Chương 7: CHUỖI SỐ – CHUỖI LUỸ ppsx

Để áp dụng đợc dấu hiệu so sánh 1 xét sự hội tụ của mộtchuỗi số ta phải tiến hành qua các bớc nh sau: B ớc 1: Kiểm tra tính dơng của chuỗi số đã cho... số dơng đã biết hội tụ hay phân k

xếp theo một quy luật nào đó.

Thông thờng, ngời ta ký hiệu dãy số bởi:

số này đợc viết gọn nh sau: {2n + 1}

Định nghĩa 7.2 Cho dãy số {un} Tổng tất cả các số hạng của dãy số trên

n n

u

+∞

=

∑1

Một chuỗi số không phải là chuỗi số dơng, không phải là chuỗi số âm,không phải là chuỗi số đan dấu thì đợc gọi là chuỗi số bất kỳ.

u

+∞

=

∑1

héi tô lµ: (∀ε >0),(∃Nε > 0: ∀ m,n > Nε) ⇒S m− S n< ε.

Hệ quả 7.1.1. Điều kiện cần để chuỗi số n

hội tụ hay phân kỳ

Ví dụ 7.4

(i) Chuỗi

n

n n

1 (s là hằng số) đợc gọi là chuỗi Dirichlet Chuỗi

này hội tụ khi s > 1 và phân kỳ khi s ≤ 1

Nhận xét 7.3. Đối với chuỗi số Dirichlet và chuỗi số nhân chúng ta chỉ cầnnhìn vào s hoặc q là có thể kết luận đợc chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ.

Chẳng hạn:

1 là chuỗi số hội tụ vì nó là chuỗi số Dirichlet có s = 2 > 1.

7.2 Sự hội tụ của chuỗi số dơng

(Kết quả trên vẫn đúng cho chuỗi số không âm).

Nhận xét 7.4 Để áp dụng đợc dấu hiệu so sánh 1 xét sự hội tụ của mộtchuỗi số ta phải tiến hành qua các bớc nh sau:

B

ớc 1: Kiểm tra tính dơng của chuỗi số đã cho

số dơng đã biết hội tụ hay phân kỳ rồi; so sánh đợc với chuỗi số đã cho.

Để đa ra chuỗi số thứ hai ta phải dựa vào chuỗi số đã cho và chuỗi số nhân (hoặc chuỗi số Dirichlet).

Ví dụ 7.5 Xét sự hội tụ của các chuỗi: a)

+∞

∑ 2 1

1 là chuỗi dơng và là chuỗi Dirichlet hội tụ vì

Theo dấu hiệu so sánh 1, chuỗi đã cho phân kỳ

Nhận xét 7.5 Nếu trong ví dụ 7.5, ở phần a) mẫu số 3n2 + 1 đợc thay bởi 3n2 − k hoặc ở phần b) mẫu số 3n − 2 đợc thay bởi 3n + k (với k là hằng số d-

ơng) Thì chúng ta không thể áp dụng dấu hiệu so sánh 1 đợc Để khắcphục, sau đây chúng ta đa ra dấu hiệu so sánh 2

7.2.2 Dấu hiệu so sánh 2

§Þnh lý 7.3. Cho hai chuçi sè d¬ng n

→+∞ = k ≠ 0, h÷u h¹n Th× hai chuçi sè trªn cïng héi tô hoÆc cïng ph©n kú.

héi tô Tõ (7.2) ta cã: un < k3

2 vn (∀ n >N0)

áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n

Từ (i) đến (iiii) ⇒ (đpcm)

Nhận xét 7.6. Để áp dụng đợc dấu hiệu so sánh 2 xét sự hội tụ của chuỗi

số chúng ta cũng phải chải qua các bớc nh trong nhận xét 7.4

Ví dụ 7.6. Xét sự hội tụ của các chuỗi: a)

+∞

∑ 2 1

1 là chuỗi dơng và là chuỗi Dirichlet hội tụ vì

3 là chuỗi dơng và là chuỗi nhân phân kỳ vì

q > 1 Mặt khác: ( )

n n n

n

u lim lim v

+

5 3

3 2 5 = 1 ≠ 0, hữu hạn

Theo dấu hiệu so sánh 2, chuỗi đã cho phân kỳ

Chú ý 7.2 Trong dấu hiệu so sánh 2, ta mới chứng minh đợc cho trờng hợp

→+∞ = k ≠ 0, hữu hạn Nếu k = 0 hoặc k = +∞ thì dấu hiệu so sánh 2 còn

đúng nữa không ? Sau đây chúng ta xét cụ thể cho từng trờng hợp.

(i) Nếu k = 0 ⇔ n n

n

u lim v

Nh vậy, nếu k = 0 Thì dấu hiệu so sánh 2 không đúng nữa mà chỉ có thể kết luận nh sau:

phân kỳ.

(ii) Nếu k = +∞ ⇔ n n

n

u lim v

Nh vậy, nếu k = +∞ Thì dấu hiệu so sánh 2 không đúng nữa mà chỉ

phân kỳ.

Nhận xét 7.7 Muốn áp dụng các dấu hiệu so sánh1 và dấu hiệu so sánh 2

để xét sự hội tụ của chuỗi số dơng Chúng ta phải đa ra đợc chuỗi dơng thứhai đã biết hội tụ hay phân kỳ rồi và so sánh đợc với chuỗi đã cho Tuynhiên, việc đa ra chuỗi thứ hai thoả mãn các điều kiện nh trên không phảitrờng hợp nào cũng thuận lợi Để khắc phục sau đây chúng ta đa ra hai

điều kiện đủ khác (thuận lợi hơn) để xét sự hội tụ của chuỗi số dơng

7.2.3 Dấu hiệu D′Alembert.

n

n

n u

lim lim

+ +

n

n u

chuỗi số thì chuỗiđã cho hội tụ

2

1

103

hạn Theo dấu hiệu so sánh 2, chuỗi đã cho phân kỳ

7.2.4 Dấu hiệu Cauchy.

(ii) Trên đây chúng ta đã trình bầy các điều kiện đủ để một chuỗi số dơng hội tụ hay phân kỳ, theo thứ tự: dấu hiệu so sánh 1, so sánh 2, dấu hiệu

D′Alembert và dấu hiệu Cauchy Tuy nhiên, khi áp dụng chúng ta nên đi theo chu trình ngợc lại Tức là, sử dụng các dấu hiệu D′Alembert và

Cauchy trớc, nếu không đợc (k =1) thì sử dụng dấu hiệu so sánh 2, cũng không đợc thì sử dụng dấu hiệu so sánh 1 nếu không đợc nữa thì sử dụng

điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Ví dụ sau đây khẳng định điều đó.

Ví dụ 7.9. Xét sự hội tụ của chuỗi n

Giải Dễ dàng kiểm tra đợc chuỗi trên không áp dụng đợc các dấu hiệu

D′Alembert và Cauchy (vì trong cả hai trờng hợp đó ta luôn tìm đợc k =1).

Việc sử dụng các dấu hiệu so sánh 1 và so sánh 2 để xết sự hội tụ của chuỗi

7.3 Sự hội tụ của chuỗi số đan dấu

7.3.1 Định nghĩa chuỗi số đan dấu.

Định nghĩa 7.4 Chuỗi số đan dấu là một chuỗi số có một trong các dạng

sau: ( )n

n n

=

−+

∑ 2 11

1

2không phải là chuỗi đan dấu vì u1 = −1< 0, u2 = 1

2> 0

Nhận xét 7.9

(i) Số hạng tổng quát của ( )n

n n

7.3.2 Sự hội tụ của chuỗi số đan dấu.

Định lý 7.7 (định lý Leibnitz) Nếu chuỗi số đan dấu ( )n

n n

Tõ (7.7) vµ (7.8) suy ra { S2k} lµ d·y kh«ng gi¶m vµ bÞ chÆn trªn bëi

u1 khi k → +∞ Theo tiªu chuÈn tån t¹i giíi h¹n thø hai th× tån t¹i

k lim S k

→+∞ 2 = I ≤ u1 (7.9)MÆt kh¸c, v× n lim u n

=

−+

(ii) Đối với chuỗi đan dấu dạng ( )n

n n

Leibnitz chỉ đúng khi n > N (với N là số nguyên dơng nào đó) Thì vẫn kết luận đợc sự hội tụ của chuỗi đan dấu đó nhng không kết luận đợc chuỗi đó

+∞

=

−+

∑ 2 1

+ +∞

=

−+

∑ 2 11

Xây dựng chuỗi ( )n

n n

+ +∞

=

−+

∑ 2 11

1

n n

(tính chất về sự hội tụ của chuỗi số), mà ( )n

n n

+∞

=

−+

∑ 2 1

1

16 hội tụ

Nhận xét 7.10. (i) Nếu chuỗi số đan dấu có điều kiện (ii) của định lý

Leibnitz không thoả mãn (tức là, n lim u n

bằng k ≠ 0) Thì chuỗi số đan dấu đó phân kỳ vì không thoả mãn điều kiệncần để một chuỗi số hội tụ

(ii) Nếu chuỗi số đan dấu có điều kiện (i) của định lý Leibnitz không

thoả mãn và điều kiện (ii) của định lý thoả mãn Thì ta cha thể kết luận gì

về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đan dấu đó, vì định lý Leibnitz chỉ làmột điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để chuỗi số đan dấu hội

tụ Ví dụ sau đây sẽ khẳng định điều đó

Ví dụ 7.12. (a) Cho chuỗi số ( )n

+ +∞

kiện (ii) nhng không thoả mãn điều kiện (i) của định lý Leibnitz.

tụ (tổng của hai chuỗi hội tụ) và là chuỗi thoả mãn điều kiện (ii) nhng

không thoả mãn điều kiện (i) của định lý Leibnitz.

(c) Xét chuỗi số đợc cho bởi: u2k-1= ( ) k

Đây là chuỗi số đan dấu phân kỳ thoả mãn điều kiện (ii) nhng không

thoả mãn điều kiện (i) của định lý Leibnitz.

là chuỗi số bất kỳ thì chuỗi n

hội tụ còn chuỗi n

đợc gọi là chuỗi bán hội tụ.

Nếu cả hai chuỗi n

đều hội tụ thì chuỗi n

đợc gọi là chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Ví dụ 7.13 Dễ dàng kiểm tra đợc các kết quả sau:

Tập hợp tất cả các điểm tụ của một chuỗi hàm đợc gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó.

hội tụ tại

các điểm kπ với mọi k = 1, 2, 3,

7.5.2 Chuỗi luỹ thừa.

Định nghĩa 7.8. Chuỗi luỹ thừa là một chuỗi hàm số có một trong các

dạng sau:

n n n

a x

+∞

=

∑1

(1), ( )n

n n

+∞

=

−+

(ii) Chuỗi luỹ thừa dạng (2) luôn đa đợc về dạng (1) bằng cách đặt y =

x −x0 Vì vậy để xét sự hội tụ của chuỗi luỹ thừa chúng ta chỉ cần xét sựhội tụ của chuỗi luỹ thừa dạng (1)

7.6 Sự hội tụ của chuỗi luỹ thừa

7.6.1 Định lý Abel.

Định lý 7.9 Nếu chuỗi luỹ thừa n

n n

a x

+∞

=

∑1

hội tụ tại x 0≠ 0 thì chuỗi luỹ thừa

đó hội tụ tuyệt đối tại mọi x màx< x 0.

Chứng minh. Vì chuỗi luỹ thừa n n

x x

hội tụ tuyệt đối khi |x| ≤ |x0|.(đpcm)

Hệ quả 7.9.1. Nếu chuỗi luỹ thừa n

n n

Giả sử tồn tại x 0 sao cho: x 0> x 1và chuỗi n n

hội tụ tại x 0 Thì

x 1 ≠ 0, theo định lý Abel chuỗi n n

hội tụ tuyệt đối khi |x| ≤ |x 0| Do đó

chuỗi hội tụ tại x 1 Trái với giả thiết, suy ra ( đpcm)

Nhận xét 7.13 Đối với chuỗi luỹ thừa mà bằng cách nào đó chúng ta tìm đợc hai điểm x 0, x 1≠ 0 (x 0 < x 1); tại x 0 chuỗi hội tụ, tại x 1 chuỗi phân kỳ Thì

kết luận đợc chuỗi hội tụ trên (−|x 0|; |x 0|), phân kỳ trên (−∞;−|x 1|) ∪ (|x 1|;+∞),còn trên [−|x 1|; −|x 0|] và [|x 0|;|x 1|] phải xét riêng

Vấn đề đặt ra là với một chuỗi luỹ liệu có hay không một số a > 0 sao

cho chuỗi hội tụ khi |x| < |a| và phân kỳ khi |x| > |a|?

Ngời ta đã chứng minh đợc với mỗi chuỗi luỹ thừa luôn tìm đợc một

số r ≥ 0 sao cho chuỗi hội tụ khi |x| < |r| và phân kỳ khi |x| > |r|

Định nghĩa 7.8. Nếu tồn tại số r ≥ 0 sao cho chuỗi luỹ thừa n n

hội tụ khi |x| < |r| và phân kỳ khi |x| > |r| (khi r > 0) Thì r đợc gọi là bán kính hội

tụ của chuỗi luỹ thừa n

n n

a x

+∞

=

∑1

7.6.2 Phơng pháp tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa.

Dựa vào các dấu hiệu D′ Alembert và Cauchy về sự hội tụ của chuỗi

số dơng ngời ta chứng minh đợc định lý sau:

Định lý 7.10. Nếu chuỗi luỹ thừa n

n n

cho là r = 1 Hay chuỗi đã cho hội tụ khi | x| < 1 và phân kỳ khi | x| > 1.

(sử dụng định lý Leibnitz) Vậy chuỗi luỹ thừa đã cho hội tụ tại x = −1

Vậy miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa đã cho là: [−1; 1)

211

Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là r = 1 Hay chuỗi đã cho hội

tụ khi | x −1| < 1 và phân kỳ khi | x −1| > 1

1 Đây là chuỗi số dơng và là chuỗiDirichlet hội tụ Vậy chuỗi luỹ thừa đã cho hội tụ tại x −1 = 1

1 hội tụ

n n

2

lim lim lim n

Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là r = 0 hay chuỗi luỹ thừa đã

cho hội tụ tại duy nhất điểm x = 0.

3

1

Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là r = 1 Hay chuỗi đã cho hội

tụ khi | x + 2| < 1 và phân kỳ khi | x+ 2| > 1

Tại x + 2 = 1, ta có chuỗi số:

n

n n

+∞

=

−+

∑ 3 1

+∞

=

−+

∑ 3 7

Tại x + 2 = −1, ta có chuỗi số: ( )n

n

n n

Tại x ≠ 0 Nếu tồn tại số N 0 nguyên, dơng sao cho a n ≠ 0 (∀ n > N 0) và tồn tại giới hạn:

n lim a x x lim a n

→+∞ = →+∞ = k(x) (7.12) Thì ta có thể sử dụng dấu hiệu D′Alembert hoặc dấu hiệu Cauchy đối với chuỗi số dơng để tìm miền hội tụ của luỹ thừa đã cho nh sau:

Nếu giới hạn (7.11) [hoặc (7.12)] tồn tại thì theo dấu hiệu D′Alembert

(hoặc dấu hiệu Cauchy) chuỗi n n

Với mỗi x < −3 chuỗi luỹ thừa đã cho là chuỗi số đan dấu và viết đợc

n n

thừa đã cho phân kỳ khi x < −3

⇒ chuỗi phân kỳ, hay chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại x = −3.

⇒ MHT của chuỗi luỹ thừa đã cho là (−3;3)

7.6.3 Đạo hàm và tích phân từng số hạng của chuỗi.

Định lý 7 11. Nếu chuỗi luỹ thừa n

n n

2 2

7.6.4 Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa.

Định lý 7 12. Nếu hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp tại x0 và đạo hàm các cấp của nó liên tục trong một lân cận nào đó của x0 thì nó khai triển đợc thành chuỗi luỹ thừa tại x0 Khi đó,

(i) f(x) = sin x theo luỹ thừa của x.

(ii) f(x) = cos x theo luỹ thừa của x.

(iii) f(x) = ln x theo luỹ thừa của x −1

Giải. (i) f(x) = sin x là hàm có đạo hàm mọi cấp tại x = 0 và

f(n)(x) = sin ( x n+ π )

2 Nên f(x) = sin x khai triển đợc thành chuỗi luỹ thừa tại x = 0 và

của chuỗi số; chứng minh tính chất thứ 3 về sự hội tụ của chuỗi số

Khi đó có thể nói gì về sự hội

a) Cả hai chuỗi (A) và (B) đều hội tụ?

b) Một trong hai chuỗi hội tụ còn chuỗi kia phân kỳ?

c) Cả hai chuỗi (A) và (B) đều phân kỳ?

từ đó suy ra điều kiện cần để một chuỗi số hội tụ

luận gì về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đã cho?

sánh 2, Dalambe và Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số dơng Chứng minhdấu hiệu so sánh 2; mỗi dấu hiệu đó là diều kiện cần hay điều kiện đủ hay

điều kiện cần và đủ để một chuỗi số dơng hội tụ?

tụ của chuỗi số dơng có áp dụng để xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây

là các chuỗi số hội tụ, đồng

thời u n ≤ t n ≤v n(∀ =n 1 2, , ) Chứng minh rằng chuỗi số n

Nếu các chuỗi (A) và (B) cùng phân kỳ thì có thể nói gì về sự hội tụcủa chuỗi (C)?

Câu 10: Phát biểu và chứng minh định lý Lepnit về sự hội tụ của chuỗi số

n n

miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa

n n

x0≠ 0 thì nó phân kỳ tại mọi x mà | x| > | x0|. mỗi

tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

chuỗi luỹ thừa trên miền hội tụ của nó áp dụng kết quả trên vào việc tínhtổng