Lúc đó tìm 1 cơ sở cho Imf và Kerf.. Tìm biểu thức của h... Kiểm tra A cĩ chéo hĩa được trên Q khơng?. Nếu được thì biểu diễn dạng chéo cho A và tính Ak k nguyên k>1 bằng phép nhâ 2 ma t
Trang 11 BÀI TẬP ÁNH XẠ VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 1) R2 ,R3 và R4 có các cơ sở chính tắc lần lược là , , Xét fL(R3 ,R4) và gL(R2 R3) với
,
[ ]g
= A và f(u,v,w) = (u-2v+3w,3u+v-w,4w-2u-3v,5u-3v+5w),(u,v,w) R3
a) Tìm một cơ sở cho Im(f) và Ker(f).Khi nào = =(a,b,c,d) Im(f) ? f có đơn ánh không ?
b) Viết B=[f] , và C=[f g] 0 , rồi tìm biểu thức của g và fog.
c) '={ =(-3,2);1 2(5,1)} '={ ( , 1 1 2 2 , ),2( ,3 2 3 , ) (2,-3,3)}3 là các cơ sở của R2 và
R3 Viết các ma trận D=[g] ', ' E [ ]g ', G [ ]g , '
d) Cho h L(R2 R3) có [h] ', ' H
Viết K=[h] , rồi tìm biểu thức cho h
2) Cho , ' như bt1 và m là tham số thực Xét f , h L(R3) có :
f(u,v,w)=(u+3v-3w, 2u+v+w, (3m-1)u+(m+3)v+(2m-6)w) (u,v,w) R3
và [ ]h '
a) Viết [f] ;[f] ;[f] ' , ';[f] ', ?
b) Tìm m để f không song ánh Lúc đó tìm 1 cơ sở cho Im(f) và Ker(f)
c) Viết [h] ;[h] , ';[h] ', Tìm biểu thức của h.
d) Cho m = -2 và g = 2f – 5f2 +3IdR3 Viết [g] ;[g] '.Tìm [f ]-1 và biểu thức của f -1
3) Xác định Kerf và Imf cho các ánh xạ tuyến tính sau :
) : [ ]
( ) ( ( ), ( ), )( ))
) : ( ) ( )( )
( ) ( )
k
x
3
1
) : ( ) ( ) ( ) ( ) ) : ( ) ( )( )
x
a b
c d
1
0 2
Trang 22 BÀI TẬP KHƠNG GIAN EUCLIDE 1) Cho khơng gian Euclde (V,<|>) , TL(V) và a, bV
a) Chứng minh | ||a|| - ||b|| |||ab|| , ||a + b||2 + ||a-b||2 = 2(||a||2 + ||b||2) , ||a + b||2 - ||a-b||2 = 4<a | b>
b) Giả sử <a | c> = 0 c V Chứng minh a =
c) Giả sử <a | c> = <b | c> c V Chứng ming a = b
d) Giả sử <T(c)| c> = 0 và <T(c)| d> = <c |T(d)> c d V, Hãy xét <T(c+d) |(c+d)> để chứng minh T=
2) Cho (V,<|>), H K V, & ,A B V thỏa A B Chứng minh :
n
R R
3) V=R4 với tích trong thơng thường Cho V & W V Tìm một cơ sở cho W và W
( , )
W
Tính pr và d W
4
1
4 3 1 4
t u w v
4
2 9 3 9
4) Tìm a, bR để mỗi giá trị tích phân dưới đây nhỏ nhất, và tính các giá trị đĩ:
x
x
d) (x-asin2x-bcosx) x e) ( -ax-bcos2x) x f) (e ) x
1
2
Trang 33 BÀI TẬP TỐN TỬ VÀ MA TRẬN CHÉO HĨA.
1) Cho c F \ { }, , ,0 A B Q M F n( ) với B khả nghịch Đặt P A C B AB D BAB t, , ,G cA
Chứng minh rằng :
n
H K
b Nếu H BQ và K QB thì p x p x
1
2) Cho fL Vn( ) và c là một giá trị riêng của f trên F
c
và (c) là một giá trị riêng của g trên F.Suy ra nếu f chéo hĩa được trên F với
p x x c thì g cũng chéo hóađược trên F và p x x c
Cho ví dụ để thấy E c f ØEg( )c
( ).Chứng minh c 0,En E
nếu f chéo hĩa được trên F với
p x x c thì h cũng chéo hóađược trên F và p x x c
3) Cho fL R( )3 Kiểm tra f cĩ chéo hĩa được trên R khơng? Nếu được thì biểu diễn dạng chéo cho f: ) ( , , ) , ( , , )
a u v w R f u v w3 (13u+2v-8w,6u+2v-4w,18u+3v-11w)
) ( , , ) , ( , , )
b u v w R f u v w3 (4u-2v-w,2u-2v+2w,4u-13v+2w)
) ( , , ) , ( , , )
c u v w R f u v w3 (u-2v-2w,4u+4v-4w,u-v-2w)
) ( , , ) , ( , , )
d u v w R f u v w3 (19u-5v-6w,25u-112v+4w,17u-5v-4w)
4) Cho AM Q3( ) Kiểm tra A cĩ chéo hĩa được trên Q khơng? Nếu được thì biểu diễn dạng chéo cho A và tính Ak (k nguyên k>1) bằng phép nhâ 2 ma trận: