PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ THỰC ppsx

Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối tợng có thể liệt kê ra đợc hoặc có cùng một tính chất chung nào đó.. Các đối tợng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp.. Tập con của một tập

Trần văn minh _nguyễn cao nhạc

Nguyễn huy hoàng_Phí thị vân anh

đặng thị mai

Phép tính

giải tích HàM

một biến số thực

(Tài liệu toán A2 dùng cho cán bộ,

sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế )

nhà xuất bản giao thông vận tải

hà nội- 2003

Chơng I

Tập hợp-ánh xạ- tập số thực

1.1 Tập hợp

1 Khái niệm về tập hợp

Tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản không đợc định nghĩa Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối tợng có thể liệt kê ra đợc hoặc có cùng một tính chất chung nào đó

Các đối tợng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp

Một tập hợp thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: A,B,C Còn các phần tử của tập hợp thờng đợc

ký hiệu bằng các chữ in thờng: a,b, ,x,y,z Nếu x là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX, còn x không là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX

Tập A gồm các phần tử x có tính chất p ký hiệu

A={x p(x)} hay A={x:p(x)}

Ví dụ 1.1:

a N là tập các số tự nhiên: N={0,1,2, ,n, }

b Z là tập các số nguyên: Z={0,+1,-1,+2,-2, }

c Q là tập các số hữu tỉ: Q={p/q p,q Z;q0}

d Pn(t)={x(t)=a0+a1t+ +antn aiR} là tập các đa thức bậc không lớn hơn n với các hệ số thực

e C[0,1]={x(t) x(t) liên tục trên [0,1]}

2 Tập con của một tập hợp

Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập X thì ta nói A là tập con của X và ký hiệu: AX Hai tập X, Y đợc gọi là bằng nhau nếu XY và YX, ký hiệu X=Y Một tập hợp không có phần tử nào ta gọi

là tập hợp rỗng, ký hiệu 

Ta thấy: N Z Q và Pn(t)  C[0,1]

Ví dụ 1.2: A={x x2+1=0,xR}=

3 Các phép toán trên tập hợp

a Phép hợp: Ta gọi hợp của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu AB, gồm các phần tử thuộc ít nhất một

trong hai tập A hoặc B

AB ={x xA hoặc xB}

b Phép giao: Giao của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu AB, gồm các phần tử thuộc đồng thời cả A và

B

AB ={x xA và xB}

c Hiệu của hai tập hợp: Hiệu của A và B là tập hợp, ký hiệu A\B, gồm các phần tử thuộc A nh ng

không thuộc B

A\B ={x xA, xB}

d Phần bù: Nếu AX thì X\A gọi là phần bù của A trong X, ký hiệu CxA.

Chú ý: Các phép toán hợp và giao có thể suy cho một số tuỳ ý các tập hợp.

e Các tính chất: Các phép toán của tập hợp có các tính chất sau:

1 Giao hoán AB = BA , AB = BA

2 Kết hợp (AB)C = A(BC)

(AB)C = A(BC)

3 Phân phối A(BC) = (AB)(AC)

A(BC) = (AB)(AC)

4 Công thức De Morgan

X\ (AB) = (X\A) (X\B) X\ (AB) = (X\A)(X\B) công thức De Morgan đúng cho một họ tuỳ ý các tập hợp

f Tích Đề các của các tập hợp

Định nghĩa 1: Cho hai tập X,Y ta gọi tích Đề các của X và Y là tập hợp, ký hiệu X Y gồm các phần tử

sắp thứ tự (x,y) sao cho xX, yY Nh vậy:

XY ={(x,y)  xX, yY}

Mở rộng cho tích Đề các của n tập hợp ta có:

X1 X2 Xn ={(x1,x2, ,xn)  xiXi (i=1 ,n)}

Khi X1= X2= = Xn= X ký hiệu X1 X2 Xn =Xn

Hai phần tử bằng nhau:

Cho (x1,x2, ,xn), (x’1,x’2, ,x’n) X1 X2 Xn

ta định nghĩa: (x1,x2, ,xn)= (x’1,x’2, ,x’n) xi=x’i (i=1 ,n)

Ví dụ 1.3:

a Cho X={0,1}, khi đó: X2=XX={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

b Rn={(x1,x2, ,xn)xiR, i=1 ,n}

1.2 ánh xạ

1 Các định nghĩa

Định nghĩa 2: Cho hai tập X,Y, một ánh xạ f từ X vào Y là một quy tắc cho ứng mỗi phần tử x X với

một phần tử y=f(x) Y xác định trên Y Ký hiệu:

f: XY, x y=f(x)

X gọi là tập nguồn hay miền xác định của f Với AX tập f(A)={f(x)Y xA}gọi là ảnh của tập A qua

ánh xạ f Khi đó tập f(X) gọi là miền giá trị của f

Với BY tập f -1(B)={xX f(x)B} gọi là nghịch ảnh của tập B

Tập {(x,f(x))xX} XY gọi là đồ thị của f

2 Đơn ánh, Toàn ánh, Song ánh

Định nghĩa 3: ánh xạ f: XY

- Gọi là đơn ánh nếu từ f(x1)=f(x2) suy ra x1=x2

- Gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y

- Gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

Ví dụ 1.4:

(i) f: NN : f(n)=2n+1 là một đơn ánh

(ii) f: RR+ : f(x)=x2 là toàn ánh nhng không là đơn ánh

(iii) Ix: XX Ix (x)=x là một song ánh trên X và gọi là ánh xạ

đồng nhất

3 Tích các ánh xạ

Định nghĩa 4: Cho f: XY và g: YZ là hai ánh xạ, khi đó

h: XZ đợc xác định bởi h(x)=g(f(x)) đợc gọi là tích của hai ánh xạ f và g và viết h=gof

Hệ quả 1: Cho hai ánh xạ: f: XY và g: YZ, khi đó:

a Nếu h=gof là đơn ánh thì f là đơn ánh

b Nếu h=gof là toàn ánh thì g là toàn ánh

Chứng minh:

a f(x1)=f(x2) g(f(x1))=g(f(x2)) h(x1)=h(x2), nhng do h là đơn ánh nên x1=x2 , do đó f là đơn ánh

b Ta có f(X)Y, do h là toàn ánh nên:

Z=h(X)=g(f(X)) g(Y) Z

Vậy g(Y)=Z hay g là toàn ánh

4 ánh xạ ngợc và điều kiện tồn tại

Định nghĩa 5: Cho f: XY Nếu g: YX sao cho:

fog = Iy và gof = Ix

thì g đợc gọi là ánh xạ ngợc của f, ký hiệu g=f-1 Hiển nhiên f cũng là ánh xạ ngợc của g

Định lý 1: Nếu f: XY là một song ánh thì luôn tồn tại ánh xạ ngợc và ánh xạ ngợc là duy nhất.

Chứng minh: Vì f là toàn ánh nên với mỗi yY tồn tại xX sao cho y=f(x), do f là đơn ánh nên x ứng

với y trên là duy nhất Do vậy ta xác định đợc duy nhất ánh xạ g: YX mà g(y)=x sao cho f(x)=y Hiển nhiên f(g(y))=f(x)=y= Iy và g(f(x))=g(y)=x= Ix

5 Lực lợng của tập hợp

Ta nói hai tập X, Y cùng lực lợng hay tơng đơng nếu có song ánh f:XY

Cho tập I={1,2,…,n} mọi tập X t,n} mọi tập X tơng đơng I gọi là tập hữu hạn và viết cardX=n

Tập hợp có cùng lực lợng với tập số tự nhiên N gọi là tập vô hạn đếm đợc

Tập các số nguyên Z và tập các số hữu tỷ Q là các tập vô hạn đếm đợc

Tập có lực lợng lớn hơn N là tập vô hạn không đếm đợc, tập các số vô tỷ Q và tập các số thực R là các tập vô hạn không đếm đợc

1.3 Sơ lợc về logic mệnh đề

1 Mệnh đề

Mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, nhng không đồng thời vừa đúng vừa sai

Ví dụ 1.5: a= Các điểm trên đờng tròn cách đều tâm.

b= Các điểm trên Elip cách đều gốc toạ độ

Ta thấy a là mệnh đề đúng, còn b là mệnh đề sai

Ta thờng dùng các chữ cái p,q,r để chỉ các mệnh đề Nếu p là mệnh đề đúng ta nói p có giá trị đúng, nếu q là mệnh đề sai ta nói q có giá trị sai Thay cho đúng và sai ta quy ớc giá trị của mệnh đề đúng bằng

1, giá trị của mệnh đề sai bằng 0

Các mệnh đề có giá trị thay đổi gọi là các biến mệnh đề Nh vậy một biến mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị hoặc 1 hoặc 0

Ví dụ 1.6: p= Tam giác ABC có hai góc bằng nhau Khi đó:

 1 nếu ABC là tam giác cân p=

 0 nếu ABC không là tam giác cân

2 Các phép toán logic

a Phép phủ định: Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề, ký hiệu ┐p, với:

khi p khi p









b Phép tuyển: Tuyển của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu p q, với:

 0 nếu p=0 và q=0 pvq=

 1 với các trờng hợp còn lại

c Phép hội: Hội của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu pq, với:

 1 nếu p=1 và q=1 pq =

 0 với các trờng hợp còn lại

d Phép kéo theo: Mệnh đề “p kéo theo q” là mệnh đề, ký hiệu p q, với:

 0 nếu p=1 và q=0 pq=

 1 với các trờng hợp còn lại

e Phép tơng đơng: Mệnh đề “p tơng đơng q”, ký hiệu pq, có nghĩa: pq  qp

3 Các lợng từ với mọi và tồn tại

a Hàm mệnh đề: Cho một tập X, một ánh xạ P:X{0,1} đợc gọi là một hàm mệnh đề xác định trên

tập X Ký hiệu :p=p(x)

Nh vậy ứng với mỗi xX xác định một mệnh đề p(x)

Ví dụ 1.7: P :R {0,1}: x2-2x+1=0 Khi đó:

p=



 1 0

1 1

x khi

x khi



Ví dụ 1.8: Các phép toán lôgíc là các hàm mệnh đề sau:

Phép phủ định là hàm: P:{0,1}{0,1} với P(0)=1, P(1)=0

Các phép tuyển, hội, kéo theo, tơng đơng, tơng ứng là các ánh xạ từ X2={0,1}2{0,1} đợc cho bởi bảng sau:

x y xy xy xy xy

0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1

b Miền đúng của hàm mệnh đề

Ta gọi tập Ep(x)={xX p(x)=1} là miền đúng của hàm mệnh đề p(x) Hai hàm mệnh đề p(x) và q (x) cùng xác định trên X đợc gọi là tơng đơng nếu Ep(x)=Eq(x) , ký hiệu: p(x)q(x)

Ví dụ 1.9:

P(x)= x2- 3x+20 khi đó Ep(x)=[1,2]

c Lợng từ

Cho T(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X Khi đó:

(i) Mệnh đề (xX) T(x) (đọc là với mọi x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu ET(x)=X và

đợc gọi là lợng từ phổ biến

(ii) Mệnh đề (xX) T(x) (đọc là tồn tại x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu ET(x)

và gọi là lợng từ tồn tại

Ví dụ 1.10:

a=x[1,2] : x2- 3x+20

b=x R: x2- 3x+20

là các mệnh đề đúng

d Phủ định của các lợng từ

┐(xX) T(x)= (xX) ┐T(x)

┐( xX) T(x)=(xX) ┐T(x) 1.4 Quan hệ

1 Quan hệ

Định nghĩa 6: Cho tập X, ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X nếu R XX Với x,yX ta nói x

có quan hệ với y nếu (x,y)R và viết xRy

Định nghĩa 7: Ta nói quan hệ hai ngôi R trên X:

(i) Có tính phản xạ nếu xX, ta đều có xRx.

(ii) Có tính đối xứng nếu x,yX mà xRy thì yRx

(iii) Có tính bắc cầu nếu xRy và yRz thì xRz

(iv) Có tính phản đối xứng nếu với x,y mà đồng thời có

xRy và yRx thì x=y

Ví dụ 1.11: Trên tập các số nguyên dơng Z+, xét quan hệ R nh sau: xRy x

y

Ta thấy R là quan hệ có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng nhng không có tính đối xứng

3 Quan hệ tơng đơng

Định nghĩa 8: Một quan hệ hai ngôi R trên X đợc gọi là quan hệ tơng đơng nếu R có tính phản xạ ,đối xứng và bắc cầu Nếu R là quan hệ tơng đơng thì xRy ký hiệu xy Nh vậy một quan hệ là tơng đơng thì:

+ xx xX

+ xy  yx

+ xy, yz xz

Ví dụ 1.12: Trên tập Z các số nguyên, n là một số nguyên dơng xét quan hệ: xRyx-y chia hết cho n

Ta thấy quan hệ này là quan hệ tơng đơng và gọi là quan hệ đồng d modulo n trên Z và ký hiệu xy(mod n)

4 Quan hệ thứ tự

a Định nghĩa

Một quan hệ hai ngôi trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự nếu R có tính phản xạ, phản xứng và bắc cầu Nếu R là quan hệ thứ tự thì xRy ký hiệu xy, nh vậy một quan hệ là quan hệ thứ tự thì:

+ xx xX

+ Nếu xy, yx thì x=y

+ xy, yz  xz

Nếu quan hệ thứ tự thoả mãn điều kiện: x,yX hoặc xy hoặc yx thì ta gọi nó là quan hệ thứ tự toàn phần

Tập X cùng với một quan hệ thứ tự “” trên nó đợc gọi là tập đợc sắp thứ tự và ký hiệu (X, ), nếu

“” là quan hệ thứ tự toàn phần thì (X, ) đợc gọi là đợc sắp thứ tự toàn phần

Ví dụ 1.13: Các tập (N, ), (Z, ) và (Q, ) với quan hệ  là các tập đợc sắp thứ tự toàn phần.

b Cận trên và cận dới của một tập hợp sắp thứ tự

Định nghĩa 9: Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự, AX, A đợc gọi là bị chặn trên nếu: qX, aq,

aA Khi đó q đợc gọi là một phần tử chặn trên của A

Nếu q là phần tử chặn trên của A và với mọi phần tử chặn trên q’ của A ta đều có qq’ thì q gọi là cận trên của A và ký hiệu:

q= supA Nếu qA khi đó q đợc gọi là phần tử lớn nhất của A, ký hiệu:

q=maxA

Định nghĩa 10: Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự, AX, A đợc gọi là bị chặn dới nếu: pX, pa,

aA Khi đó p đợc gọi là một phần tử chặn dới của A

Nếu p là phần tử chặn dới của A và với mọi phần tử chặn dới p’ của A ta đều có p’p thì p gọi là cận dới của A và ký hiệu:

p= infA Nếu pA khi đó p đợc gọi là phần tử nhỏ nhất của A, ký hiệu:

p=minA

Tính chất: Nếu A có cận trên (hoặc cận dới) thì cân trên (cận dới) là duy nhất.

Định nghĩa 11: Tập A đợc gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dới.

1.6 Tập số thực R

1 Số thực

a Số hữu tỷ

Gọi N là dãy các số tự nhiên: N={0,1,2,…,n} mọi tập X t …,n} mọi tập X t,n, }

Z là tập các số nguyên, ta có: Z={0,1,2,…,n} mọi tập X t n, }, …,n} mọi tập X t

Khi đó tập Q các số hữu tỷ là:

Q=















 , 0 ,

:p q Z q q

p

Mỗi số hữu tỷ là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1.14: 0 , 25

4

1

8

1



1666 , 0 6

1

11

17





b Số vô tỷ

Một số không biểu diễn đợc dới dạng p q Z

q

p

 , , gọi là số vô tỷ Nh vậy tập các số vô tỷ là Q, đó là tập các số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Ví dụ 1.15: 2=1.414213562…  =3,141592…,n} mọi tập X t

sin(20 o )=0.342020143…cos(15 o )= 0.965925826…

c Số thực

Số thực là số hữu tỷ hoặc vô tỷ, ký hiệu tập số thực là R Vậy:

R=QQ

2 Một số tính chất của tập số thực

Các tính chất sau đây của tập số thực R đợc sử dụng để chứng minh một số định lý quan trọng trong lý thuyết hàm một biến số thực

a R là tập đợc sắp thứ tự toàn phần

Xét quan hệ hai ngôi R trên R nh sau: x R y nếu xy Ta thấy R là quan hệ thứ tự trên R Thật vậy: + Tính phản xạ: xR: xx

+ Tính bắc cầu: nếu xy và yz, ta có xz

+ Tính phản đối xứng: nếu xy và yx ta có x=y

Mặt khác x,yR: ta có hoặc xy hoặc yx nên R là tập đợc sắp toàn phần Vậy (R, ) là một tr-ờng sắp thứ tự toàn phần

b R là tập có tính đầy

Nếu A là tập con không rỗng của R và bị chặn trên khi đó tồn tại supA Nếu A là tập con không rỗng của R và bị chặn dới khi đó tồn tại infA

Tính chất trên gọi là tính đầy của R

c R là tập trù mật

Cho a,b R, và có a<b, khi đó tồn tại ít nhất một cR mà a<c<b

Thật vậy ta có thể chọn c=

2

b

a 

Vì a<c, c<b nên ta lại có thể chọn đợc phần tử nằm giữa a, c và phần tử nằm giữa c,b Quá trình tiếp tục ta thấy có vô số phần tử nằm giữa a,b

Tính chất trên gọi là tính trù mật của R

3 Lân cận trong R

a -lân cận

Cho điểm x0R và một số >0 bất kỳ có thể bé tuỳ ý Ta gọi tập:

U(x0)=xR:x0 xx0

là một -lân cận của x0 Tập:

U(x0-0)=xR:x0  xx0

là một -lân cận trái của x0 Tập:

U(x0+0)=xR:x0 xx0

là một -lân cận phải của x0

Nh vậy U(x0) là khoảng mở: (x0-, x0+) còn U(x0-0) và U(x0+0) là các khoảng mở (x0-, x0) và (x0,

x0+) Khi  đủ nhỏ xU(x0), nghĩa là x đủ gần x0 và cách x0 một khoảng nhỏ hơn 

b Lân cận

Tập U(x0) đợc gọi là một lân cận của x0 nếu tồn tại >0, sao cho U(x0) U(x0)

c R là tập tách

Cho ab, giả sử a<b ta chọn 0<<

3

a

b 

khi đó U(a) U(b)=, nh vậy dù a,b khá gần nhau ta vẫn tách đợc a, b bằng các lân cận rời nhau và ta gọi R là tập tách đuợc

d Điểm vô cực

Ta đa vào hai số thực mở rộng, đó là hai số có tính chất sau:

+ là số thoả mãn: xR: x<+

- là số thoả mãn: xR: -<x

Nh vậy xR ta có: -<x<+ dó đó ta có thể viết R=(-,+) Khi đó cho M>0, ta gọi các tập:

UM(+)=xR:xM

UM(-)=xR:x M

tơng ứng là M- lân cận của + và -.

4 Các khoảng số thực

Ta gọi các tập sau là các khoảng số thực:

1 [a,b]={ xRaxb}

2 [a,b)={ xRax<b}

3 (a,b]={ xRa<xb}

4 (a,b)={ xRa<x<b}

5 [a,+)={ xRax}

6 (a,+)={ xRa<x}

7 (-,b]={ xR xb}

8 (-,b)={ xR x<b}

9 (-,+)={ xR-<x<+}

Cho tập XR, khi đó x0 đợc gọi là điểm trong của X nếu  U(x0) một -lân cận của x0 sao cho:

U(x0)X Một tập mà mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong thì đợc gọi là tập mở Nếu mọi U(x0) của x0

đều vừa chứa các điểm thuộc X vừa chứa các điểm không thuộc X thì x0 đợc gọi là điểm biên của X Một tập mà chứa mọi điểm biên của nó thì đợc gọi là tập đóng

Ví dụ 1.16:

Các khoảng:

(a,b)={ xRa<x<b}, (a,+)={ xRa<x}

(-,b)={ xR x<b}, (-,+)={ xR-<x<+}

là các tập mở và gọi là các khoảng mở

Khoảng [a,b] là tập đóng và gọi là khoảng đóng

Bài tập chơng I

1 Chứng minh rằng

a A\B= AB

b Nếu AB ,CD thì ACBD

2 Cho A,B,C là các tập tuỳ ý, chứng minh các đẳng thức sau:

a A\(A\B)= AB

b A(B\C)= (AB)\( AC)

c A(B\A)= AB

3 Tìm mối liên hệ giữa các tập sau:

A={ xR: x2+2x >1} và B={ xR: x> 2 - 1}

4 Chứng tỏ rằng các ánh xạ f: RR sau là đơn ánh nhng không là toàn ánh

a f(x)= 3 2

2

x x



 b f(x)=2 1

2

x x





5 Chứng tỏ các ánh xạ f: RR sau là toàn ánh nhng không là đơn ánh.

a f(x)= x

x

3 2

1 1



 b f(x)=

2

2

x x x



6 Chứng tỏ các ánh xạ f: RR sau là song ánh

a f(x)= 2x+1 b f(x)= x x

x

3 2

1



7 Cho ánh xạ f:XY,A,BX, chứng minh rằng:

a f(AB)= f(A)f(B) b f(AB)f(A)f(B)

8 Chứng minh rằng tích đề các của tập hợp có tính phân phối với phép hợp và giao hai tập hợp

a Ax(BC)=(AxB)(AxC) b.Ax(BC)=(AxB)(AxC)

9 Cho mệnh đề P(x)= x2-5x+6>0

a Tìm Ep(x)

b Tìm tập X để mệnh đề (xX, P(x)) là mệnh đề sai

c Tìm tập X để mệnh đề ( x X, P(x)) là mệnh đề đúng

10 Cho E={0,1}, tìm tập E3

11 Cho f:RR xác định bởi biểu thức: f(x)= x2+4x-5  xR Hãy tìm f(1), f(A), f -1(A) với A={ xR: -2x2}

12 Cho Z là tập các số nguyên và a,b,c,dZ mà ad-bc=1 Xét ánh xạ f: Z2Z2 với f(x,y)=(ax+by,cx+dy) Chứng tỏ f là một song ánh, hãy viết công thức của f -1

13 Cho biết 3có là một số vô tỷ không, tại sao?

14 a Cho A={x2x+1Z, 5x+2Z} Chứng ming rằng A=Z

b Cho B={xx3+xQ, 3x2+1Q} Chứng ming rằng B=Z