Một số bài toán th ờng gặpBài 1.
Trang 1Một số bài toán th ờng gặp
Bài 1 Chứng minh rằng: a = b = c nếu:
2
)
+ + = + +
Hớng dẫn:
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
a b
b c
⇔ − + − + − =
− =
⇔ − = ⇔ = =
− =
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
a b
b c
− =
⇔ − = ⇔ = =
− =
⇔ + + = + +
Theo câu (a) ⇒ = =a b c
Bài 2 Tính giá trị biểu thức : a4+ +b4 c4 biết rằng a + b + c = 0 và:
a a) 2+ + =b2 c2 1 b a) 2+ + =b2 c2 2
Giải:
( )
2
2
Mà ta có: a b c+ + = ⇔0 a2+ + +b2 c2 2(ab ac bc+ + ) =0
: 2 2
⇔ + + = − + + = −
( )
2
1 4
1 2
4
ab ac bc
2 2 2 2 2 2 1
4
a b a c b c
⇒ 4 4 4 ( 2 2 2) 2 1 1
1 2
4 2
a + + =b c a + +b c = − =
Câu b) làm tơng tự : ta có kết quả = 2
Bài 3 Cho a + b + c = 0 Chứng minh a4+ +b4 c4 bằng mỗi biểu thức sau:
a) 2(a b2 2+b c2 2+a c2 2)
Giải:
a) Bình phơng hai vế của a + b + c = 0 ta đợc
⇒ + + = − + +
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc
a + + +b c a b +a c +b c = 4(a b2 2+a c2 2+b c2 2+2abc a b c( + + ) ) =4 a b( 2 2+a c2 2+b c2 2)
Suy ra : a4+ + =b4 c4 2(a b2 2+a c2 2+b c2 2)
Bài 4 Cho x + y = a và x.y = b Tính giá trị của các biểu thức sau theo a, b
a x) 2+y2; b x) 3+y3; c x) 4 +y4; c x) 5+y5
Trang 2Giải.
2 2 ( )2 2
b x) 3+y3 = +(x y x) ( 2+y2)−xy x y( + )=a a( 2−2b)−ab a= 3−3ab
4 4 ( 2 2)2 2 2 ( 2 )2 2 4 2 2 2 4 2 2
Bài 5.a) Cho x + y =1 Tính giá trị biểu thức: x3+y3+3xy
b) Cho x – y = 1 Tinh giá trị biểu thức: x3− −y3 3xy
Giải
( )3 3 3
c) Câu b làm tơng tự (ĐS = 1)
Bài 6 Cho a b c 1
+ + + chứng minh rằng:
0
Giải
Nhân cả hai vế của a b c 1
+ + + với a + b + c ta đợc
a2 a b c( ) b2 b c a( ) c2 c a b( )
a b c
Nên a2 a b2 b c2 c a b c
b c+ +a c + +a b+ = + +
⇒ a2 b2 c2 0
Bài 8.Cho 1 1 1 1
a b c+ + =a b c
+ + Chứng minh: 2009 2009 2009 2009 2009 2009
Giải
Từ 1 1 1 1
+ + ta có:
+ +
+ +
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0 0
0
a b
a c
⇒ + + + + =
⇒ + + + + =
⇒ + + + + =
+ =
⇒ + + + = ⇒ + =
+ =
Nếu a + b =0 ⇒ = − ⇒a b a2009= −b2009
Ta có: 20091 20091 20091
−
Và 2009 20091 2009
+ + 2009 2009 2009 2009
Suy ra điều phải chứng minh
Nếu b + c = 0; a + c = 0 ta chứng minh tơng tự
Trang 3Bài 9 Chứng minh nếu ba số a, b, c thoả mãn : a + b + c = 2010 và 1 1 1 1
2010
a b c+ + = Thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2010
Giải
Theo bài ra ta có: 1 1 1 1
a b c+ + = a b c
+ + biến đổi tơng tự bài 8 ta có
0 0 0
a b
a c
b c
+ =
+ =
+ =
Nếu a + b = 0 mà a + b + c = 2010 suy ra c = 2010
Nêu a + c = 0 mà a + b + c = 2010 suy ra b = 2010
Nêu b + c = 0 mà a + b + c = 2010 suy ra a = 2010
Bài 10 Cho x, y, z thoả mãn : x.y.z =1; x y z 1 1 1
+ + = + + Tính giá trị biểu thức: P=(x19−1) ( y5−1) (z2010−1)
Giải: Từ x y z 1 1 1
+ + = + +
xy xz yz
xyz
+ +
⇒ + + − − − = ⇒ + + − − − + − =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0
1 0
x
z
⇒ − + − − − − − =
− =
⇒ − = ⇒ = = =
− =
Do đó P = 0