hop lay ngdn nhién mot qua bì Biến cố Á: Tổng các số trên 3 tấm bằng 8 | '
Ki hiệu: A Ta bien cố: "Quả lấy từ hập thứ nhất trắng”; {
A: "Téng sé cham khong bé hon 10"; , A= {0335 40)
B: "Mat 5 cham xuat hitn it nbdt mot lin", ˆ ` Biến cố B: Các số trên 3 tấm là 3 số tự nhiên liên tiếp
b) Tính xác suất san cha hai quả cầu lấy ra cùng màu ‘ CS bén tim hìa như nhau được đánh số từ † đến 4 Rút ngẫu nhiên ba tấm 3 3 & Chí: ý: Mỗi phẩn từ (a; b; ©) trong không gian mẫu chỉ ¿a 3 tấm tớ mật trong
iy md th khong gian mau; in tử này là a và b và c trong đó không cần 1ính đến thứ tự sắn xếp
3 Bi + Hai chiée gi vol if tit 4 doi giày cỡ khác nhau tạn thàn là một đồi
Trang 8
‘Ta cd: 4 cich chon ra hai shiés play dung ti vì có 4 đối và có €?- 8 — 28
cách chạn 2 chiết giày từ 4 đôi có cỡ khác nhau —P(A)< se:
|
~ Phuong tinh x? + by 42 = Océ ughiom á = bỶ 8 >0 mà b là số chăm xuất
hiên khi gieo con súc sic = dé pherong a thi b = 3, 4, 5, 6 (i thoả
2
3 mnÑn À >0 —= tỶ+ 8) — T(phương trình cú nghiệm) =— se
|
- Phương trình và nghiệm !chi i 1, 2
ee Trinh vỏ sai -
Phương trình có nghiệp nguyện khi b= 3
— P(phương trình cố ahi cet cote
5 Rut 4 con bai „hệ bãi tú by thocô 32 con,
=n Coon ds
Tacd €{=1 cach ira con là át Ì
i
— 7270 Paes THAI: 725 cách rút 4 enn bất kỳ => P(A)= Tư: it 4 ———-
~ Biến cỡ D : Được ít nhất một cun lái
và có C§=
=> Biến cũ B; Không được con át nào đối lạp với biển cổ H
Tacé: Ci hae Te cc 4 con kong econ atmo
= $6 cach xếp: cho 2 nữ và 2 nam ngồi đối diện nhau: |
“Nếu gọi 2 dãy ghế là dãy 1 và đây 2 thi:
+ Khi xếp cho 2 nữ ngồi day 1 va 2 nam ngồi dãy 2 thì số dày xếp là: 2! 2l =4;
+ Khi 2 nữ ngải dãy 2 vä 2 nam ngồi dãy 1 thì lại có số cách NÓ lã::2l.2!=4
Vây số cách để 2 nữ và 2 nam ngồi đổi điện nhau là: 4+ 4= iB
Với A là biến cố nam nữ ngdi đối điện nhau thí: P(A)=.-= st
1
- Số cách nữ ngói đối diện nhau (Lức là nam cũng đấi diện nlhau) T.ý luận cũng
nh ư trên sở cách để 2 nữ đổi diện nhau và nam cling phat déi diện nhau cling sé là
8 cdch Do dé bign cs B ny efing e6: PB) ear |
c} Mite suất để 2 bí khác râu :
* P(2 bi khde miu); PCA)P(B) + P[A)P() "In ee a 7 3
1 Phát hiểu quy tắc cộng, cho vi dy ap dung,
2 Phat hiển quy tắc cn, cho ví du ap dụng
3 Phan biệt sự kiiác Nhân giữa một chỉnh hợp chập * của n pẩn tử và tổ hop chap
b} Nam ngỗi 0N nhau |
6 Từ một họp chứa sấu quả củ trắng và bến quả cẩu đen, lấy ra ngẫu nhiên bốn quả (cùng một Iie) Tính xác suất sao cho: :
a) Bén qua liy tì cùng nan;
by C6 ít nhất một qua trang \
7, Gieo một con súc sắc ba lin Tính xác suất san cho mặt sắu ¡ch xuất hiện ít
-b} Đường chếo của lục giấp;
_e) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện lục giác,
Do, Gid sir A vA Bla ai bith od và PAIL f P02 P(A = : a) 4 vi B.có xung khắc không?
_b) Tĩnh P(AMB)
Bai tap trac nghiệm
10 Lấy bai con bài từ củ bài tũ lự khử 52 còn Số
Từ mút hộp chứa la quá cẩu trang va hai quả cầu đen lấy nsấu nhiến hai quả
“Xác suất để lấy được cả hai quả tráng là:
— 194780 48956 B; Bign e6 bi lay tirhop I là trắng — ; | Rec hears 2
Sor eee 8 ch lục giác để ABCDEH tết các chữ cái A, H, C D, E, Ï vào sáu cái
15189 Ụ : 3 meee | , ö một lục giác đều 1H, Viết các chữ cái À, H, C D, E, Ï vào sáu cái 15 Giso một đồng tiền căn đổi và đồng chất bốn lấn Xác suất để cả hốn lần xuất
Do đó PŒ)- iE ROE is y- ÿ Xác suất để 2 bị lấy ra từ 2 hộp cũng màn: / thẻ Lấy ngăn nHiên bai thế Tìm xu sual sao cho Goan thẳng mà các đẩu mút là mat tấp là
cu TÚI Diced 4c thon T42 bị cùng min) = PCAyPB) + PCA)PCA) = 6 a ` 6 Š: cúc rliểm được ahi trên bai thẻ đồ lệ Ề
Hưởng dẫn giải Các Tết thuận lợi cha biển cổ có ft nhất † quả cấu trắng là 209
: {Ø: 1; 3: 3; 4: 5; 6} với điều kiện sáu: Bài tập trắc nghiệm
1, Phát biểu quy tac cộng Cho ví dụ:
“Một công việc nào đó có thể tiến bãnh theo k phương ấn là Á., Á; A„„ Phương
n À¿ có thể thực hiện bởi nụ cách, khi dé cong vice có thể thực hiện bởi :
k
n.+Ty~ +my= 7n, cách."
š ist
Vi du: Ban A cd thé dién 1 loại thời trang dep trong 5 phương án là đội mũ-đẹp,
mic do dep, mac quin dep, di gidy dep di xc dap dep, Voi phuomg án mũ đẹp có 5
cach, do đẹp có 7 cách quản dẹp có ñ cách giày đẹp có 4 cách, xe đạp đẹp có 2
cách Thì việc điền thời trang bởi một loại đổ vật sẽ có: 5 + 7 L6 4+ 2= 24
cách
2 Phát biển quy tắc nhân Cho ví dụ:
"Một công việc nào đó bao adm k cong doan Ay, As Ay Ong doan A, cd thé
thực hiện bởi nụ cách Khi đó thực hiện k công đoạn đồ sẽ dược thực biện bôi:
k
Hy Ny Dạ = In, cách."
x
Ví dụ, Vẫn dùng ví dụ trên Bạn A dién thé trang voi ed 5 loal đổ vật trên
Ban A đội mũ đẹp có 5 cách Khi đã đội mũ đẹp rồi thì sẽ có 7 cách chọn áo đẹp
Vay có 5.7 cách chọn mũ, ác Với mỗi cách chọn mũ, áo thì sẽ có 6 cách chọn
quấn đẹp => Có 5.7.6 cách chọn mữ áo, quần đẹp Sny luận tương lự sẽ có
5.7.6.4 cáuh chọn mũ; áo, quần và giày Do đá để diện cả mũ, áo, quần, sity, và
xe đạp sẽ có; 5.7,6.4/2 = 1680 cach
3 Một chỉnh hop chap k của n phẩn tử và một tổ lợp chap k của a phần tử giếng
nhau ử chế đếu có k phần tử: Kbác nhau ở chỗ cá chú ý đến sắp xếp thứ tự (ở
chỉnh hợp) và không phăn biệt thứ tự (ở tẻ hợp)
4
Vĩ dạ: Chỉ đoàn số 5 cé 3 ban An, Binh, Lan} tong Ban chip hinh, Day la 6 hop
chập 3 của a phẩn tử Trong 3 ban đó nếu phân biết thứ tự thì An - Bí thư, Bình -
Phê bí thư, Lan là ủy viên han chấp hành thì sẽ là mot chinh hop chap 3 của n
€ lữ số d có 7 cách chạn Vậy có 6.7” = 2058 số, th) Các chữ số là khác nhau đèi một Lý luận tươi: tự như trên:
V Vậy xúc suất để nam nữ ngồi xen at dé lữ ngồi kế nhau là: Pee (A) S90 10
B) Nam ngồi cản nhau sẽ cố: 4 Gu (31) = L44 cách
V y xác suất cho biến cố lồ là nan ngồi cạnh nhau là: P(B)=2 => ‘
6 Hộp chỉ 6 quả cẩu trắng và 4 quả cầu den Lấy ra 4 quả cầu cùng lúc sẽ có:
a Ch=210 cach lay Dé 4 quả cầu cùng màu đen thì chỉ có một trường hợp thuận
li Để 4 qua cling mau trắng sẽ có; C}=: 13 cách lấy, Số kết quả thuận lợi là l6
C82,
đó xác suất ¿ủa biến cố Ä là 4 quả cẩu cùng màu sẽ là: ON Yo”
6) Trvttag hợp cd 1 qua màu trắng sẽ là: C1.C¿= 24; nrồig hợn có 2 quả màu trắng sẽ là: C?.C2 = 15.6 = 90;
ững hợp có 3 quả màu trắng sẽ là: C?.C)= 20.4 = §0;
Èng hợp có 4 quả màu trắng sẽ là: CfC) = 13
Vay xdc suất cho biến cổ l này Ja: Pf a
Nói cách khác lấy ra 4 qua cfin mi ft whet cd 1 qua cdu tring nghia JA chỉ rrù trường hợp có cả 4 quả mầu res Nghĩa là chỉ có l1 trường hợp bị trừ, Vậy số trường hợp thuận lợi là : 210 - | = 209 —> P(R =
7 Gico 1 con xúc sắc 3 lần Không gian mẫu gồm 6 = 216 keét quả Số lần không
Đại ani ca a NIL th aOR oa R= <a “i
Wa xdc sudt cho biến cố 2 thê đó din thang chi dutmg chéo ofa inc giác: Ben sẽ:
Xác suất chờ biến cố 2 thẻ dó là đoạn thẳng nữi 2 đỉnh đổi diện: Lưng cài ] ]
Trang 9CHUONG IL DAY 56 - CAP 86 CỘNG VẢ CẤP SỐ NHÂN
$1 PHUGNG PHAP QUY NAP TOAN HOC
eyo + Lin chia hét clio 6,
3 Chig minh véi moi x6 tu nhién n = 2 ta cd cde bat ding thitc:
b) Dự đoán công thức tính tổng 8 và chứng minh bằng quy nạp
5 Chứng mình số đường chéo của một đa thức lồi n cạnh là ” ie a
7 Cho ede day sd fx, }" fy, lá thou min ode diéu kign:
Xa mu — 3h Mae = 83 — Syn (oe vax, = y, +2
Chứng mình rằng x “= v, 1 2 vn> L,
Hướng, dẫn giải
1.8) Với n= 1 VT {vế tráu chỉ có một số hạng bằng 2
1+1 seit „Vậy đẳng thức đứng với n= 1
s Giả sử với n = } > 1, thì À„=kÌ+3kŸ + 5k : 3 (piá thiết quy tu
Ta phat chung minh Ay, ? 3
« Giá sử với n= k> 1 thì A,= 4` + 15k- 1 !9
Ta phai chimg xinh Ä,„, : 9 4
That vay tacd Ay, 4" + 15k + 1)-1= 44+ 15k 4 14
3,a) # Với n=3, VIũ=3'=9,VP=6+l= Bút đằng thức đúng với Re =1
# Giả sử hai đăng thức đứng với n= k* 2 lức là 3* + 3k + L (giả thiếT quy nạp)
Ta phải chứng núnh 3°" > 3k + L) + Í
Thật vậy 31 = 3,3! >- 3(3k + 1) (theo gid thiét quy nạp)
=#*>9k+3=3(k + 1] + 6k
=> 3h > 3Π+ lt 1 vik] 2
Suy ra 3? > 3n + 1 wih mei sé ty nhiền n 3 2
hỳ + Với n =2, VI=2l=8,VP=22+ 3=7 = §> 7 bất đẳng thức đúng với 8 = 2
« GIÁ sử bất đảng thức đứng với ä = k > 2, tức là 3*°! > 2E J- 3 (giả thiết quy nạp)-
Ta phải chứng minh bat ding dúng với n= k + 1, nghĩa là z0*0+1S2(+1) + 3
Thật vậy = 2 2'” > 2(2k + 3) (theo giả thiết quy nạp) niên
20t! >> 4k + 6> 2Œ t1) t3 (do k >2) Vay bất đẳng thức 2">2n+3 đúng với mọi số tự phiên n > 2
bì Í.2.3+2.3,4+3.4.5+ „1 nỀn 2 Đín+2)=n(e+I)(n +?2)(n+3) ` xong VT = VP ding, Vậy À,= n” + 3n” + ấn chia hết cho 3, với mọi n e N” ""12}Ì53 34 nin
= Giả sử công thúc đúng volo =» 3, ne th 6, =“ gee en ust ee Ae
Do dé dang thie da cho ching véi main c N ay ` nn+?)
18 phải chứng zainh (3) dúng với n =k + l, nghĩa là phải chứng mình: h) Hạc sinh tự làm nà, Ị dj u,= sinx + cnsn
7, Với n= 1: Hiển nhiên đúng theo giả thiết PM I ki
ụ" ä `
Vị fay §, eae nar nen (*) nh
‘Ta ching minh cong thiức này ve quy nap
+ Với n = 1 biển nhiên 8) = và peed
ll 2 Vay cing tic (*) dang wii a = a
+ Giả sử (*) đứng với n = k > l tức là 8 4 {giả thiết quy nạpì, Ta phải
chứng minh công thức đứng với n = k +1 nga là phải chứng minh:
® Với n= 3 thi Ẳ pide là một da giác là một rat giác nên số đường chéo hằng (,
VT=S,=t0 vp-2E se 0 Công thức đúng với m = 3
62
5 _@+Dík~!-3) VÁI 2 “ Thật vậy, không khó khăn lắm tả chứng rnình được một da giác lỗi n cạnh có sở đường chéo íL hưu số đường chén của đa giác lổi ñ +l cạnh là (n + 1 - 2) dường, chến
Vậy số đường uhéu đa piác lồi n canh là tp a i
6.a}* Khin=1, VT chi cé mội số hạng Ì 2 = 2
ve =F123 =2 Vay dẳng thức đã chữ đứng với n= 1
ø Đạt VT bằng S.„ giả sử đẳng thức ES với n = k > | nghĩa là:
8 =12+2.3« 34+, + kk+ 1= zie 1) + 2} (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng ching minh đẳng thức đã cho cũng đúng với n=k + Ï, nghĩa là:
Sy=124234344.4 (E+DŒ+2)= 2(k+Dc+ 23 9)
2 Thật vậy S,¡ =5, + (k + tk + 2) Theo sia thier quy nap: S, = Skk + 1Mk+2)
tiện ta có ! Š,.„¡ = deck +l)+2} +c+ 13k + 2)
é xi + Dfk+ 2+ 3ó + 1k + 291
63
® Giả sử bài trần đúng với n =k (k = 1} tức là x= y, + 2 La phải chứng minh bài
taán đúng vữi n = K + 1, nức là phải chứng mình %4)°= $14, + 2
“Thật vậy: gụy Ô = Ge? - Bad? = x Sy! + 9?
= (y, +2) - 6Ới +2} + Oy, +2}
=wWy)- ÂW,+ 2= Vi + 2 Bài toán được chứng mình
VT = VE vái n= 1 Vậy đẳng thắc đúng với n= 1
® Giá sử đẳng thức đúng sói ä =k > 1, dia lầu, = 3k — 4 (giả thiết quy nạp)
Trang 10'TA Phải chứng tính đẳng thức đúng với n= k+1, nghĩn là tuy = 3k +1) - 4
That vay: u,,) =u + 3= 3k —4 +3 (theo pia thiết quy nạp}
# Giá thiết công thức ding yin =k = 1, tie lh u, = /K+8 (gid thiét quy nap)
Ta phai ching minb u,,=vk 1118
a | gra
That vay, theo dé bai u,_, => = i+ ( views) (giả thiết quy nạp)
= mo (đpcm)
Vay cong thức u, =xin+8 đúng với mọi nz 1,
4, a) Dãy số u, = 1-2 là dãy số giảm thật vây :
|
I
Xi với mọi n c NỈ ta cá: nạ —n, =ạn~2“Íš-?Ì*~xaap t nin +} <0 Su,, <u sae
bì Dạy sé u, An là dãy số tăng, thật ì
g) Day 36 u, = (-1)" (2° + 1: -3, +5, -9, 17, | day sé khéng tang, khéng gia
Vay dãy số này không đơn điệu
Ts có: 0<u, <).Vy {u,) bị chặn
uạ=u,+2 + u=uạ+3 -0¿=u;+4
+ Giiả sử công thúc đứng với n= kel, tức là u, =1+——— (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng mình uy, ~14 2*DO+K + 3 +) =
kí +k) That vay: o,,, =a, tktlel+— keh
công thức này bằng quy nạp
ø Với n= 1, VF= 1u, =2 (e1), VT=] +22
Way vain = | cong thie ding:
* Giả sử công thức đũng với a = k, tức là uy, = | + 2 ˆ° (giả thiết quy nạp) Ta
phải chứng ininh n ¡ = | + 3191),
k-l
met oP ; +Í) 12-84 (đuợm)
„ Ta suy ra uy = Ì + 2", Ta ching minh
That vay u,_, =
68
vi ay công thức u,= L+ 2 đúng với n œ M”
Pi p= ite a1 +27
Tà có u,,, ~ 0, = 1+ 2°— (L+2°”)= 2*-.2'*= 241 -2}=— 220,
Vay tn <u, Yn N° Như vậy dãy sở đã cho là dãy giẩm
0,=1+2 > 1 vn ii nén day u, hi chan đưới
§3 CAP SO CONG
Bài tap Dông xu: của nó, hiết: abu, =5—-2n, - b) U=2=li
c) t„= 31; h d) u, cá an
4)
uy =a, +u, 16 “uy—u,=8
4 VI; =Tã
g dé co thé tim được các đại lượng cồn lại”
Lập bảng theo mẫn san và điển số thích hợp vào ở trống
4, Mat sin ting hột của một ngói nhà cao hơn mặt sân 0,5m
Câu thang đi từ tng một lên tầng hai gồm 21 bạc, mỗi bậc cao 18cm
a) Viết cũng thức dễ ñm độ can của các bậc tùy ý sa với mặt sắn
bỳ Tính độ cao của sàn tổng Hai sơ với mặt sản
5 Từ D giờ đến 12 giờ trưa, đồng hổ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh
chuông báu số giờ?
6”, Tìm sự liên hệ giữa a, b, c dé PT: x* + ax” + bx + e = Ú cũ 3 nghiệm lập thành
CSC (CSC: cấp số cộng)
7 Giả các PT sau; !
82+5+8§+ +x=1355, b) (x~- |) +(x~ 3)+ Sài (x -27)= 70
8, Tìm tổng tất cả các số có hai chữ số, không chia hết cho 3 vA cho 5
9 Tìm CSE biết tổng bốn số bạng đầu bing 68, téng bén số hang “tae
~ 36, ting tit ca cdc sé hang bang 68
10 Tổng n số hạng đầu căn CSC bằng nữa tổng ä số bụng tiếp theo, Tầm tỉ số của
tổng 3n số hạng đầu với tầng n số hạng đầu của CSC đú
11 Tùn a để phường trình cosx = a có các nghiệm lập thành C$C
Bh, = Pye SEN PU, =U = rege +3
Way uty số (u„) không phải là một cẩn số công
` d) u, = T-ần 5 Ha ng 7-34n-l) Iũ—*n
7T-ẩn ilŨ-3n _ 3 Ú¿—U, ,= TH
| Vay (u,) efing là muội cấp số cộng với =:2 đ =
ạ— uy =10 u, —u +2d}+u, +4d= 10
"
cine uy + a + 5d 5817 u,+2d=10 ze tị = lồ
= 2u, + 5d-17 =¬
bì My —U =Ñ u, +4d—(u, + 2d)=8 (1) 0;.U„ =5 (u,~đ)(u, + 6d) = 73 (2)
Ly nh ihr REA AS faces patel?
Way lá có hai cấp sỡ cộng thoả mãn bài toán: | gent bộ :
Cụ thể là: + 3, 5, 7,
$17,415, =13, 3 4.a)ne,=n +{n-l)d (e200) ˆ '
g, = Meta) (2)
Trong mối liên hệ của 5 đại lượng uị, d, n, tụ, 8, biểu diễn hơi bai công thức cơ ban ten Chang hạn, ở công thức (1}
Mufn tính u„ phải biết uạ d, n kiuốn tính u, phải biết u„, d n
Như Yậy muốn tính một trong năm đại lượng trên phải biết ít nhất ba đại lượng,
ä, Số tiếng chuông điểm trong mỗi giờ (loai chuông chỉ đánh chuông báo giờ) từ giờ dến l2 giờ trưa ta có dãy số sau; i
1, 2,3, ., 12 Daly 50 nay 1A mot cip sé cong o6 uy, =1,d=1, Wa= 12 n= 12
Tổng số tiếng chuông đã đánh từ giờ đến 12 giờ trưa chính là 5¡;
AT Uys)
5,5 =(I+l2).6 = 78 (tiếng chưỏng)
§ Gọi các nghiệm là xạ < xạ < X; Ta cố + xị, X¿, xạ The định lý Viet cha phương -
_ 8uy ra xị và x, là nghiệm của phương trình: ae - M7 + ~ 2-0
Í Phương trình này phải cổ hai nghiệm khác nhau nén: A’ > 0 => sứ +3b}>0
- Mặt khác x; là một nahiệm của phương trình đã cho, rên: