DE THI HSG+DA TOAN 8

Cho hình vuông ABCD và một điểm E tùy ý trên BC qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt tia CB và tia CD lần lượt tại Q và F, AE cắt CD tại Q a Chứng minh: AE = AF b Trung tuyến A

PHÒNG GD&ĐT TAM NÔNG

VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 2009-2010

MÔN: TOÁN 8

ĐỀ SỐ 3 Ngày thi: 09/04/2010

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x - 11x + 30x b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z

Bài 2 Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0

z

1 y

1 x

1





Tính giá trị của biểu thức: A x2 yz2yz y2 xz2xz z2 xy2xy













Bài 3 Cho hai số thực x, y thoả mãn x3  3xy2  10 và y3  3x y2  30

Tính giá trị biểu thức P = x2 y2

Bài 4 a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

2 2

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài 5 Giải phương trình:

1004

1 x 1986

21 x 1990

17 x













b) x 2009  x 2010  1

Bài 6 Cho hình vuông ABCD và một điểm E tùy ý trên BC qua A vẽ một đường

thẳng vuông góc với AE cắt tia CB và tia CD lần lượt tại Q và F, AE cắt CD tại Q

a) Chứng minh: AE = AF b) Trung tuyến AI của AEF cắt CD tại K Chứng minh: AKF CAF c) Chứng minh rằng: 2 2

AE AQ không phụ thuộc vào điểm E

Bài 7 T×m x, y biÕt : ( 2x - 5) 2008+ ( 3y + 4)2010 ≤ 0

Họ và tên thí sinh: SBD:

(Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm).

ĐÁP ÁN

Baì 1 b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z

=4xy - ( x + 2yx + y ) + (2xz + 2yz ) - z

=(2xy) - [( x + y) - 2z(x + y )+ (z)]

=(2xy) - (x + y - z )

=(2xy - x - y + z)( 2xy + x + y - z)

=(x + y + z)( x +y - z)(x + z - y)(z - x + y)

Bài 3 Ta có: x3  3xy2  10 => x3  3xy22  100 => x6 6x y4 2 9x y2 4  100

v y3 3x y2  30 => y3  3x y2 2  900 => y6  6x y2 4  9x y4 2  900

Suy ra: x6  3x y4 2  3x y2 4 y6  1000 => x2 y23  1000  x2 y2  10

Bài 4 b) Với mọi số nguyên dương n ta có:

3n 2 2n 2 3n 2n

   = 3n 2 3n 2n 2 2n

   (0,5đ) =3 (3n 2 1) 2 (2n 2 1)

   (0,75đ) =3 10 2 5 3 10 2n n n n1 10

= 10( 3n -2n) (0,5đ)

Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n

    10 với mọi n là số nguyên dương.(0,25)

Bài 5 b) x 2009  x 2010  1=> x 2009  2010  x  1

Ta l¹i cã x 2009  2010  x x 2009  2010  x  1

1 2010

x  (x - 2009).(2010 - x)0  2009  x  2010

VËy x 2009  x 2010  1 2009  x  2010

a) Dễ thấy ABE = ADF (g.c.g)  AE = AF (1)

b) Từ (1)  AEF là tam giác vuông cân  trung tuyến AI

đồng thời là phân giác   1  0

2

Do ABCD là hình vuông  FCA 45   0

Xét hai tam giác AKF và CAF có:

KFA (chung)

FCA FAK  ( = 450 ) Vậy: AKF CAF

c) hai tam giác vuông DAF và AQF có QFA chung

 DAF AQF (g.g) Suy ra: QFAFADAQ  AF.AQ = AD.QF

Bình phương hai vế: AF2.AQ2 = AD2.QF

2

AF AQ AD

QF

AFQ vuông tại A, Theo định lí Pitago: QF2 = AF2 + AQ2

Do đó:



Mà theo a) ta có: AE = AF  2 2 2

AE AQ AD (không đổi)

AE AQ không phụ thuộc vào điểm E

Q K

I

G

E

Bài 7 * Theo tÝnh chÊt luü thõa bËc 2 ta cã: ( 2x – 5)2008≥0 ( 0,25 ®iÓm) (3y + 2x )2010 ≥ 0 ( 0,25 ®iÓm)

=> ( 2x - 5)2008 + ( 3y + 4)2010 ≥ 0 (1) ( 0,25 ®iÓm)

* Mµ ta cã (2x -5)2008 +(3y+4)2010 ≤ 0 (2) ( 0,25 ®iÓm)

* Tõ (1) vµ (2) ta cã : (2x -5)2008 +(3y+4)2010 = 0 ( 0,25 ®iÓm)

 2x-5 = 0  x = 5/2 ( 0,25 ®iÓm)

* VËy x= 5/2 vµ y = -4/3 ( 0,25 ®iÓm)