Đề chính thức MÔN THI: TOÁNThời gian làm bài: 150 phút Thí sinh làm tất cả các bài toán sau đây: Bài 1: 4 điểm Phân tích đa thức thành nhân tử: 1.. Tính giá trị của biểu thức: Bài 4: 4 đ
Trang 1(Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Thí sinh làm tất cả các bài toán sau đây:
Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
1 4x2 – 8x + 3
2 x2 – y2 + 10 x – 6y + 16
3 x5 + x + 1
4 a (b2 – c2) + b (c2 – a2) + c (a2 – b2)
Bài 2: (5 điểm)
1 Xác định hệ số a, b sao cho đa thức: x4 + ax3 + b chia hết cho x2 – 1
2 Cho biểu thức:
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của x để P = 1
c. Tìm các giá trị của x để P > 0
Bài 3: (4 điểm)
1 Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
2 Cho và x, y, z khác 0 Tính giá trị của biểu thức:
Bài 4: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm đối xứng là điểm O trên đường
chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung điểm của
AM Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC Chứng minh rằng:
1 Tứ giác HEKC là hình chữ nhật
2 OM // CM
3 HK // AC
4 Ba điểm M, H, K thẳng hàng
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A Điểm E nằm trong tam
-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN NĂM HỌC 2006 - 2007
Trang 2(4 đ)
1
2
3
4
4x2 – 8x + 3 = 4x2 – 2x – 6x + 3
= 2x(2x – 1) – 3(2x – 1)
= (2x – 1)(2x – 3)
x2 – y2 + 10x – 6y +16 = x2 + 10x + 25 – y2 – 6y – 9
= (x2 + 10x + 25) – (y2 + 6y + 9)
= (x + 5)2 – (y + 3)2
= (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3)
= (x + y + 8)(x – y + 2)
x5 + x + 1 = x5 – x2 + x2 + x + 1
= x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= x2(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x3 - x + 1)
a (b2 – c2) + b (c2 – a2) + c (a2 – b2) =
= a (b2 – c2) + b(c2 – b2 + b2 – a2) + c (a2 – b2)
= (b2 – c2)(a – b) + (a2 – b2)(c – b)
= (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c)
= (a – b)(b – c)(c – a)
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5
0.5 0.5
Câu
2
(5 đ)
1
2
Thực hiện phép chia đa thức x4 + ax3 + b cho đa thức x2
-1 ta được thương là x2 + ax + 1, số dư là ax + (b + 1)
Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi x
Do đó: a = 0 và b + 1 = 0 Vậy: a = 0 và b = - 1
a
=
b ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ - 3; x ≠ ± 2
P = 1 <=> = 1 <=> x + 4 = 6 <=> x = 2 (không thỏa mãn)
Vậy không có giá trị nào của x để P = 1
c P > 0 <=> > 0 <=> x + 4 > 0 (vì 6 > 0)
<=> x > - 4 (và x ≠ 0 ; x ≠ - 3 ; x ≠ ± 2)
1
0.5 0.5 0.5
1
0.5 0.5 0.5
Trang 33
(4đ)
1
2
a3 + b3 + c3 – 3abc = a3 + (b + c)3 – 3bc (b + c) – 3abc
= (a + b + c){a2 – a(b + c) + (b + c)2} – 3bc (a + b + c)
= (a + b + c) (a2 – ab – ac + b2 + 2bc + c2 – 3bc)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a3 + b3 + c3 = 3abc
Vậy: A = xyz = 3
0.5 0.5
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5
Câu
4
(4 đ)
1
2
3
4
2 2
I 1
1
B
E
K
O
M H
C D
A
Ta có: => tứ giác HEKC là hình chữ nhật (vì
có 3 góc vuông)
Gọi I là giao điểm của HK và CE, O là giao điểm của
AC và BD
Ta có: OM là đường trung bình của ACE Vậy: OM // CE
Ta có: = (góc đồng vị) (1) COD can tại O; CIK cân tại I
Do đó: = (2)
= (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : = Vậy: HK // AC
Xét ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I của
CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung điểm của AE, tức đi qua điểm M
Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng
Hình vẽ 0.5
0.5
0.5 0.5
0.5 0.5
0.5 0.5
Trang 4K
E
C
B
A
Trong ABC lây điểm K sao cho
⇒ KAB = EAC (c – g – c)
Do đó: AK = AE ⇒ AKE cân tại A = 900 – 2 150 = 600
Nên AKE là tam giác đều
Mà = 3600 – (1500 + 600) = 1500
⇒
Ta có: BAK = BEK (c – g – c)
⇒
Vậy: = 600 + 150 = 750
Hình vẽ 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5