HÌNH HỌC ÔN THI ĐH

Bài 4: Lập phương trình đường thẳng qua điểm P2, -1 sao cho đường thẳng đó cùng với hai cạnh của tam giác.. Tìm toạ độ đỉnh C ; Viết phương trình đường thẳng qua C và không có điểm chung

ĐƯỜNG THẲNG

Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình tổng quát của đường thẳng( a) trong các trường

hợp sau:

1 (a) đi qua điểm A(1, -2);và a cắt Ox tại B sao cho OB= 3 (đvđd)

2 (a) cắt trục Ox tại M(4a, 0) và cắt trục Oy tại N(0, -3a) và diện tích OMN bằng 6(đvdt)

3 (a) đi qua điểm E(3, -4) và (a) hợp với Ox một góc 60.

4 (a) đi qua điểm A(a;a+1) và song song với đường thẳng 2x + y + 3 = 0 và OA=1.

5 (a) vuông góc với đường thẳng (b): 2x – 5y – 1 = 0 tại B thuộc (b) và hoành độ B bằng

3

Bài 2: Cho tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh là: M(-1, -1), N(1, 9); P(9;1),

1.Viết phương trình các đường trung trực của ABC

2.Viết phương trình đường thẳng cắt Ox ; Oy tại U ; V sao N là trung điểm của UV.

Bài 3: Cho tam giác ABC đỉnh A(2, 2) , biết rằng 9x – 3y – 4 = 0,

x + y – 2 = 0 lần lượt là phương trình các đường cao kẻ từ B và C

1.Viết phương trình các đường thẳng (AB) , (BC).

2 Gọi H ; E là trực tâm ; chân đường phân giác trong của tam giác ABC viết phương trình đường thẳng (HE)

Bài 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4, -5) và hai đường cao có

phương trình là:5x + 3y – 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 ,vàviết phương trình đường thẳng (a) qua B sao cho khoảng cách từ trực tâm của ABC đến (a) lớn nhất

Bài 5: Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5x – 3y + 2 = 0, các đường cao qua đỉnh A và

B lần lượt là 4x – 3y + 1 = 0; 7x + 2y – 22 = 0.Viết phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba; Viết phương trình đường thẳng(a) là đối xứng của AB qua góc O

Bài 6: Cho biết ba trung điểm ba cạnh của tam giác là M

1 (2, 1); M

2 (5, 3) và M

3 (3, -4) Hãy lập phương trình ba cạnh của tam giác đó ; và phương trình đường thẳng (a) đối xứng của (Ox) qua M(2;1) (đề 72)

Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ cho tam giác với một cạnh có trung điểm là M(-1, 1), còn hai

cạnh kia có phương trình là x + y - 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0

Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ; viết phương trình đt(a) là đối xứng của đt chúa cạnh qua M vàtrục đối xứng là Ox.

Bài 8: Cho P(3, 0) và hai đường thẳng: (d

Bài 9: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A(1, 3) và hai trung tuyến có

phương trình là: x – 2y + 1 = 0 và y –1 = 0

Bài 10: Viết phương trình các cạnh tam giác ABC, cho biết đỉnh A(4, -1), phương trình một

đường cao và một trung tuyến vẽ từ cùng một đỉnh là:

2x – 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0 Xác định toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 11: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2, -7), phương trình một đường cao và một trung tuyến vẽ

từ hai đỉnh khác nhau.

1 Xác định toạ độ đỉnh B và C, suy ra diện tích của tam giác ABC.

2 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 12: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B)2, -1), đường cao và phân giác

trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là: 3x – 4y + 27 = 0; x + 2y – 5 = 0

Bài 13: Cho tam giác ABC có phân giác của góc A có phương trình là x + y + 2 = 0; đường cao

vẽ từ B có phương trình là 2x – y + 1 = 0, cạnh AB đi qua điểm M(1, -1) Tìm phương trình cạnh AC của tam giác.

Bài 14: Cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong AD và đường cao CH lần

lượt là: x – y = 0; 2x + y + 3 = 0; cạnh AC qua điểm M(0, -1); AB = 2AM Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 15: Cho tam giác ABC có A(4/5, 7/5); hai đường phân giác trong vẽ từ A và C lần lượt là d

1 :

x – 2y – 1 = 0; d

2 : x + 3y – 1 = 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 16: Cho tam giác ABC có đỉnh A(3, -1); phương trình trung tuyến BM là: 6x + 10y – 59 = 0

và phương trình đường phân giác trong CD của góc C là x – 4y + 10 = 0 Viết phương trình ba cạnh của tam giác đó.

Bài 17: Viết phương trình các cạnh của tam giác PQR; biết Q(2, -1), phương trình đường cao

PH: 3x – 4y + 27 = 0, phương trình đường phân giác ngoài R là x + 2y – 5 = 0

(TTĐT CB Y Tế ’97)

Bài18 :Cho đt (a) :x+2y-10=0 1.Viết phương trình đường thẳng (b) qua M thuộc (a) và (b) // với

đt (c): y=3x; và OA=5đvđd ; 2 Gọi I(3;2} là tâm của hình bình hành có hai cạnh lần lượt thuộc (a) ;Ox , hãy viết phương trình hai cạnh còn lại

Vấn đề 2: GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình tham số:

t x

1 3 '

'

t y

t x

1)Xác định giao điểm M của d và d’

.2.) Tính cosin góc nhọn tạo bởi d và d’

3) Viết phương trình (a) qua A(2 ;3) sao cho ((a) ;Ox) =( d;Ox)

4)Viết phương trình đường thẳng ( b ) qua giao điểm M của ( d ) và ( d’ ) sao cho ( (b ) ; (

d ) ) = ( ( b ) ; ( d’ )

Bài 2:Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2, 1) và tạo với đường thẳng 2x + 3y + 4 = 0

một góc bằng 45 o Viết phương tr ình các cạnh hình vuông ABCD biết B,D thuộc

Bài 3: Cho hai điểm A(3, 3), C(0, 2) và đường thẳng (D) có phương trình

x + y – 4 = 0 Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhựt ABCD biết Bthuộc (D)

Bài 4: Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2, -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai

cạnh của tam giác.

Bài 6: Cho hình vuông có một đỉnh là A(-4, 5) và một đường chéo đặt trên đường thẳng: 7x – y

+ 8 = 0 Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông đó

Bài 7: 1 Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(1, 2), C(3, 4) ,Viết phuơng trình các cạnh của ABCD.

2 Cho tam giác ABC biết A( 1;2) B(3;4) và :

10

3ˆ

cos,5

2ˆ

cosB A C = A B C = Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài 8: Một tam giác cân cạnh đáy và một cạnh bên có phương trình lần lượt là 3x – y + 5 = 0; x

+2y – 1 = 0 Lập phương trình cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M (1, -3).

Bài 10: Cho đường thẳng d: 2x – 2y + 1 = 0 và hai điểm A(0, 4); B(5, 0) Tìm phương trình hai

đường thẳng lần lượt qua A và B và nhận d làm đường phân giác.

Vấn đề 3: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1*: Cho hai điểm P(2, 5) và Q(5, 1) 1*) Viết phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó bằng 3 2*) Viết phương trình đường thẳng (a ) qua

O sao cho : d (P; ( a ) )= d ( Q ; (d ) ) 3* ) Viết phương trình đường thẳng ( b ) qua O và không có điểm chung với dường tròn đường kính PQ 4*) Viết phương trình đường thẳng ( c ) tiếp xúc với đường tròn đường kính PQ

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d) cách điểm A(1, 1) một khoảng bằng 2 và cách điểm B(2, 3) một khoảng bằng 4.

2 Viết phương trình đường thẳng d qua A(2, 2) và cách đều hai điểm B(1, 1) và C(3, 4).

3 Viết phương trình đường thẳng d cách đều ba điểm A(-1, 1), B(4, 2), C(3, 4)

4 *) Viết pnương trình đường thẳng (a ) qua A(3;4) sao d ( O ;( a ) ) lớn nhất

5* ) Viết phương trình đường thẳng ( b ) qua M( 3; 4 ) sao cho d ( (b) ; 3x=4y) lớn nhất

Bài 3: 1 Cho hai đường thẳng d

1 : 3x – 4y + 6 = 0; d

2 : 4x – 3y – 9 = 0 Tìm điểm M trên trục Oy sao cho M cách đều (D

Bài 5: Cho đường thẳng d có phương trình 2x – y + 3 = 0 Viết phương đường thẳng ∆ song song

với d và cách d một khoảng bằng 5.

Bài 6: Cho tam giác ABC có B(-4, 0); phương trình đường cao vẽ từ A là: -4x + 3y + 2 = 0;

phương trình đường trung tuyến vẽ từ A là 4x + y + 3 = 0 Tính diện tích của tam giác.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC tại B

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm A(2, 1), B(0, 1); C(3, 5); D(-3, -1)

1 Tính diện tích của tứ giác ABCD

2 Viết phương trình các cạnh của hình vuông có hai cạnh song song đi qua A, C và hai cạnh song song còn lại đi qua B, D

[

Bài 8: Cho diện tích tam giác ABC là S = 3/2; hai đỉnh A(2, -3); B(3, -2) và trọng tâm của tam

giác thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 Tìm toạ độ đỉnh C ; Viết phương trình đường thẳng qua C và không có điểm chung với đường tròn có đường kính là AD ; D là trung điểm AC.

Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D) có phương trình:

cosα + ycosα + 2cosα + 1 = 0

1 Chứng minh rằng khi α thay đổi, đường thẳng (D) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

2 Cho điểm I(-2, 1) Dựng IH vuông góc với (D) (H ∈(D)), và kéo dài IH một đoạn HN = 2IH Tính toạ độ của N theo α

Bài 10: Cho đường thẳng:

m cắt đoạn thẳng BC với B(2, 3), C(1, 0)

3 Định m đểkhoảng cách từ B đến (∆)

m lớn nhất.

Bài 11: Cho đường thẳng (∆): mx – y – m – 2 = 0 và hai điểm A(2, 1), B(4, -2)

1 Định m để (∆) cắt đoạn thẳng AB

2 Định m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (∆) lớn nhất

Bài 12: Cho bốn điểm M

1 (2, 4); M

2 (4, 8), M

3 (5, 11); M

4 (7, 13) Lập phương trình đường thẳng y =

ax + b đi qua gốc toạ độ O sao cho tổng bình phương các khoảng cách giữa tung độ của và giá trị của đường thẳng tương ứng với điểm đó là bé nhất.

(ĐH Y-K HN 98)

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA GÓC TẠO BỞI

HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: 1 Lập phương trình phân giác của góc nhọn tạo bởi:

1 và d

2 mà có chứa góc O.

Bài 2: 1 Cho tam giác ABC có A(2, 0); B(4, 1); C(1, 2) Tìm phương trình phân giác trong của

góc A trong tam giác ABC.

2 Cho tam giác ABC có A(1, 1); B(-1, -1/2); C(4, -3) Tìm phương trình đường phân giác ngoài của góc A.

Bài 3: Cho tam giác ABC, phương trình các cạnh là:

(AB): x – y + 4 = 0; (AC): 7x + y – 12 = 0

(BC): 3x + 5y + 4 = 0

1 Lập phương trình đường phân giác trong của góc A

2 Điểm gốc O ở trong hay ngoài tam giác ABC (không dùng hình vẽ)

Bài 4: Cho hai đường thẳng D D’ có phương trình:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 = 0 với B 2 – AC > 0

1 Chứng tỏ rằng đó là hai đường thẳng phân biệt, và hãy viết phương trình của mỗi đường thẳng đó.

2 Viết phương trình chung của các đường phân giác của các góc tạo bởi D và D’

Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THEO ĐOẠN THẲNG

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(-1, 8) và cắt các toạ độ theo các đoạn

bằng nhau.

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc là –3/4 và tạo với các trục toạ độ một

tam giác có diện tích bằng 24.

Bài 3: Cho điểm A(4, 1)

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.

2 Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt hai nửa trục dương Ox, Oy tại M và N sao cho OM + ON nhỏ nhất

3 Viết phương trình đường thẳng qua A có khoảng cách đến O lớn nhất.

4 Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt hai nửa trục dương Ox, Oy tại M, N sao cho diện tích tam giác OMN nhỏ nhất.

5 Viết phương trình đường thẳng qua A cắt trục Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho

2 2 1 1

ON

OM + nhỏ nhất.

Vấn đề 6: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Biện luận theo tham số m vị trí tương đối của ahi đường thẳng:

(∆

1 ): 4x - my + 4 – m = 0 (∆

2 ): (2m + 6)x + y – 2m – 1 = 0 Bài 2: Cho hai đường thẳng: (D



 +

=

+

=

nt y y

mt x x

21

qt y y

pt x x

1 Cắt nhau 2 Song song với nhau

3 Trùng với nhau 4 Vuông góc với nhau

Bài 4: Cho hai đường thẳng: d

1 : (a + 1)x – 2y – a – 1 = 0 và d

2 : x + (a – 1)y – a2 = 0

1 )Tìm giao điểm I của d

1 , d

2 2*) Tìm a để đường thẳng qua M(0, a); N(a, 0) đi qua giao

điểm I ,(ĐH Đà Lạt 98)

Bài 5: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng D

1. Chứng minh khi k thay đổi, đường thẳng D

1 luôn luôn đi qua một điểm cố định.

2. Với mỗi giá trị k hãy xác định giao điểm của D

1 và D

2

3. Tìm quỹ tích của giao điểm đó, khi k thay đổi (đề 136)

Vấn đề 7: XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Bài 1: 1 Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(6, 5) qua đường thẳng (D): 2x + y – 2 = 0

2 Tìm toạ độ hình chiếu của A(-1, 3) xuống đường thẳng (D): 5x + 2y – 30 = 0

Bài 2: Cho đường thẳng (D): x – 2y + 1 = 0 và điểm A(0, 3) Vẽ AH vuông góc với (D) (H ∈ (D))

và kéo dài AH về phía H một đoạn HB = 2AH Tìm toạ độ điểm B.

Bài 3: Cho hai điểm A(1, 2); B(3, 4) Tìm trên trục hoành điểm P sao cho PA + PB nhỏ nhất Bài 4: Cho đường thẳng (D): x – 2y + 2 = 0 và hai điểm A(0, 6); B(2, 5) Tìm trên (D) điểm M sao

cho:

1 MA + MB nhỏ nhất 2 /MA – MB/ lớn nhất

Vấn đề 8: HỌ ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho (D

m ) có phương trình: (2m + 1)x – y + m2 = 0

1 Chứng minh (D

m ) luôn tiếp xúc với một parabol cố định với mọi m.

2 Tìm m để để khoảng cách từ A(0, -1) tới (D

m ) là nhỏ nhất.

Bài 2: Cho đường thẳng (∆

m ): xcos2m – ysin2m + cos 2 m – 3 = 0

1 Chứng minh rằng (∆

m ) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định; ∀m.

2 Cho A(1, 0) và B(1, 5/2) Định m để (∆

m ) cắt đoạn thẳng AB tại một điểm khác A và B Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng:

(D

1 ): xcost + ysint – 3cost – 2sint = 0 (D

2 ): xsint – ycost + 4cost + sint = 0, với t là tham số.

1 Tìm tập hợp các giao điểm M của (D

1 ) và (D

2 )

2 Viết phương trình các tiếp tuyến của tập hợp đó vẽ từ (5, 0)

Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho 4 điểm A(a, 0), B(0, b), M(m, 0), N(0, n), trong đó a, b không

đổi, còn m, n thay đổi sao cho ta luôn có: + = 2

OB

ON OA

OM Tìm tập hợp giao điểm của các

Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông AC = a,

BC = b (a, b cho trước), A di động trên Ox, B di động trên Oy Tìm quỹ tích đỉnh góc

vuông C của tam giác đó (ĐHSP TPHCM 91)

Vấn đề 9: CHÙM ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Tìm phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng:

d

1 : 2x + 3y – 6 = 0 và d

2 : 3x + 4y – 1 = 0 Biết d thoả:

1 Đi qua điểm A(-1, 3)

2 Song song với đường thẳng d’: x + y + 1 = 0

3 Vuông góc với đường thẳng ∆: x + 4y + 1 = 0

Bài 2: Viết phương trình các đường cao của tam giác có ba cạnh cho bởi ba phương trình: x – y

– 2 = 0; 3x – y – 5 = 0 và x – y – 1 = 0

Tìm toạ độ trực tâm của tam giác đó

Vấn đề 10: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ THI TSĐH

Bài 1: Cho đường thẳng (D): 2x + y – 4 = 0 và hai điểm M(3, 3), N(-5, 19) trên mặt phẳng toạ độ

Oxy Hạ MK ⊥ (D) tại K gọi P là điểm đối xứng của M qua (D)

1 Tìm tọa độ của K và P

2 Tìm điểm A trên (D) sao cho Am + An có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, -1) và các cạnh: AB:

4x + y + 15 = 0 và AC: 2x + 5y + 3 = 0

1 Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của BC

2 Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC

(ĐHQG TPHCM 98)

Bài 3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1, 3)

1 Cho biết hai đường cao: BH: 5x + 3y – 25 = 0; CK: 3x + 8y – 12 = 0 Hãy xác định toạ độ các đỉnh B và C

2 Xác định toạ độ các đỉnh B và C nếu biết đường trung trực của AB là 3x + 2y – 4 = 0 và toạ độ trọng tâm G(4, -2) của tam giác ABC.

(ĐH Cần Thơ 98)

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ trực chuẩn Oxy, cho đường thẳng (d) có phương

trình: x – y – 1 = 0 và ba điểm A(2, 4); B(3, 1); C(1, 4)

1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho tổng AM + BM nhỏ nhất

2 Tìm điểm N thuộc đường thẳng (d0 sao chot ổng AN + CN nhỏ nhất

(ĐH Kiến Trúc HN 98)

Bài 5: Cho ∆ ABC biết A(2, -1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C

lần lượt là:(d

B ): x – 2y + 1 = 0 ;(d

c ): x + y + 3 = 0

Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC (ĐH Thương Mại 2000)

Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1, 3), đường cao BH có phương

2x – 3y – 10 = 0.

1 Giả sử cạnh BC có phương trình: 5x – 3y – 34 = 0 Xác định toạ độ các đỉnh B và C

2 Giả sử cạnh AB có phương trình: 5x + y – 8 = 0 và tam giác ABC cân tại C Xác định

toạ độ các đỉnh B và C (ĐHQG TPHCM 2000)

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C(-2, -4) và trọng tâm G(0, 4).

1 Giả sử M(2, 0) là trung điểm của cạnh BC Xác định toạ độ các đỉnh A và B.

2 Giả sử M di động trên đường thẳng (D): x + y – 2 = 0, tìm quỹ tích điểm B xác định M để độ dài cạnh AB là ngắn nhất.

(HV Ngân hàng TP.HCM 2000)

Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng: (D): 2x + 3y – 6 = 0

1 Viết phương trình đường thẳng (D

1 ) đối xứng đường thẳng (D) qua trục Ox.

2 Viết phương trình đường thẳng (D

2 ) đối xứng đường thẳng (D) qua trục Oy

t x

4 7

2 3

t y

(Trường Hàng Không VN 2000)

Bài 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1, 1); B(-1, 3) và đường thẳng (L): x + y +

4 = 0

1 Tìm trên đường thẳng (L) điểm C cách đều hai điểm A và B

2 Với điểm C vừa tìm được hãy tìm toạ độ điểm D để ABCD là một hình bình hành Tính diện tích hình bình hành ấy (ĐH Hàng Hải ’96)

GV.NGUYỄN THÀNH LIÊM NGUYỄN TẤN DƯƠNG.

ĐƯỜNG TRÒN

Vấn đề 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Tìm phương trình đường tròn đường kính AB, biết:

1 A(-1, -2); B(2, 1) 2 A(-3, 4); B(7, 2) 3.A∈(Ox)&B∈(Oy) và trung điểm của

AB là I(1;2) 4 A(2;4) ; AB=5(đvđd) ; B thuộc (Ox)

Bài 2: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C trong các trường hợp sau:

1 A(2, 0), B(0, -3), C(5, -3) 2 A(1, 3), B(5, 6), C(7, 0)

3 A(2;6) ; C(6;6) và ABC là tam giác vuông cân tại A

4.A(1;4) ,B(-7;4) , C(2;-5)

5.AB : x+2y-2=0 , BC: 2x+3y-4=0 , CA : x+y- 1= 0

Bài 3 :Cho A(1;2) B (-3;1 ) , C(4;- 2) Tìmtập hợp điểm M thoảmột trong các đk

2 A(4;-4) ; (∆): y−x =0&R = 41 ;3 A(1, 2); ∆: 7x + 3y + 1 = 0 và đường thẳng vuông góc với AB tại B là : 2x-y- 5 = 0

GV NGUYỄN THÀNH LIÊM NGUYỄN TẤN DƯƠNG

4.A(0;4) , AB =4 , và (AB) song song với (∆):3x+4y−1=0

Bài 6: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆, biết:

1.A(1;2) ,B(3;4) , (∆):3x+ y=3

2 A(-1;-2) ; B(2;1) , (∆):2x−y+2=0 3 A(2;4) , B(4;2) , (∆)≡(Ox)

4 A(0;2) ; (∆):y = x , đường trung trực của đoạn AB là x+y= 6

Bài 7: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B

∆

∈ ; biết : 1 A(2;1) , (∆)≡(Oy)&y B =4

2.A(3, 1); ∆: x + 2y – 5 = 0; B(6, 4)

3 ∆≡(Ox),x B =6,&∆:' y+1=0 là trung trực của AB

Bài 8:Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆

2 ø tiếp xúc hai trục toạ độ Ox và Oy ; và x=3 là trung trực tâm I &A

Bài 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ∆

1 AB: 7x + 6y – 11 = 0; BC: 9x – 2y + 7 = 0; CA: 6x – 7y – 16 = 0

2 Ba đỉnh A(2, 6), B(-3, -4), C(5, 0)

3.AB :x=0 , AC : y=0 , BC :x+y =4+2 2

4.A(1;5) , B(-4;-5 ) , C(4 ; -1)

5.AB :2x- 3y +21 = 0 , BC : 3x-2y – 6 = 0 , CA : 2x+3y +9 = 0

6.AB : 3x+4y-6 = 0 , AC : 4x+3y- 1= 0 , BC : y=0

Bài 11 Lập phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆, biết:

1 I(-4, 2); ∆: 3x + 4y – 16 = 0 ; 2 I(1, 2); ∆: x – 2y – 2 = 0

Bài 12: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x – 4y – 31 = 0 tại điểm A(1,

-7) vá có bán kính bằng 5

Bài 13:1viết phương trình của đường tròn có tâm I(3, 1) và chắn trên đường thẳng ∆: x – 2y + 4

= 0 một đoạn l = 4.

2.Viết phương trình đường tròn tiếp xúc Oy tại B(0: 8) và chắn trên Ox một đoạn có độ

dài bằng 2

Bài 14: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + y – 5 = 0 có bán kính

R = 10 và tiếp xúc với đường thẳng (D): 3x + y – 3 = 0.

Bài 15: Cho hai đường thẳng: ∆

2 ) tiếp xúc với (C

1 ) tại điểm M(-6, 8) và có bán kính là R

= 6

Bài 17: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1, -2) và các giao điểm củađường thẳng

(D): x – 7y + 10 = 0 và đường tròn (C’): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0(Đề 28

(GV.NGUYỄN THÀNH LIÊM NGUYỄN TẤN DƯƠNG

Bài 18: Cho :(C1): x 2 + y 2 – 8x – 2y + 7 = 0 ;(C2 ): x 2 + y 2 – 3x – 7y + 12 = 0.

1.Viết phương trình đường tròn (C ) qua A (-1;-1) và qua hai giao điểm của

hai đường tròn trên ;2.Viết pt đường tròn (C’) qua hai giao điểm của hai

hai đường tròn trên và có bán kính nhỏ nhất

Bài 19: Cho hai đường tròn (C

1 ): x 2 + y 2 – 4x = 0 (C

2 ): x 2 + y 2 – 4y = 0

1 Chứng minh rằng (C

1 ) và (C

2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

2 Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = 2 5 và qua A, B

3 Viết pt đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC (với A;B∈(C 1) (C2).)

Bài 20: Cho hai đường tròn: (C

1 ): x2 + y2 – 8x + 4y – 4 = 0 (C

2 ) và qua điểm M(0, 1).

3 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C

1 ) và (C

2 ) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình y = x (ĐH An ninh 97)

Bài 21: Cho hai điểm A(8, 0), B(0, 6)

1 Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB (O là gốc toạ độ)

2 Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của OA, AB, OB Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE.

3 Chứng minh rằng hai đường tròn tiếp xúc nhau Xác định toạ độ tiếp điểm.

Bài 22: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đường thẳng:

1 Viết phương trình đường phân giác trong của góc A trong tram giác ABC và tính diện

2 Viết phương trình đường tròn nội tếp tam giác ABC

Bài 23: Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau nếu tiếp tuyến của hai đường tròn tại điểm

vuôn góc với nhau Hãy viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng x +

2y + 2 = 0 và trực giao với hai đường tròn: (C

1 ): x 2 + y 2 – 6x = 0 và (C

2 ): x 2 + y 2 + 8y = 0 Bài 24: Cho A, B là hai điểm thuộc trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình: x2 –

2(m + 1)x + m = 0

1 Viết phương trình đường tròn đường kính AB

2 Cho điểm E(0, 1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB

Bài 25: Cho đường thẳng d: (1 –m 2 ) x + 2my + m 2 – 4m + 1 = 0

Tìm phương trình của đường tròn luôn tiếp xúc với d

Bài 26: Cho ba điểm A(-1, 3), B(1, 1), M(2, 4) và đường thẳng (D): y = 2x.

1 Tìm điểm C thuộc đường thẳng (D) sao cho tam giác ABC cân

2 Viết phương trình đường tròn (ABM)

( ĐH Thuỷ sản 97)

Bài 27: Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc, cho ba điểm A(0, a), B9b, 0), C(-b, 0) với a>

0, b > 0

1 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AB tại B, và tiếp xúc với

đường thẳng AC tại C.

2 Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trân đường tròn ở phần 1 Gọi d

Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy: cho đường tròn

(C): x2 + y2 – 2x – 4y = 0 và đường thẳng

(D): 4x + 2y – 9 = 0 Chứng tỏ rằng (D) và (C) cắt nhau Tìm phương trình của đường tròn (T) qua các giao điểm của (C) và (D) đồng thời tiếp xúc với trục hoành.

Bài 29: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục Ox tại gốc toạ độ O và tiếp xúc với

4

0)1(22)1(:).(

3

0)12(22)1(:) (

2

2

2 2

2

=

−+

=++

−

−

=+

−+

−

t t

y t x a

m my x m a

m my

x m a

Vấn đề 2: HỌ ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Gọi (C

m ) là đường có phương trình là: x2 + y2 – 2(m + 2)x + 4my + 19m – 6 = 0 1.Tìm m để (C m) tiếp xúc với (a) : 3x+y+4 = 0

2.Xác định m để (C

m ) là đường tròn có bán kính bằng 10.

3.Tìm các giá trị của m để (C

m ) là đường tròn 4.Tìm tập hợp tâm của (C

m ) Bài 2: Gọi (C

m ) là đường có phương trình là:

x 2 + y 2 + (m + 2)x – (m + 4)y + m + 1 = 0

1 Xác định m để (C

m ) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

2 Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C

m )

3 Chứng minh rằng (C

m ) luôn đi qua hai điểm cố định

4 Tìm tất cả các điểm mà (C

m ) không thể đi qua

5 Viết phương trình đường tròn tâm )

2

;2(m m

J và tiếp xúc với(C m)

Bài 3: Cho họ đường cong (C

α):

x 2 + y 2 + 2(1 - cosα)x – 2sinαy + 3 = 0; α ∈ [0,2π)

1 Tìm các giá trị của α để (C

α) là một đường tròn

2 Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C

m ) luôn luôn là một đường tròn có bán kính không đổi

2 Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C

F(x, y) = x 2 + y 2 – 2m(x – a) = 0 trong đó a là một số dương cho trước (cố định)

1 Với giá trị nào của m, phương trình trên là phương trình của đường tròn? Ta ký hiệu

(C

m ) là đường tròn ứng với giá trị của m.

2 Chứng tỏ đoạn thẳng nối điểm O với điểm A(2a, 0) luôn luôn cắt đường tròn (C

m ) (trong đó O là gốc toạ độ; (C

m ) không là đường tròn điểm).

3 Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng là trục đẳng phương cho tất cả các đường

m ’): x 2 + y 2 – x + (m - 1)y + 3 = 0 Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn (C

m ) và (C

m ’) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các trục đẳng phương đó luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Vấn đề 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG TRÒN

3 1)

} {

}

2 1

2 1 2 1

2 1 2 1 2

1

2 1 2 1

2 1 2 1 2

1

2 2

2

2 2 2 1 1 1 2 2 2

2 2 2

2 1

2 1

2 1 1

2 2 2

;)()(

**)

*

)()(

*)

*

)()()*)

2

3

)2())]

(

;([

&

&

))(

;(

;)()

**)(

*

))(

;()

()(

*)

*))

(

;()

())*)(

;(

;)

()(:)(

;)

()(:

&

.)

()(:)(

;0:

)

(

R R I I R R N

M C

C

R R I I

R R I I C

C

R R I I

R R I I M C C

MN d

I d R R

d I d N

M C d

R d I d M C d R

d I d C

d

b a I b a I R b

y a

x C R

b y a

x C

b a I R b y a x C C

By Ax

−

=

−+

−

=

−+

−

=++



[

Bài 1: 1 Tuỳ theo m, biện luận sự tương giao của đường thẳng d và đường tròn (C):

d: mx – y – 2m + 3 = 0; (C): x 2 + y 2 – 2x + 4/5 = 0

2 Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng :

(D): x + y –1 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2(2m + 1)x – 4y +4 – m 3.Cho (C):x+y−2(2m+1)x−4y+4−m=0 và (C’) có tâm J(2m;4) và R’=1.

Tìm m để (C) và (C’) tiếp xúc nhau

Bài 2: Tuỳ theo m biện luận sự tương giao của hai đường tròn.

1 (C

1 ): x 2 + y 2 – 6x – 2my + m 2 + 4 = 0 (C

2 ): x2 + y2 – 2mx – 2(m+1)y + m2 + 4 = 0

2 (C

1 ): x 2 + y 2 – 4mx – 2my + 2m + 3 = 0 (C

2 Viết phương trình tập hợp trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm chung

3 Tìm (C m)saocho(C m) tiếp xúc với y=1

4 Tìm m sao cho (C m)&(C) tiếp xúc nhau

Bài 4: Cho hai đường tròn (C

1 ): x 2 + y 2 - x – 6y + 8 = 0 (C

2 ): x 2 + y 2 - 2mx – 1 = 0 Định m để (C

1 ) và (C

2 ) tiếp xúc nhau Chỉ rõ loại tiếp xúc.

Bài 5: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 4y + 8 = 0 và điểm A(11/2, 9/2) Tìm phương trình

đường thẳng qua A và cắt (C) theo một dây cung có độ đài 10

Bài 6: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 8x – 6y + 21 = 0 và điểm I(5, 2)

1 Chứng tỏ rằng I nằm trong đường tròn (C)

2 Tìm phương trình đường thẳng cắt (C) tại hai điểm nhận I làm trung điểm.

Bài 7: Cho hai đường tròn: (C): x 2 + y 2 + 3ax = 0

m ) là hai đường tròn trực giao).

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 – 2x + 4y + 4 = 0 Gọi

(∆) là đường thẳng song song với đường thẳng (D): 3x + 4y – 1 = 0 và chia đường tròn (C) thành hai cung mà tỉ số độ dài bằng 2 Tìm phương trình của đường thẳng (∆).

Bài 9: Cho hai đường tròn: (C

1 ): x 2 + y 2 – 16x – 4 = 0 (C

2 ): x 2 + y 2 – 4x – 6y + 8 = 0 Tìm phương trình đường thẳng qua điểm chung của (C

1 ) và (C

2 ) và cắt (C

1 ) và (C

2 ) theo hai dây cung có tổng chiều dài lớn nhất.

Bài 10: Có bao nhiêu tiếp tuyến chung với hai đường tròn (C

2 (C

1 ): x 2 + y 2 - 2y – 3 =0 ; (C

2 ): x 2 + y 2 - 8x – 8y + 28 = 0

3 (C

1 ): x2 + y2 - 14x – 2y + 46 = 0 ; (C

2 ): x2 + y2 - 4x – 6y + 12 = 0

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 3 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 – x – 7y = 0

1 Tính toạ độ giao điểm của d và (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó.

3 Tìm trên đt d những điểm M để từ đó vẽ được hai tiếp tuyến của (C ) và

hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( C) :

1 ( C) : x 2 + y 2 – 4x – 6y + 1 = 0 có hệ số góc k = 2

2.(C): x2 + y2 – 2x + 8y + 1 = 0 cùng phương với đường thẳng d: 5x + 12y = 6

3.( C): x 2 + y 2 – 6x + 2y = 0 vuông góc với đường thẳng d: 3x – y + 6 = 0

4*)( C ) :(x−4)2 +(y−4)2 =16 ; sao cho khoảng cách từ O ( 0;0 ) đến tiếp tuyến là một số lớn nhất

Bài 3: Lập phương trình tiếp tuyến với (C), phát xuất từ A và tìm toạ độ tiếp điểm; với:

1 (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0; A(3, 4)

2 (C): x 2 + y 2 – 6x + 2y + 6 = 0; A(1, 3)

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn Oxy, cho đường tròn (C

m ) có phương trình: (C

m ): x 2 + y 2 – (m – 2)x + 2my – 1 = 0

1 Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C

m )

2 Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các đường tròn (C

m ) đều đi qua một điểm cố định

3 Cho m = -2 và điểm A(0, -1) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C

1 Tìm quỹ tích tâm các đường tròn (C

m ) khi m thay đổi

2 Chứng minh rằng có 2 đường tròn (C

m ) tiếp xúc với đường tròn (C), ứng với 2 giá trị của m Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C

m ) đó.

3 Tìm m để ( C ) và(C m)không có điểm chung

Vấn đề 5: TOÁN TỔNG HỢP

Bài 1: Trong mặt phẳng, cho đường tròn x 2 + y 2 = R 2 và một điểm M(x

2 là các tiếp điểm

1 *)Viết phương trình đường thẳng T

1 T

2 ( cách khác : là trục đẳng phuơng của đường tròn (C ) đã cho và đường tròn có tâm là M và R’.R’=P(M)/©

2 Giả sử điểm M chạy trên một đường thẳng D cố định, không cắt đường tròn đã cho.

Chứng minh rằng khi đó các đường thẳng T

1 T

2 luôn luôn đi qua một điểm cố định

3 Viết pt tập hợp những điểm từ đó vẽ được hai tiếp tuyến ⊥;của (C)

Bài 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và đường thẳng (D): Ax + By + 1 = 0

1 Tìm điều kiện của A và B để (D) tiếp xúc với (C).

2 M và N là hai điểm thuộc (C) với x

1 Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A và có tâm C với tung độ y

2 Viết phương trình đường tròn (C’) đi qua P và tiếp xúc với Oy tại B.

3 Hai đường tròn (C), (C’) cắt nhau tại P và Q Viết phương trình đường thẳng PQ.

Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định

(đề 133)

Bài 5: Trên mặt phẳng toạ độ xét hai điểm A(a, 0); B(0, b) với ab ≠ 0 Gọi (C) là đường tròn

tiếp xúc với Ox tại A, và có tâm C với tung độ y

c = m, trong đó m là tham số lấy mọi giá

trị khác 0 và khác

b

b a

2 Xác định tâm K của đường tròn (K) tiếp xúc với Oy tại B, và đi qua P.

3 Các đường tròn (C), (K) cắt nhau tại P và Q Chứng minh khi m thay đổi, đường thẳng

PQ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 6: Cho đường tròn tâm A(2, 3), bán kính R = 1

1 Tìm điều kiện của k để đường thẳng y = kx cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn đi qua gốc toạ độ O.

2 Tìm giá trị của k để đường thẳng y = kx cắt đường tròn tạo thành dây cung có độ dài bằng 2

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ và cắt đường tròn: (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 25

thành một dây cung có độ dài bằng 8.

Vấn đề 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ THI TSĐH

Bài 1: Cho đường tròn x 2 + y 2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(2, 4)

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1

3.Gọi (t) là tiếp tuyến của đường tròn tại A(1;1) ; tìm B thuộc (t) để từ A vẽ được hai tt của đường tròn và chúng hợp với nhau một góc 450.

Bài 2: Cho vòng tròn (C): x 2 + y 2 + 2x – 4y – 4 và điểm A(3, 5) Hãy tìm các phương trình các

tiếp tiếp kẻ từ A đến vòng tròn Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc vòng tròn tại M và N; hãy tính độ dài đoạn MN ; Viết phương trình đường thẳng qua M;N ( phương pháp cơ bản ;

pp nhanh ; pp: dùng phương tích ).

Bài3: Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn:

(C

m ): x 2 + y 2 – 2x – 2y + m = 0 (m: tham số)

1 Với điều kiện nào của m thì (C

m ) là đường tròn? Xác định tâm và bán kính của (C

m ) trong trường hợp này.

2 Định m để (C

m ) là đường tròn có bán kính bằng 1, gọi đường tròn này al2 (C) Viết

phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm

2

2 1 , 2

2 1 ( + −

A

3 Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến với đường tròn (C) biết chúng vuông góc với

Bài 4: Cho hai đường tròn có phương trình như sau:

(C): x 2 + y 2 = 1; (C’): x 2 + y 2 – 6x + 6y + 17 = 0

1 Xác định tâm và bán kính của (C) và (C’)

2 Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn trên

(ĐHDL Hùng Vương 95)

Bài 5: Cho hai đường tròn: (C

1 ): x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0; (C

2 ): x 2 + y 2 – 10x – 6y + 30 = 0; có tâm lần lượt là I và J.

1 Chứng minh (C

1 ) tiếp xúc ngoài với (C

2 ) và tìm toạ độ tiếp điểm H.

2 Gọi (D) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C

1 ) và (C

2 ) Tìm toạ độ giao điểm

K của (D) và đường thẳng IJ Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc

với hai đường tròn (C

1 Tím tất cả các giá trị của m để (C

m ) là đường tròn Tìm quỹ tích tâm I của họ (C

Bài 7: Cho họ đường tròn (C

m ) có phương trình: x 2 - 2mx + y 2 + 2(m + 1)y – 12 = 0

1 Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn trên

2 Tìm m sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất

3 Khi m = 2 Cho đường thẳng (D) có phương trình: 3x – 4y + 12 = 0 Tìm khoảng cách

ngắn nhất giữa (D) và (C

Bài 10: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2x - 4y – 20 = 0 và điểm A(3, 0) Viết phương trình đường

thẳng chứa dây cung của đường tròn qua A khi:

1 Dây cung có độ dài dài nhất

2 Dây cung có độ dài nhỏ nhất (ĐH Kiến trúc HN 97)

Bài 11: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3, 4) và đường thẳng (d): 4x + 3y – 12 = 0 1)Viết phương trình đường tròn (C) tâm A và tiếp xúc với (d)

2)Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng của (C) qua đường (d) .

(ĐHDL Tôn Đức Thắng 2000)

Bài 12 :*( Chú ý rất nhiều rất nhiều về phương tích của điểm đối với đường tròn )

………

………

NGUYỄNTHÀNH LIÊM.NGUYỄNTẤN DƯƠNG

ELIP

Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP

Bài 1: Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tiêu chuẩn, các đỉnh đường chuẩn của elip Vẽ elip.

1 4x 2 + 5y 2 = 20 2 4x 2 + y 2 – 64 = 0

425

2 2

=+ y

2516

2 2

=+ y

x

94

2 2

=+ y

Bài 2: Tìm tâm sai của elip biết:

1. Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 4 lần tiêu cự.

2. Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh trên trục nhỏ bằng tiêu cự.

3. Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

4. Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 60o

5. Độ dài trục nhỏ bằng trung bình cộng của độ dài trục lớn và tiêu cự.

Vấn đề 2 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ELIP.

Bài 1:Viếtphương trình chính tắc của elip (E) biết:

(−2 3,1) ( 3,−2)

)2,5(−

(−2, 2)

1.Khoảng cách 2tiêu điểm bằng 8 ; độ dài trục lớn bằng 10 ;

2.(E) đi qua điểm M( , 15

4

5 ) và có hai tiêu điểm là F

1 (-3, 0) và F

2 (3, 0) 3.(E) đi qua điểm M(1, 1) và có tâm sai e = 3/5

4.(E) có hai điểm F

1 (E) có tiêu điểm F1(-4, 0), F2(4, 0) và độ dài trục lớn là 10

2 (E) đi qua hai điểm P và Q

3 (E) có phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở x= ±4, y = ±3

4 (E ) có một đỉnh trên trục lớn là (0, 5) phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là: x 2 + y 2 = 41

6. (E) có tâm O, một cạnh hình chữ nhật cơ sở có phương trình x – 2 = 0, độ dài một đường chéo bằng 6.

7. ( E) qua hai điểm M(0;1) và N(1; 3/2) ,xác định toạ độ các tiêu điểm của ( E )

Bài 3: Lậäp phương trình của elip (E) biết:

1 (E) có tâm O, tiêu điểm trên Oy, tâm sai e = 22 , khoảng cách giữa hai đường chuẩn là

2

8

2 (E) có tâm O, trục lớn trên Ox, đi qua điểm M và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10.

3 (E) có tâm O, trục nhỏ có độ dài bằng 4, phương trình đường chuẩn y = ±5

4 (E) có tâm O, qua điểm M , phương trình đường chuẩn x ± 4 = 0

5 (E) có tâm O, tiêu điểm trên Ox, qua điểm M(8, 12) và MF1 = 20

24

Bài 4: Lập phương trình của elip (E) biết:

1 (E) có tâm O, trục lớn Ox, đi qua điểm M và góc F1MF2 = 90 0

2 (E) có tâm O, tiêu điểm trên Ox, đi quaM vàgóc F

1 MF

2 = π/3…Bài 5 : viết phương trình của (E) biết F1(−3;0),F2(3;0)& MF1+MF2 =10 với mọi điểm M thuộc (E)

Vấn đề 3: TÌM ĐIỂM TRÊN ELIP

Bài 1: Cho elip (E) : 9x 2 + 25y 2 –225 = 0 Đường thẳng (D) vuông góc với trục lớn

tại tiêu điểm bên phải F

2 , cắt (E) tại M, và N.

1 Tìm toạ độ của M và N 2 Tính MF

1 , MF

2 và MN Bài 2 : Tìm những điểm trên elip (E) : 7x 2 + 16y 2 –112 = 0 có bán kính qua tiêu điểm trái bằng

5/2.

Bài 3: Cho elip (E) : có tâm O, trục lớn trên Ox Điểm M ở trên (E) có hoành độ bằng 4 và tung

độ dương, bán kính MF

1 = 37/5, MF

2 = 13/5

1 Tính tung độ của điểm M 2.Tìm phương trình của (E)

Bài 4: Cho elip (E) có tâm O, tiêu điểm F

1 Tìm toạ độ tiêu điểm , đỉnh, tâm sai và diện tích hình chữ nhật cơ sở của (E).

2 Tìm toạ độ giao điểm của (E) và đường thẳng (D) qua điểm I (-2, 1) và có hệ số góc là

½.

3 Điểm M chạy trên (E ) ; MF có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là bao nhiêu

Bài 7: Cho elip (E) : x 2 /9 + y 2 =1.

Tìm những điểm trên (E) thoã điều kiện sau:

1 Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu điểm kia.

2 Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

3 Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 1200 Bài 8: Cho elip (E): 5x2 + y2 –20 = 0.

1 Tìm phương trình đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp với (E) tại các đỉnh.

2 Tìm các điểm trên (E) sao cho hai bán kính qua tiêu điểm vuông góc với nhau.

Bài 9: Tìm những điểm trên elip (E): 25x2 + 4y2 – 100 = 0 nhìn hai tiêu điểm dưới một góc:

Bài 10: Cho hai elip (E

1 ) : m 2 x 2 + n 2 y 2 = m 2 n 2 (E

2 ) : n 2 x 2 + m 2 y 2 = m 2 n 2 (m.n(m 2 – n 2 ) # 0) Chứng minh (E

2

b

y a

x + = 1.Đường thẳng (D): y = mx + n cắt (E) tại P và Q.

1 Tính độ dài đoạn PQ theo a, b, m,n.;2 Viết phương trình đường tròn đường kính PQ.

GV.NGUYỄN THÀNH LIÊM NGUYỄN TẤN DƯƠNG

Bài 12: Cho elip (E) :

2

2 2

2

b

y a

x + =1 (a > b > 0) Tìm toạ độ đỉnh của hình chữ nhật nội tiếp trong êlip và các cạnh song song với hai trục có diện tích lớn nhất.

Bài 13: Cho êlip (E) :

4 9

2

2 y

x + =1 và đường thẳng ∆ : 3x + 4y +24 = 0 Tìm điểm M trên êlip có khoảng cách ngắn nhất đến đường thẳng ∆.

Bài 14:Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong êlip (E) : x2 + 4y2 = 4

Cho biết A(-2, 0) Định toạ độ của các điểm B và C.

Bài 15: Cho elip (E) có phương trình

2

2 2

2

b

y a

x

+ = 1 với tiêu điểm F(-c, 0) Tìm điểm M trên elip (E)

sao cho độ dài FM nhỏ nhất (HV CNBCVT ‘99)

Bài 16: Tìm điểm M(x, y) ∈ (E):

9 4

2

2 y x

+ = 1 sao cho biểu thức a = 2x – y –2 đạt GTLN và GTNN.

Vấn đề 4: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của elip:

1 (E) : x 2 + 4y 2 = 25 tại giao điểm của (E) và đường thẳng (D):x + 2y –7 = 0.

2 (E):

4 8

2

2 y x

+ = 1 biết tiếp tuyến có hệ số góc là 2.

3 (E): 9x 2 + 25y 2 = 225 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

D (D): 4x+ 5y = 0.

4 (E): 4x 2 + y 2 – 36 = 0 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

(D): 3x – 4y – 1 = 0 Tìm toạ độ tiếp điểm.

5.(E ) :14.x2 +9y2 =36 ; và tiếp tuyến qua A( -3; 3)

6) (E) :4x2 +5y2 =20; và tiếp tuyến qua A (4;2).

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của elip

1 (E) : 4x2 + y2 – 4 = 0 biết tiếp tuyến với trục hoành một góc 600.

2 (E): 9x 2 + 16y 2 – 144 = 0 biết tiếp tuyến hợp với đường thẳng 2y –x + 6 = 0

một góc 45 0

3 (E): 5x2 + 9y2 – 36 = 0 biết khoảng cách từ tâm của (E) đến tiếp tuyến bằng 3.

Bài 3: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng (D): Ax + By + C = 0

(A 2 + B 2 > 0) tiếp xúc với elip (E):

2

2 2

2

b

y a

x

+ = 1 là : C 2 = a 2 A 2 + b 2 B 2

(đề 103)

Bài 4: Cho elip (E): 4x2 +9 y2 = 36 và đường thẳng ∆: mx – 2y +5 = 0.1) Xác định m để ∆ tiếp xúc

với (E) Tính khoảng cách từ tâm của (E) đến ∆ 2*)Gọi (t) là tiếp của (E) tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của d ( O ; (t) ) và :d(F1;(t))+d(F2;(t)) 3**)Tiếp tuyến ( t ) của (E ) cắt x= 3; x=3 lần lượt tại P ; Q tìm tập hợp giao điểm AQ và A’P ( A( -3;0)

;A’(3;0) )

( ôn : hệ :x# 0 ; y=kx )

Bài 5: Biết rằng elip:

2

2 2

2

b

y a

1

16 25

2

2 y x

+ = 1

2

4 5

2

2 y

x + = 1 và

5 4

2

x

+ = 1

1 Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm qua các giao điểm của hai elip.

2 Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai elip ( Để 118)

Bài 8: Cho elip có phương trình

3 6

2

2 y x

+ = 1 Xét một hình vuông ngoại tiếp elip (tức là các cạnh

hình vuông đều tiếp xúc với elip) Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông đó.

Bài 9: 1 Một đường kính bất kỹ của elip (E):

2

2 2

2

b

y a

x

+ = 1cắt elip tại M và N Chứng minh rằng các tiếp tuyến của elip ở M và N là song song với nhau.

2 Tìm quan hệ giữa a, b, k, m để elip E tiếp xúc với đường thẳng y = kx + m (Đề31)

Bài 10: Cho số thực m <> 0 Chứng minh khi ϕ thay đổi , đường thẳng xcosϕ + y sinϕ

Bài 11: Từ điểm I (-6, 5) ta vẽ được hai tiếp tuyến với elip (E) : x 2 + 3y 2 = 12 Hãy viết phương

trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm của (E).

Bài 12: Cho elip (E):

2

2

x + y 2 = 1; 1.Từ điểm M(3, 2) kẻ hai tiếp tuyến đến (E), tiếp xúc với (E)

tại P, Q Viết phương trình đường tròn (PMQ).

2 Tìm điểm A trện Oy sao cho từ A vẽ được hai tiếp tuyến của (E) và chúng vuông góc

2

b

y a

x

+ = 1 Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm.

Bài 14: Cho elip (E):

16

2

x + y 2 = 1 và một điểm P(1, 2)

Viết phương trình đường tròn tâm P và tiếp xúc với đường thẳng đi qua các tiếp điểm của các tiếp tuyến xuất phát từ P với các elip (E).

Bài 15: Cho elip (E):

9 16

2

2 y x

+ = 1 Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng toạ độ xOy, từ đó

có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Bài 16: Cho elip (E) có tiêu cự 2c = 8, tâm sai e = 4/5, các tiêu điểm nằm trên Oxđối xứng với

nhau qua Oy.1*.Viết phương trình chính tắc của (E )

2 Viết phương trình các tiếp tuyến của (E) đi qua điểm A(0, 15/4).

3.Tính diện tích hình phẳng chắn bởi elip (E) và hai tiếp tuyến trên.

Bài 17 :Trong mp( Oxy ) , cho điểm A chạy trên Ox , điểm B chạy trên Oy nhưng độ dài đoạn

AB bằng a không đổi Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB=2MA.

Vấn đề 5: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ELIP – TOÁN TỔNG HỢP

Bài 1: Cho elip (E) :

8 50

2

2 y x

+ = 1 Một đường thẳng tiếp xúc với (E) tại M cắt trục Ox, Oy lần

lượt tại A và B.

1.Định vị trí M sao cho tam giác AOB có diện tích nhỏ nhất.

2 Định M để chu vi của tam giác AOB nhỏ nhất

Bài 2: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỹ của

một elip bằng bình phương độ dài nửa trục nhỏ của elip (Đề 34)

Bài 3: M và N là hai điểm trên một tiếp tuyến của elip (E):

2

2 2

2

b

y a

x

+ = 1 sao cho mỗi tiêu điểm

F

1 , F

2 của elip nhìn đoạn MN dưới một góc vuông, Hãy xác định vị trí của M và N trên

tiếp tuyến ấy (Đề 43)

Bài 4: Cho elip (E):

2

2 2

2

b

y a

x

+ = 1(a > b > 0), t là một tiếp tuyến của elip, cắt đường thẳng x = a và

x = -a tại M và N xác định tiếp tuyến t sao cho tam giác FMN có diện tích nhỏ nhất, trong đó F là một trong hai tiêu điểm của elip

Bài 5: Cho elip có phương trình (E):

2

2 2

2

b

y a

x

+ = 1 với a > b > 0

1 Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc elip, ta đều có : b ≤ OM ≤ a.

2 Gọi A là một giao điểm của đường thẳng y = kx với elip (E) Tính OA theo a, b, k.

3 Gọi A, B là hai điểm thuộc elip sao cho OA vuông góc với OB Chứng minh rằng :

2 2

11

oB

OA + có giá trị không đổi (Đề 119)