Mà theo định nghĩa giá trị tuyệt đối thì a ≥0.
Trang 1§2 Căn thức bậc haivà hằng đẳng thức A =2 A
Định lí: Với mọi số thực a, ta có a2 = a
Chứng minh:
Theo định nghĩa căn bậc hai số học, ta phải chứng minh
( )a 2 = a2 và a ≥ 0
Thật vậy :
Nếu a ≥ 0, ta có 2
a
a = nên (a)2 = Nếu a < 0, ta có 2 2
) ( a a a
Do đó, 2
)
( a = a2 với mọi a
Mà theo định nghĩa giá trị tuyệt đối thì a ≥0
Vậy : a2 = a
Bài tập
6 Tìm điều kiện của x để các căn bậc hai sau có nghĩa
x
−
b − x−5
c −x2 +6x+7
d
1 2
2
x
e x2 + 4
Giải
a − x2 có nghĩa ⇔ 2
0
x
− ≥ Mà 2
0
x ≥ ∀ Vậy x = 0 x
b − x−5
có nghĩa ⇔ − − ≥x 5 0
5 0
Vậy − x−5 có nghĩa khi x = 5
c −x2 +6x+ có nghĩa 7
Trang 2( )( )
2
6 7 0
x
⇔ − + + ≥
⇔ − ≤ ≤
2
x có nghĩa
2
2 1 0
x
Ta được một BĐT luôn đúng với mọi x , vậy căn thức trên luôn xác định với mọi x ∈ R
e Ta có : 2
4 0 ,
x + > ∀ Vậy căn thức này luôn xác định với x
mọi x ∈ R
7 Tính
a 4+2 3 b 7−4 3
Giải
4 2 3+ = 3 2 3 1+ + = 3 1+ = 3 1+
(do 3 1 0+ > )
2
7 4 3− = 2 −2.2 3+ =3 2− 3 = −2 3
(do 2− 3 > ) 0
8 Rút gọn :
1
1 2 1
2 2
+
+ +
− +
=
x
x x
x A
b B= x2 − +4 x4 +8x2 +16
Giải
a A = 1 1
1
x x
x
+ + −
+
Trang 31 khi x > -1
1 1
1 khi x<-1
1 khi x > 1
-x khi x < -1
x x
x x x
x x
+
⎧ + −
⎪− − +
⎩
−
⎧
= ⎨
⎩
= − + + (do x2 + 4 >0)
2
2x
=
9 Tìm x biết:
a) 2
c) 9x4 = d) 2
x = 3x – 8
Giải
a 2
x = 7⇔ x = ⇔ = ± 7 x 7
b 2
x = − ⇔ x = ⇔ = ± x
x = ⇔ x = ⇔ = ± x
d 2
10 Chứng tỏ:
1 4 1
4 + = −
4 9 4
9 + = −
9 16 9
16 + = −
Hãy viết tiếp
= + 16
25
= + 25
36
Giải
2 1
4 1
VP
−
− Tương tự các em chứng minh các đẳng thức tiếp theo
Trang 4Luyện tập
11 Tính
a) 16 25 + 196 : 49
b) 36: 2.32.18 − 169
c) 81
4
3 +
Giải
a) 16 25+ 196 : 49 =4.5 14 : 7+ =10
36 : 2.3 18− 169 =36 : 3 6 −13= − 11
c) 81 = 9 = 3
3 +4 = 25 = 5
12 Tìm x để căn thức sau có nghĩa
a) 72x+ b) 4− x3 +
c)
x
+
−1
1+ x
Giải
a 72x+ có nghĩa khi 2 7 0 7
2
x+ ≥ ⇔ ≥ − x
b − x3 +4 có nghĩa khi 3 4 0 4
3
− + ≥ ⇔ ≤
c
x
+
−1
1 có nghĩa khi
1
0
1
x x
⎪ ⇔ − + > ⇔ >
− +
⎨
⎪− + ≠
⎩
1+ x luôn luôn được xác định do 1 + x2 > 0 x∀
13 Rút gọn
2 a −5a với a < 0
25a + 3a với a ≥ 0
9a + 3a2 với a bất kì
4
5 a − 3a3 với a bất kì
Giải
2 a −5a =2 a −5a = − −2a 5a= − (vì a < 0) 7a
Trang 5b) 2
25a +3a =5 a +3a =5a+3a =8a (vì a ≥ 0)
9a +3a =3a +3a =6a
5 4a −3a =10 a −3a
10 3 7 khi 0
10 3 13 khi 0
= ⎢
⎣
14 Phân tích thành nhân tử
a) x2 – 3 b) x2 – 6
c) x2 + 2 3x + 3 d) x2 − 2 5x + 5
Hướng dẫn :
x2 – 3 = x2 – ( 3)2 = (x− 3)(x+ 3)
Giải
b x2 – 6 = (x− 6)(x+ 6)
c x2 + 2 3x + 3 =( )2
3
x+
d x2 − 2 5x + 5=( )2
5
x−
15 Giải phương trình
a) x2 – 5 = 0 b) x2 – 2 11 x + 11 = 0
c) 4x2 = x+2 d) (x+2)2 = 2x+1
Giải
a x2 – 5 = 0 2
b x2 – 2 11 x + 11 = 0 ( )2
2 0
x
⎧⎡ = +
⎪⎢
= + ⇔ = + ⇔ ⎨⎣ = − −
⎪ + ≥
⎩ 2
2 2
2 3
3 2
x
x x
x x
⎧ =⎡
=
⎡
⎪⎢
⇔ ⎨⎢ = − ⇔ ⎢
= −
⎣
⎪ ≥ −
⎩
Kết luận : x =2 hay x= 2
3
−
Trang 6d 2
(x+2) =2x+ ⇔ + =1 x 2 2x+ 1
1
2 2 1
1
1
1
2 1 0
2
x
x
x
⎧ =⎡
⎧ + =⎡ + ⎪⎢
⇔ ⎨⎣ + = − − ⇔ ⎨ ⇔ =
16 Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh sau:
2
2
⎛ − ⎞ = − +⎛ ⎞ = − + = − + =
⎛ − ⎞ = − +⎛ ⎞ = − + = − + =
Vậy :
⎛ − ⎞ =⎛ − ⎞
Khai phương hai vế ta có : 3 5 2 5
− = −
Cộng hai vế trên cho 5
2 ta có : 3 = 2 !!!
Giải
Bài tóan sai ở chỗ khai phương hai vế, ta có
2
⎛ − ⎞ = − = −
2
− > )
2
⎛ − ⎞ = − = −
2
− < )
Chứng minh 3 = 4 Hỏi SAI ở đâu ?
Giải sử a + b = c
4 3
⇔ =
Trang 7BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1
Tìm giá trị của x để mỗi biểu thức sau đây có nghĩa :
a x4− d 5− x2 +4x−
x 6x 7
4
1
2 −
x
c
( 1)
1
−
x
2
8
3
x
−
Bài 2
Phân tích thành nhân tử :
a a− 9 (vớia≥ 0) c a2 −5
4
7− a d 5 a− (với a ≥ 0)
Bài 3
Tính :
a 34+2 c 7−4 3
b 211+6 d 27−10 2
Bài 4
Chứng minh rằng :
⎩
⎨
⎧
<
≥
−
=
− +
2 x nếu 2
2 x nếu )
1 ( 2
x x
b
⎩
⎨
⎧
≤ +
>
−
=
− +
−
3 x nếu 3 2x
-3 x nếu 3 9
6
2
x x
x
Bài 5
Giải các phương trình sau đây :
a x2 − x6 +9 =3
b x2 −6x+9 = 2(x−1)
c x2 −8x+16 = 4− x
d x2 −2x+1 = x2 −1
Hướng dẫn :
Trang 8Đưa về dạng :
B O
≥
⎧
⎪
= ⇔ ⎨⎡ =
⎢
⎪⎣ = −
⎩