Chương năm: Dãy và chuỗi số thực ppsx

GIAI TICH 1 - CHUONG 5 170DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC CHƯƠNG NĂM Để xây dựng một rào ngăn khán giả tràn vào sân thi đấu bóng đá, ta cần tính chu vi p của một hình như bên cạnh.. Nhưng khi đưa v

Trang 1

GIAI TICH 1 - CHUONG 5 170

DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC

CHƯƠNG NĂM

Để xây dựng một rào ngăn khán

giả tràn vào sân thi đấu bóng đá,

ta cần tính chu vi p của một hình

như bên cạnh Hình này gồm hai

cung tròn và hai đoạn thẳng, mỗi

cung là một phần tư của một

đường tròn có bán kính 60 mét

Trang 2

Nếu bạn học toán để đạt huy chương Field, thì công

thức trên quá tốt Nhưng khi đưa vào các đề án thi công

thực tế, chúng ta phải dùng một trong các giá trị của p

Trang 3

Định nghĩa Cho f là một ánh xạ từ Õ vào — , đặt

a n = f(n) với mọi n  Õ , ta nói a n là một dãy số thực

Thí dụ 1 {sin(n 3 + 2n)} laø một dãy số thực

Thí dụ 2 Đặt a1 = 3,14, a2 = 3,141, a3 = 3,1415 ,

a4 = 3,14159 , a5 = 3,141592 , a6 = 3,1415926 ,

a7 = 3,14159265 , a8 = 3,141592653 , a9 = 3,1415926535 , Đây là dãy số giúp chúng ta chọn các giá trị gần

đúng của số p theo các sai số cho phép trong các tính

toán cụ thể

Nay ta xem cách mô hình ý tưởng trên của các nhà toánhọc

Trang 4

Định nghĩa Cho {x n } là một dãy số thực và một số

Ta xem mô hình toán học của ý tưởng đồng nhất một số

thực a với một dãy các giá tri xấp xĩ của nó như sau

Trang 5

Bài toán 18 Chứng minh {n-1} hội tụ về 0

  > 0  N()  Õ sao cho

| x n - a | <   n > N()Cho một  > 0 tìm một N()  Õ sao cho

1 3

1 4

N( )+  k

1

N( )+1  1

Chúng ta nên mô hình toán học như sau : đặt xn = n-1 với

mọi số nguyên dương, và chứng minh {xn} hội tụ về 0

Trang 6

Cho một  > 0 tìm một N()  Õ sao cho

1 3

1 4

N( )+  k

1

N( )+1  1

Trang 7

Có một số nguyên dương N() :  -1 < N() 1

Cho một  > 0 có N()  Õ sao cho

 -1 < n  n > N()

 -1 < N() 1 < n  n > N()

Trang 8

Bài toán 19 Cho {x n } là một dãy số thực sao cho có

một số thực dương C để cho

| x n | § n-1C  n  Õ Chứng minh {x n } hội tụ về 0

| x n - 0 | <   n > N()

| x n | <   n > N()Cho một  > 0 tìm một N()  Õ sao cho

n-1C <   n > N()Cho một  > 0 tìm một N()  Õ sao cho

-1C < n  n > N()

Trang 9

Bài toán 20 Chứng minh {2-n } hội tụ về 0

Chứng minh có một số thực C sao cho

Trang 10

Trang 11

| x n - a | <   n > N()

Trang 12

Cho một ’ > 0 ta có một M(’)  Õ sao cho

| x n - a | § ’  n > M(’)Cho một  > 0 tìm N()  Õ sao cho

| x n - a | <   n > N()

Cho , đặt ’ =  , ta có M(’) , đặt

N() = M(’) = M(  )

1 2

<    1

2 Cho một  > 0 tìm N()  Õ sao cho

| x n - a |  1  n > N()

2 

Trang 13

Trang 14

Định nghĩa Cho g là một ánh xạ từ tập hợp các sốnguyên dương Õ vào Õ Đặt

Trang 15

Cho g là một

ánh xạ từ Õ vào

Õ và f là một

ánh xạ từ Õ vào

— Đặt

x n = f(n)  n œ Õ

b k = fog(k)  k œÕ

Ta thấy fog cũng là một ánh xạ từ Õ vào —

Vậy {x n} và {b k} là các dãy số thực

Trang 16

Cho { x n } là một dãy số thực và một số thực a

Ta nói dãy { x n } hội tụ về a nếu và chỉ nếu

Trang 17

Trang 18

Nếu g(n) = 5n+3 ta ký hiệu là x 5n+3

k n

x

Nếu g(n) = 2n ta ký hiệu là x 2n

k n

x

Nếu g(n) = 2n+1 ta ký hiệu là x 2n+1

k nx

Trang 19

Bài toán 21 Cho một dãy số thực {a n} Chứng minh

ba điều sau đây tương đương

(1) {a n} hội tụ về a trong —

(2) {a n - a } hội tụ về 0 trong —

(3) {|a n - a |} hội tụ về 0 trong —

Trang 20

Trang 21

Để tính chúng ta thường làm như sau

Trang 22

Ta thấy các dãy số {a n } và {b n} lần lượt là các dãy cácsố xấp xĩ  và 2 , hay {a n } và {b n} lần lượt hội tụ  và 2

Theo cách làm thông thường, chúng ta chấp nhận {s n} làdãy số thực xấp xĩ cho số Chúng ta sẽ chứngminh việc chấp nhận này là đúng theo bài toán sau.s   2

Trang 23

Bài toán 22 Cho hai số thực a và b và hai dãy số

thực {a n} và {b n} Giả sử {a n} hội tụ về a và {b n}

hội tụ về b Đặt c = a +b và c n = a n + b n với mọi số

nguyên dương n Chứng minh {c n} hội tụ về c

Cho một  > 0 ta có N()  Õ sao cho

Trang 24

|(a k + b k ) -(a+b )| < +’  k > N() và k > M(’)

|(a k + b k ) -(a+b )| < +’  k > max {N(), M(’) }

Trang 25

Cho một ” > 0 tìm K(”)  Õ sao cho

| (a k + b k ) - (a +b )| < ”  k > K(”)

|(a k + b k ) -(a+b )| < + ’  k > max { N() , M(’) }

Cho một ” > 0 , chọn

 = ’ = ”1

2 và K(”) = max { N() , M(’) }

Trang 26

Bài toán 23 Cho hai số thực a và b và hai dãy số

thực {a n} và {b n} Giả sử {a n} hội tụ về a và {b n}

hội tụ về b Đặt c = a.b và c n = a n b n với mọi số

nguyên dương n Chứng minh {c n} hội tụ về c

Trang 27

Trang 28

Trang 29

Cho  > 0, có N()  Õ sao cho | a n - a| <   n > N() Cho ’ > 0, tìm M(’) Õ sao cho | c m - a -1 | < ’ m

>M(’)

Bài toán 23b Cho số thực a khác không và dãy số

thực {a n} sao cho a n khác không với mọi n Giả sử

{an} hội tụ về a Đặt với mọi số nguyên

dương n Chứng minh {c n} hội tụ về a-1

Trang 30

Cho  > 0, có N()  Õ sao cho | a n - a| <   n > N()

Cho ’ > 0, tìm M(’) Õ sao cho | c m - a -1 | < ’ m

Có N()  Õ sao cho | a n - a| <   n > N()

| a n |  |a| - | a - a n | > |a| -  = 2-1|a|  n > N()

Trang 31

Bài toán 24 Cho một số thực a và ba dãy số thực

{a n}, {b n} và {x n} Giả sử

(i) a n § x n § b n với mọi số nguyên dương n

(ii) {a n} và {b n} hội tụ về a

Chứng minh {x n} hội tụ về a

Trang 32

a n x n b n

|x k - a| < ’ + 2  k > N() và k > M(’)

|x k-a| § | b k-ak | +| a k - a | § | b k-a | + | a k - a |+ | a k - a |

Trang 33

Bài toán 26 Cho hai dãy số thực {a n}và{b n}sao cho

Trang 34

Chứng minh a n § b m " m , n œ Ù

[a n , b n ] Õ [a m , b m ] " m , n œ Ù , m § n [a s , b s ] Õ [a r , b r ] " r , s œ Ù , r § s

Trang 35

Bài toán 27 Cho hai dãy số thực {a n}và{b n}sao cho

Trang 36

Bài toán 28 Cho hai dãy số thực {a n}và{b n} sao cho

Trang 37

Bài toán 29 Cho hai dãy số thực {a n} và{b n}sao cho

Trang 38

Bài toán 30 Cho ba dãy số thực {a n}, {b n } và{x n}saocho

(i) [a n , b n ] Õ [a m , b m ] " m , n œ Ù , m § n ,

(ii) limkØ¶ ( b k - a k ) = 0 ,

(iii) x n  [a n , b n ] " n œ Ù

Chứng minh {x n} là một dãy hội tụ

limkØ¶ a k = limkØ¶ b k = supn œ Ù a n (bài toán 29)

Trang 39

Cho {x n} là một dãy số thực Cho J là một tập con trong Õ và J có vô hạn phần tử

Dùng qui nạp toán học ta đặt

n1 = min J

n2 = min J \ [ 0 , n1]

n 3 = min J \ [0 , n 2]

n k+1 = min J \ [0 , n k ] " k œ Õ

Ta thấy {n k } là một dãy đơn điệu tăng trong Õ

Vậy {xnk } là một dãy con của dãy {x n}

Trang 40

Bài toán 31 Cho một ánh xạ f từ  vào tập {1,2, , 9}

Đặt x n = f(n) với mọi số nguyên dương n Tìm một dãy

con của {x{ n } n} sao cho hội tụ

Có r  {1,2, , 9} sao cho I r là tập có vô hạn phần tử

Đặt J = I r và lập dãy { n } tương ứng với J

Trang 41

Cho {x n} là một dãy số thực Cho {J n} là một họ

đếm được các tập con trong Õ Giả sử J n có vô hạn

phần tử và J n+1 Õ J n với mọi số nguyên dương n

Ta thấy {n k } là một dãy đơn điệu tăng trong Õ

Vậy{xnk } là một dãy con của dãy {x n}

Dùng qui nạp toán học ta đặt

n1 = min J1

n2 = min J2 \ [ 0 , n1]

n 3 = min J3 \ [0 , n 2]

n k+1 = min J k+1 \ [0 , n k ] " k œ Õ

Trang 42

Định lý 6.1 (Bolzano- Weierstrass) Cho a và b là hai số

thực và x n  là một dãy số thực Giả sử a < b và

x n  [a,b] với mọi số nguyên n Lúc đó có một dãy con

của dãy x n  sao cho {x n } hội tụ về x  [a, b].

k

{ xn }

k

Trang 43

Định lý (Bolzano- Weierstrass) Cho a và b là hai số

thực và x n  là một dãy số thực Giả sử a < b và

x n  [a, b] với mọi số nguyên n  Õ Lúc đó có một dãy con của dãy x n  sao cho hội tụ về x trong [a, b].

Vì J’1  J”1 =  Nên một trong hai tập J’1 và J”1 phải

có vô hạn phần tử Ta giả sử J’2 có vô hạn phần tử

Đặt [ , ]= , ta có a b1 1 [ , ] [ , ] và ( - ) = 2 ( - ) a b1 1  a b b a1 1 -1 b a

Trang 44

Vì J’2  J”2 = J”1 Nên một trong hai tập J’2 và J”2

phải có vô hạn phần tử Ta giả sử J”2 có vô hạn phần tử

Trang 45

phải có vô hạn phần tử Ta giả sử J”3 có vô hạn phần tử

Trang 46

phải có vô hạn phần tử Ta giả sử J’4 có vô hạn phần tử

Trang 47

x n  [a, b] với mọi số nguyên n  Õ Lúc đó có một dãy con của dãy x n  sao cho hội tụ về x

k

n

x

Dùng qui nạp toán học, ta tìm được các số thực a1 , ,

an , , b1 , , bn , sao cho an < bn  n và

Trang 48

Định nghĩa Cho { x n } là một dãy số thực Ta nói dãy

{ x n } là một dãy Cauchy nếu và chỉ nếu

  > 0  N()  Õ sao cho

| xn - x m | <   n > m > N()

Bài toán 32 Cho { x n } là một dãy số thực hội tụ về

a Chứng minh { x n } là một dãy Cauchy

Trang 49

Cho { x n } là một dãy số thực hội tụ về a Chứngminh { x n } là một dãy Cauchy

Trang 50

Trang 51

Bài toán 33 Cho { x n } là một dãy số thực Cauchy

Chứng minh A = { x n : n œ Ù} bị chặn trong —

Tìm một số thực M sao cho | x n | § M " n œ Ù

Trang 52

Bài toán 34 Cho {x n} là một dãy số thực Cauchy và a là một số thực Giả sử {x n} có một dãy con hội tụ

về a Chứng minh {x n } hội tụ về a {x n k }

Trang 53

Trang 54

Bài toán 35 Cho {x n }là một dãy số thực Cauchy Chứng minh {x n } hội tụ

Có một số thực dương M sao cho

| x n | § M  n  Õ Có một số thực dương M sao cho

{ x n } hội tụ về a.

{ x n } có một dãy con hội tụ về a {x n }

k

Trang 55

Bài toán 36 Cho n là một số nguyên dương Đặt

x n = (2!)- 1 + (4!)- 1 + (6!)- 1 + + (2n!)-1  n  Õ

Chứng minh {x n } hội tụ

x n - x m =[(2!)- 1+ + (2m!)-1 + (2(m+1)!)-1+ + (2n!)-1 ]

- [(2!)- 1+ +(2m!)-1] = (2(m+1)!)-1+ +(2n!)-1

Chứng minh {x n } là một dãy Cauchy

Cho một  > 0 tìm N()  Õ sao cho

| xn - x m | <   n > m > N()

| x n - x m | § 2-m -1 + + 2-n + + § 2 -m  n > m

Cho một  > 0 tìm N()Õ sao cho 2-m <   n> m> N()

Trang 56

In[1]:= N[Sum[1/((2*i)!), {i, 1, 11}]]

54303558704685860

442352756503219469470958629076

Trang 57

Trang 58

Bài toán 37 Cho a n  là một dãy số thực đơn địệu tăng và bị chặn trên Đặt A =  a n : n  Õ 

Lúc đó a n  sẽ hội tụ về a = sup A

Cho một  > 0 tìm N()  Õ sao cho

Trang 59

Trang 60

Bài toán 38 Cho a n  là một dãy số thực đơn địệu tăng và không bị chặn trên Lúc đó a n  sẽ hội tụ về ¶

a m § a n " m , n œ Õ , m § n

" M œ — ta có một n œ Õ sao cho a n  M

" M > 0 ta tìm một N œ Õ sao cho a m  M " m  N

Bài toán 39 Cho a n  là một dãy số thực đơn địệu giãm và bị chặn dưới Đặt A =  a n : n  Õ 

Lúc đó a n  sẽ hội tụ về a = inf A

Bài toán 40 Cho a n  là một dãy số thực đơn địệu giãm và không bị chặn dưới Lúc đó a n  sẽ hội tụ về - ¶

Trang 61

Cho một dãy số thực a n Đặt

Trang 62

Trang 63

Trang 64

Cho a n = (-1)n n với mọi n Õ

Trang 65

Cho a n = (- 1)n với mọi n Õ

Trang 66

Trang 67

Trang 68

Trang 69

Trang 70

Cho a n = (- 1)n với mọi n Õ

Trang 71

Bài toán 41 Cho một dãy số thực a n Giả sử

và đều là các số thực Chứng minh

limsup an liminf an



Trang 72

Bài toán 42 Cho một dãy số thực a n Giả sử :

và đều là các số thực và bằng nhau

Chứng minh ann hội tụ và

Trang 73

A m = a n : n  m b m = sup A m c m = inf A m

limsup n lim m

m n

Trang 74

A m = a n : n  m b m = sup A m c m = inf A m

limsup n lim m

m n

Trang 75

Bài toán 44 Cho A là một tập khác rổng bị chặn trên

trong  Đặt B = {-x : x  A } Chứng minh B bị chặn dưới và sup A = - inf B

Trang 76

 + inf B là một chặn dưới của B

Bài toán 45 Cho A là một tập khác rổng bị chặn dưới

trong  Đặt B = {-x : x  A } Chứng minh B bị chặn

trên và inf A = - sup B

Trang 77

Bài toán 46 Cho một dãy số thực a n Đặt bn = - a n

 n  Õ Chứng minh

n n

Trang 78

Cho x m  là một dãy số thực Với mọi số nguyên n  Õ

Lúc đó ta gọi s là chuỗi số của các số trong dãy

x m và ký hiệu s là và nói chuỗi số x n hội tụ

n



 1

Trang 79

Bài toán 48 Chứng minh chuỗi hội tụ và

s n = 2-1( 1+ + 2-n+1) = 1- 2-n " n œ Õ (qui nạp toán học)

Trang 80

Bài toán 49 Cho c œ (0 , 1) Chứng minh chuỗi

hội tụ và

c m

m



 1

c c

c

Trang 81

Bài toán 49 Chuỗi  (  ) phân kỳ

Đặt x m = (-1)m với mọi m œ Õ và

s n = (-1) 1 + + (-1)n " n œ Õ

s n = -1 nếu n lẻ và s n = 0 nếu n chẳn

{sn } không là một dãy Cauchy

{sn } không hội tụ

Chuỗi  (  ) phân kỳ

Trang 82

GIAI TICH 1 - CHUONG 5 k 1ak hội tụ 251

Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Cho a n  là một dãy số thực Lúc đó chuỗi số hội tụ nếu và chỉ nếu với mọi số thực  > 0, có một số nguyên dương N () sao cho

Trang 83

Định lý Cho và là hai chuỗi số thực hội tụ Lúc đó hội tụ và

k n

Trang 84

Bài toán 50 Cho a n là một dãy số thực Giả sửchuỗi k1ak hội tụ Chứng minh dãy a n hội tụ về 0

Với mọi số thực ’ > 0, tìm một số nguyên dương K(’)

Tiêu đề	Dãy Và Chuỗi Số Thực
Trường học	Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên (HUS) [https://hus.edu.vn]
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo trình

Định dạng
Số trang	90
Dung lượng	333,11 KB