a/ Tìm tọa độ điểm I' đối xứng với điểm I qua đường thẳng ... Gọi H là trung điểm của AB... a Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích tam giác đó.. b Viết phương trình tổng quát
Trang 1
Đề 1 Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a/ x 1 3 x2 4x
b/ x 5 2x 7 2
Bài 2:
a/ Tìm tập xác định của hàm số 2 2 1
x x y
x x
b/ Xác định các giá trị của tham số thực m để bất phương trình sau vô nghiệm:
(m – 2)x2 – 2(m – 2)x + m + 1< 0
Bài 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(1; 2) và đường thẳng có phương trình tổng quát 3x 4y 4 = 0
a/ Tìm tọa độ điểm I' đối xứng với điểm I qua đường thẳng
b/ Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và cắt tại hai điểm A, B sao cho AB = 8
Bài 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M có toạ độ ; 2 1
2
a a
a
, với a và đường 2 thẳng : 3x y 6 0 Xác định tọa độ các điểm M để khoảng cách từ M đến đường thẳng là nhỏ nhất ?
Bài 5:
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
ĐÁP ÁN Bài 1: a/ x 1 3 x2 4x (1)
x
x
2
1
x
x x
hoặc 2 1
x
1
1 hoac 4
x
1 hoac 2
x
KL: Tập nghiệm T ( ; 1] [4; + )
b/ x 5 2x 7 (2)2
(2) x5 2 2x 7
5 0
x x
7
2
x
7
8
4 2
x
x
Vậy tập nghiệm T = {4}
Bài 2: Hàm số xác định
2 2
1 0
x x
2 0
x
x x
Trang 2
x 2 1/2 2
2
x
+ | + | + 0 2
2x 3x 2 + 0 0 + | +
VT + || || + 0 Vậy TXĐ của hàm số: D = ( ; 2) (1/2; 2]
(m – 2)x 2 – 2(m – 2)x + m + 1 < 0 (*) vô nghiệm.
(*) vô nghiệm (m – 2)x2 – 2(m – 2)x + m + 1 0 (*') thoả với mọi x.
m = 2, bất phương trình (*') thành: 3 0 thoả với mọi x m = 2 nhận.
2
m : (*') thoả với mọi x 2 0
' 0
m
2
m
Vậy m 2 là các giá trị cần tìm
Bài 3: I(1; 2); : 3x 4y 4 = 0
Đường thẳng ' đi qua I và vuông góc với có VTPT là n (4; 3)
' : 4x 3y 2 0
Gọi ' H Tọa độ của H thỏa hệ:
4
;
5
x
x y
H
x y
y
Điểm I' đối xứng với điểm I qua H là trung điểm của II'.
Suy ra: '
'
2 2
13
5
x
I y
Gọi H là trung điểm của AB Lúc đó AH = BH = 4 và IH AB
Ta có ( ; ) 3 8 42 2 3
3 ( 4)
d I
Bán kính đường tròn là R IA IH2HA2 5
Vậy phương trình đường tròn là: (x1)2(y 2)2 25
Bài 4:
M ; 2 1
2
a a
a
, với a 2 và đường thẳng : 3x y 6 0 Xác định tọa độ điểm
M để d(M, ) là nhỏ nhất ?
Ta có: ( , ) 1 4( 2) 1
2 10
a
Nhận xét a 2 và 1
2
a cùng dấu nên
10
d M
4 Min ( , )
10
3
5
2
a
a
a
Vậy 1
3 5
;
2 2
M
;
M
là các điểm cần tìm
Trang 3
Đề 2 Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1 Giải các bất phương trình sau:
a)
4
4 5
2 2
x
x x
≥ 0 b) x2 2x0
Bài 2 Cho biết giá trị thành phẩm quy ra tiền (nghìn đồng) trong một tuần lao động của 7
công nhân ở tổ I là 180, 190, 190, 200, 210, 210, 220 (1)
còn của 7 công nhân ở tổ I là 150, 170, 170, 200, 230, 230, 250 (2)
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của các dãy số liệu trên và nêu nhận xét về kết quả điều tra
Bài 3 Cho 5sin4 os4 5
6
c
Tính Asin4 5 osc 4
Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC , biết (3; 1), (1;5), (6;0) A B C
a) Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích tam giác đó.
b) Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của dường cao AH
c) Xác định tọa độ tâm và tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
d) Tính độ dài đường cao AH
Bài 5
Chứng minh rằng trong tam giác ABC không vuông ta có:
tanAtanBtanC tan tan tanA B C
Bài
1a
4
4 5
2
2
x
x x
Điều kiện: x2 4 0 x 2
4
x
x
4
4 5
2
2
x
x
Nghiệm của bpt là ( ; 2) [ 1;2) [4;+ )
Bài
1b
b) x2 2x0
2
x
x
Lập bảng, xét dấu và trả lời tập nghiệm của bpt là [0;2]
Bài
2
Bài 2
Sx2 171,4
Sx 171 , 4
Tính được S y2 1228,6 và S y 1228,6
Nêu được nhận xét
Trang 4
3
Bài 3
Có 5sin4 os4 5
6
c
Đặt t sin 2 cos2 rồi thay vào biểu thức đúng1 t
Biến đổi đến 7
2
A
Bài
4b
Tam giác ABC có: BC2 = AB2 +CA2 nên vuông tại A
SABC = 1
2AB.AC = 10 (đvdt)
Bài
4c
Đường cao AH nhận BC= (5; 5 ) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát của AH là: x y 4 0
Vectơ pháp tuyến của AH là BC= (5; 5 )
=> vectơ chỉ phương của AH là (5;5) hay (1;1)
Phương trình tham số là:
t y
t x
1 3
Bài
4d
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm I đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của BC và R
2
BC
; 7 5;
2 2
I
và R =
2
2 5 2
50
Phương trình đường tròn là: ( 7)2 ( 5)2 25
x y
Bài
BC
AC AB
Đề 3 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: Giải các bất phương trình sau
Trang 5
a) 3x2 b) 5x 4 0 x 4 6 c) x2 3x 2 x3
Bài
2 :Tính các giá trị lượng giác của góc biết sin 2
3
với 0
2
Bài
3 : Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) sin cos
P x x
b) cot tan tan2
Q
Bài 4: Trong kì thi Tiếng Anh, điểm thi của 26 học sinh (thang điểm 100) như sau:
a) Tính số trung bình (chính xác đến hàng phần trăm)
b) Tính số trung vị và phương sai (chính xác đến hàng phần trăm)
c) Tình bày mẫu số liệu trên dưới dạng bảng tần số ghép lớp với các nửa khoảng:
[40; 50); [50; 60); … ; [90; 100)
Bài 5 :Cho ABCcó A(-2 ; 4) , B(5 ; 5) , C(6 ; -2)
a) Viết phương trinh tổng quát của đường thẳng chứa cạnh BC
b) Tính khoảng cách từ A đến đt và tính diện tích của tam giác ABC
c) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
Tìm tâm và bán kính đường tròn (C)
d) Lâp các phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với
ĐÁP ÁN
Bài1
a) 2
1
3
x
x x
x
nghiệm bpt 1 ; 4
3
x
b)5x 4 6 5x 42365x2 8x 4 0
2
2
5
x
x x
x
nghiêm của bpt ; -2 2 ; +
5
x
c) x2 3x 2 x (*)3
Đk 2 3 2 0 1
2
x
x x
x
(*) x2 3x2 (**) x 3
Nếu x 3 0 x 3 thì (**) luôn luôn đúng , kết hợp đk nghiệm của (*) là: x 3 (0,25đ) Nếu x 3 0 x3
9
9
x
Vậy nghiệm của bpt đả cho là ; -7
9
x
Bài 2
2
tan 2
5
cot 5
2
Bài 3
P x x P x x x x
P0 ( vì: sin cos
)
Trang 6
b)
2
2 tan
3
x
x
2
2
2 2 tan
1 tan
3
x Q
x
Bài 5
a)Ta có BC1 ; -7 vtpt n 7 ; 1
pttq 7x+ y- 40=0
b) , 7 2 21.4 402 5 2
d A
2 2
a
a BC
h d A
ABC a
c) Pt đường tròn (C) có dạng 2 2
x y ax by c Toạ độ của A,B,C thoả mản pt (C) ta có
2 2
2 1 20
a b c
Vậy ptđt (C) là 2 2
x y x y (0,5đ) Tâm đường tròn (C) là I(2 ; 1)
Bán kính đường tròn (C) là R 221220 5
d) Gọi pttt của (C) song song với là d d có dạng 7x y c 0 c
Ta có d I d , R 5 7.2 1.12 2 5
c
25 2 15
25 2 15
c c
Vậy có hai đường thẳng thoả mản yêu cầu bài toán
d1: 7x y 25 2 15 0
d2: 7x y 25 2 15 0
Trang 7
Đề 4 Thời gian làm bài 90 phút
Bài1 Giải bất phương trình: a)
2
2
0
b) 2
x x x
Bài 2 Người ta đã thống kê số gia cầm bị tiêu hủy trong vùng dịch của 6 xã A,B, ,F như sau (đơn vị: nghìn con): Xã A B C D E F Số lượng gia cầm bị tiêu hủy 12 27 22 15 45 5 Tính số trung vị, số trung bình , phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng trăm) của bảng số liệu thống kê trên Bài 3 a) Rút gọn biểu thức 0 0 0 0 0 0 cot 44 tan 226 cos 406 cot 72 cot18 cos316 A b) Cho sin(x - ) = 5/13, với x (-/2; 0) Tính cos(2x - 3/2) Bài 4 Chứng minh 2 2 4 4 2 2 4 sin cos cos tan cos sin sin x x x x x x x Bài 5 Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB=25; BC=36; CA=29 Tính đường cao ha đi qua A; Bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác ABC Bài 6.Cho A(1;2), B(3;-4), C(0;6). a) Viết các phương trình tham số và tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC b) (1 điểm) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với đường thẳng (d):3x-7y=0
-Đáp án 1 a) x - -2 -1 5 7 +
x2+3x+2 + 0 - 0 + + +
x-5 - - - 0 + +
7-x + + + + 0
x2+x-2 - - - -
Trang 8
(VT) + 0 - 0 + 0 - // + ĐS: S ( ;2]-1;5 7;
1 b)
2
2
2
2
9 10 0 2
x
x
14 ( ) 5 2 1 10 2
x
VN x
x x x
2. Me=18,5 nghìn; x=21 nghìn; s2 = 164,333 ; s = 12,8 nghìn con
3. a) Để ý: 2260=1800+460; 4060=3600+460; 3160=3600-440 và cot440=tan460
nên 2 tan 46 cos 460 0 0 1
cos 44
cos 44
b) Có sin(x ) sinx= 5
13 sinx =- 5
13; cos(2 3 ) cos ( 2 )
cos( 2 ) sin 2
=-2sinx.cosx Suy ra
12 cos
13
x
x
cos 12
13
x
Vậy cos(2 3 ) 120
x
sin 1 cos cos 1 sin
4
4 4
sin
t an x cos
x x
5. SABC= 45.9.16.20 360 ha=2 720 20
36
S
abc R S
8
S
r
p
6. a)+ Có BC ( 3;10)
suy ra ptTQ của AH: -3(x-1) + 10(y-2) = 0 3x-10y+17=0 + Vtcp của đường cao AH: u (10;3) Pt tham số: 1 10 ,
2 3
t R
b) ; 4 4;
3 3
G
(d) có vtcp u (7;3) Đt qua G song song (d) có Ptts:
4 7 3 , 4 3 3
t R
Trang 9
Đề 5 Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: Giải phương trình và bất phương trình sau:
1.1 2
2x 3x 1 0 1.2 2x2 5x 3
Bài 2: Cho os = ,2 7 c 0
2 Tính các giá trị lượng giác của góc α ? Bài 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-1;3) và vuông góc với đường thẳng -2x+y-1=0 Bài 4: Viết phương trình đường tròn tâm I (0;2) và tiếp xúc với đường thẳng 2x-y+1=0
Bài 5: Chứng minh hệ thức:
tan 2 t anx sin 2 tan2x-tanx x x Bài 6: a) Cho Elip có phương trình chính tắc 2 2 1 25 9 x y Xác định tiêu điểm, đỉnh, độ
dài trục lớn, trục bé của Elip?
b) Viết phương trình độ chính tắt của Elip có độ dài trục bé bằng 2 10 và tiêu điểm F 1( 5;0)
ĐÁP ÁN Bài Bài Nội dung 1 1.1 Nhị thức x-1 có nghiệm x=1 Nhị thức 2x- 1 có nghiệm x=1/2
Bảng xét dấu: x -∞ 1/2 1 +∞
x-1 - 0 + +
2x-1 - - 0 +
VT + 0 - 0 +
1
( ; ] [1;+ ) 2 S 1.2 2x2 5 x3 2 2 3 0 2 5 3 x x x 2
3 6 14 0 3 23 x x x x S 3 23; 3 23 2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 45 os sin 1 sin 1 os sin 1 7 49 c c Vì 0 2 nên 45 3 5 sin 0 sin 49 7
Trang 10
c c
3 Gọi là đường thẳng đi qua M(-1;3) và vuông góc với d: -2x+y-1=0.
Do d nên vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của .
(1; 2)
n
Vậy phương trình đường thẳng là: 1(x+1)+2(y-3)=0
hay x+2y-5=0
4 Gọi (C) là đường tròn cần tìm có tâm I(0;2) và tiếp xúc với
: 2x-y+1=0
Do (C) tiếp xúc với đương thẳng : 2x-y+1=0 nên:
R=d(I, )= 2.0 1.2 1 1
Vậy (C): 0 2 2 2 1
5
5
sin 2 sinx tan 2 t anx os2x cosx
sin(2 ) tan2x-tanx
os2x.cosx
x
VT
x x c
sin 2 sinx sinx
x
2 2
2 2 2
25 9 16 4
c
Độ dài trục lớn: 2a=10
Độ dài trục bé: 2b=6
Tiêu điểm: F1( 4;0), (4;0) F2
Đỉnh:
1 2
( 5;0), (5;0) (0; 3), (0;3)
6.2
Gọi phương trìmh chính tắc của Elíp có dạng
x y
a b , với a>b>0
Độ dài trục bé bằng 2 10 nên b 10 b2 10, Tiêu điểm
2
F c c
2 2 2
10 5 15
a b c Vậy phương trình chính tắc của Elíp là:
1
15 10
x y
Trang 11
Đề 6 Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
Giải bất phương trình:
2 3 2 0 5
x
Bài 2:
Cho các số liệu thống kê:
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất;
b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt
Bài 3: Chứng minh:
os x 2sin os 1 sin
Bài 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm, điểm A 1;4 và 1
2
2;
: a) Chứng minh rằng OAB vuông tại O;
b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH của OAB;
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp OAB
Bài 5:
Chứng minh rằng: tan 5 tan 55 tan 650 0 0 2 3
Đáp án Bài 1: Giải bất phương trình: 2 3 2 0
5
x
§K: x 5
2
5 0 5
x
x x
x
Bảng xét dấu:
x -2 -1 5
x2 + 3x + 2 + 0 - 0 + | +
- x + 5 + | + | + 0
-VT + 0 0 + ||
-Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ;2 1;5 S Bài 2: a) Bảng phân bố tần số - tần suất: Giá trị x Tần số Tần suất (%) 111 112 113 114 115 116 117 1 3 4 5 4 2 1 5 15 20 25 20 10 5 n=20 100 b) Số trung bình:
Trang 12
1
1.111 3.112 4.113 5.114 4.115 2.116 1.117
20
*Số trung vị: Do kích thước mẫu n = 20 là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng thứ vµ 1
n n
đó là 114 và 114
Vậy M e 114
*Mốt: Do giá trị 114 có tần số lớn nhất là 5 nên ta có: M 0 114
Bài 3: Chứng minh:
os 2sin os 1 sin
os 2sin os
x
Bài 4
a)Ta cã : OA 1;4 , OB 2;
2 1
2
Vậy tam giác OAB vuông tại O
b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH:
2
Ta cã : OA= 1 4 17; OB= 2 =
AB = 2 1 4 1
Do tam giác OAB vuông tại O nên ta có:
OH.AB = OA.OB
17 17
OH
2
Do OHABnên đường cao OH nhận vectơ AB làm vectơ pháp tuyến, ta có: AB 1; 9
2
Vậy phương trình của đường cao OH đi qua O(0;0) và nhận AB 1; 9
2
làm vectơ pháp tuyến là:
(x – 0) - 9
2(y – 0) = 0 x 9y 0
2
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB:
Do tam giác OAB vuông tại O, nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm I của cạnh AB, ta có:
A B I
A B I
x
y
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: R AB 85
Vậy phương trình đường tòn ngoại tiếp tam giác OAB là:
