Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THANH VÂN

MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ

DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THANH VÂN

MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ

DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Thái Nguyên - 2015

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tạị Trường Đại học Khoahọc, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc Thầy

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này, tôi xinđược gửi tới Thầy lòng biết ơn sâu sắc

Tôi xin được cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đãcho tôi cơ hội được học tập và hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảngdạy nhiệt tình, tâm huyết của các thầy, cô giáo

Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng và Trường Trung họcphổ thông Hồng Bàng, nơi tôi công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thànhkhóa học này

Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi

để hoàn thành nhiệm vụ của mình

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Học viênNguyễn Thị Thanh Vân

Tôi xin cam đoan Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơcấp với đề tài " Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực " là do tôithực hiện, không sao chép và không trùng lặp về nội dung với bất kỳ tài liệunào cùng chủ đề Các tài liệu mà tôi tham khảo trong quá trình hoàn thànhLuận văn này được trích dẫn đầy đủ.

Học viênNguyễn Thị Thanh Vân

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Mở đầu 1

1 Một số bài toán nâng cao về dãy số 3 1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số Các dãy số đặc biệt 3

1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số 3

1.1.2 Các dãy số đặc biệt 4

1.2 Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp 6

1.2.1 Dẫn luận 6

1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân 7

1.2.3 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số 13 1.2.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa dãy lặp phi tuyến 15

1.3 Một số bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số 19

1.3.1 Dẫn luận 19

1.3.2 Một số bài toán 19

1.4 Giới hạn của các dãy số 24

1.4.1 Lý thuyết tóm tắt 24

1.4.2 Một số bài toán 25

1.5 Các tính chất của dãy số 43

2 Một số bài toán liên quan đến chuỗi số 50 2.1 Các khái niệm cơ bản về chuỗi số 50

2.1.1 Khái niệm cơ bản 50

2.1.2 Chuỗi hội tụ 51

2.1.3 Các phép toán của chuỗi hội tụ 52

2.2 Hội tụ của các chuỗi số dương 52

2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh hơn thua 52

2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh tỷ lệ 52

2.2.3 Tiêu chuẩn D’ Alembert 53

2.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 53

2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân 53

2.2.6 Tiêu chuẩn Raabe 53

2.2.7 Tiêu chuẩn Gauss 54

2.2.8 Một số chuỗi dương đặc biệt 54

2.3 Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu 55

2.3.1 Chuỗi có dấu bất kỳ 55

2.3.2 Chuỗi đan dấu 55

2.4 Một số bài toán về tính toán hoặc đánh giá các chuỗi 56

2.4.1 Tìm tổng của các chuỗi 56

2.4.2 Đánh giá các chuỗi 60

2.5 Các bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số 64

Mở đầu

Dãy số và giới hạn của dãy số là chuyên mục quan trọng của Giải tíchToán học được dạy ở bậc Trung học Phổ thông Các bài toán về dãy số cósức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp và tính độc đáo của các phương pháp và kỹthuật giải các bài toán khác nhau về dãy số

Các vấn đề cơ bản của dãy số bao gồm: xác định số hạng tổng quát, tìmgiới hạn và một số tính chất, như tính bị chặn, tính đơn điệu, tính nguyên v.v Các bài toán về dãy số thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp,nhất là cấp Quốc gia và Quốc tế Vì thế, việc tìm hiểu và học hỏi nâng cao vềdãy số và các bài toán liên quan là cần thiết trong việc học tập và giảng dạyToán học ở bậc Phổ thông

Một vấn đề Toán học khác có liên quan mật thiết với dãy số, đó là chuỗi

số (tổng vô hạn) Theo định nghĩa, chuỗi số là giới hạn của dãy số dạng tổng

ak, trong đó {ak} là dãy số vô hạn cho trước Trong Giải tích 11 đã

có giới thiệu qua về tổng vô hạn, đó là tính tổng vô hạn các số hạng của mộtcấp số nhân có công bội với trị tuyêt đối nhỏ hơn 1 Các vấn đề về xét tínhhội tụ của chuỗi cũng như tính toán hay đánh giá các tổng vô hạn rất thú vị

và có nhiều ứng dụng thực tiễn Vì thế, chuỗi số thực cũng là đối tượng được

đề cập trong luận văn này

Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập đến một số vấn đề cơ bản của dãy

số và chuỗi số thông qua các phương pháp giải các bài toán về dãy và chuỗi số

mà đa phần ở mức nâng cao hoặc khó Nội dung của luân văn này được hìnhthành chủ yếu từ tài liệu [6]

Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài

liệu tham khảo.

Chương 1: Một số bài toán nâng cao về dãy số: gồm các khái niệm cơ bản

về dãy số, hệ thống một số bài toán về dãy số với bài toán về dãy số lặp, bàitoán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của dãy

số, bài toán sử dụng các tính chất của dãy số

Chương 2: Một số bài toán liên quan đến chuỗi số: gồm các khái niệm cơbản về chuỗi số, hệ thống một số bài toán về chuỗi số như tính toán và đánhgiá chuỗi số, bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số dương

Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tôi đã trình bày đầy đủcác khái niệm cơ bản, giải tường minh các bài toán miêu tả Đặc biệt làm sáng

tỏ các khái niệm và các kết quả, các bài toán được tính toán cẩn thận, đầy đủ

và chi tiết Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài liệutrích dẫn

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Học viênNguyễn Thị Thanh Vân

1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số Các dãy số đặc

biệt

1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số

Định nghĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên dương

Z+ (hoặc tập các số tự nhiên N) Dãy số là một hàm số từ A vào R Các sốhạng của dãy số thường được ký hiệu là an, bn, xn, yn, un, vn, Dãy số thườngđược ký hiệu là (xn) hoặc {xn}

Định nghĩa 1.2 Dãy số (un) được gọi là tăng (tăng không ngặt, giảm, giảmkhông ngặt), nếu un < un+1 (un ≤ un+1, un > un+1, un ≥ un+1).

Định nghĩa 1.3 Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại số M,sao cho un ≤ M, ∀n Dãy được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số m, sao cho

un ≥ m, ∀n Dãy số được gọi là bị chặn, nếu tồn tại các số M, m, sao cho

m ≤ un ≤ M, ∀n

1.1.2 Các dãy số đặc biệt

1 Cấp số cộng

Định nghĩa 1.4 Dãy số (un), n ∈ N∗, được gọi là cấp số cộng, nếu bắt đầu từ

số hạng thứ hai, số đứng sau bằng số đứng liền trước cộng với một số khôngđổi d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng Vậy ta có

2 Cấp số nhân

Định nghĩa 1.5 Dãy số (un), n ∈ N∗, được gọi là cấp số nhân, nếu bắt đầu từ

số hạng thứ hai, số đứng sau bằng số đứng liền trước nhân với một số khôngđổi q 6= 0 Số q được gọi là công bội của cấp số nhân Vậy ta có

un = u1qn−1.Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

1

un

= 12

5 Dãy tuần hoàn

Định nghĩa 1.8 Dãy số (un) được gọi là dãy tuần hoàn, nếu tồn tại số nguyêndương k, sao cho un+k = un, ∀n ∈ A Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn

hệ thức này gọi là chu kỳ

Nhận xét rằng, nếu chu kỳ k = 1, thì un+1 = un, ∀n ∈ A Trong trườnghợp này ta có dãy hằng

6 Dãy Fibonacci

Định nghĩa 1.9 Dãy số Fibonacci (Fn) là dãy số được xác định bởi

F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1+ Fn,nghĩa là bắt đầu từ số hạng thứ ba, số đứng sau bằng tổng của hai số đứngliền trước

1.2 Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp

Tuy nhiên, có nhiều dãy lặp phi tuyến có thể được đưa về dãy lặp tuyếntính bằng kỹ thuật đơn giản được trình bày dưới đây, mà ta gọi là Kỹ thuậttuyến tính hóa.

Mục này, ngoài kỹ thuật tuyến tính hóa đối với dãy lặp phi tuyến còntrình bày kỹ thuật Lượng giác hóa và đặc biệt là kỹ thuật Phương trình saiphân

1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân

1 Phương trình sai phân cấp một hệ số hằng Trước hết xét phươngtrình thuần nhất

aun+1+ bun = 0, ab 6= 0 (1.2)Nghiệm tổng quát của (1.2) được cho bởi công thức

Sau đây sẽ trình bày cách tìm nghiệm riêng của phương trình không thuầnnhất với vế phải ở một số dạng đặc biệt sau:

a) Giả sử fn là một đa thức bậc m của n : fn = Pm(n) Tìm u∗n dưới dạng:Nếu q 6= 1 thì u∗n = Qm(n)

Nếu q = 1 thì u∗n = nQm(n),

trong đó Qm(n) là một đa thức bậc m của n

d) Nếu fn = fn1 + fn2 + + fns, thì ta tìm nghiệm riêng ở dạng u∗n = u∗n1 +

u∗n2+ u∗ns với u∗nj là nghiệm tương ứng với fnj

Phương trình thuần nhất 2un − un+1 = 0 có phương trình đặc trưng

2 − q = 0 ⇔ q = 2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất códạng ˜un = C2n Vì q = 2 6= 1, nên nghiệm riêng của phương trình sai phân(1.5) được tìm ở dạng u∗n = An + B Thay vào (1.5), ta được

2(An + B) − [A(n + 1) + B] = n

Từ đây ta có A = B = 1, u∗n = n + 1 Do đó un = ˜un+ u∗n = C2n+ n + 1.Với u0 = 3, suy ra C = 2 Vậy ta có công thức số hạng tổng quát của dãy số

Lời giải Phương trình đặc trưng q − 1

4 Thay vào phương trình (1.6)

dễ dàng tìm được A = 1, B = 0 Suy ra u∗n = cosnπ

4 .

2 Phương trình sai phân cấp hai hệ số hằng

• Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Xét phương trình

aun+2+ bun+1+ cun = 0 (1.7)Phương trình đặc trưng của phương trình (1.7) là

Ký hiệu ˜un là nghiệm tổng quát của phương trình (1.7) Dễ dàng chứngminh được các khẳng định sau đây 1) Nếu phương trình đặc trưng (1.8) cóhai nghiệm thực phân biệt q1, q2 thì nghiệm tổng quát của phương trình thuầnnhất có dạng

˜

un = αq1n+ βq2n,trong dó α, β là các hằng số tùy ý 2) Nếu phương trình đặc trưng có nghiệmkép thực q1 = q2 = q, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất códạng

˜

un = (α + βn)qn.3) Nếu phương trình đặc trưng (1.8) có các nghiệm phức q1 = r(cos ϕ +

i sin ϕ), q2 = r(cos ϕ − i sin ϕ) thì nghiệm tổng quát của phương trình thuầnnhất sẽ là

˜

un = rn[α cos(nϕ) + β sin(nϕ)],

1) Trường hợp fn = Pk(n) là đa thức bậc k của n:

- Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm q=1, thì nghiệm riêng có dạng

- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép q1 = q2 = β thì nghiệm riêng códạng

u∗n = n2βnQk(n)

3) Trường hợp fn = Pm(n) cos(nβ) + Ql(n) sin(βn) Ký hiệu k = max{m, l} :

- Nếu α = cos β ± i sin β(i2 = −1) không là nghiệm của phương trình đặctrưng thì nghiệm riêng có dạng

u∗n = Tk(n) cos(nβ) + Rk(n) sin(nβ),trong đó Tk(n), Rk(n) là các đa thức bậc k của n

- Nếu α = cos β ± i sin β(i2 = −1) là nghiệm của phương trình đặc trưngthì nghiệm riêng có dạng

Nghiệm riêng được tìm ở dạng

u∗n = an2+ bn + c

Thay nghiệm riêng vào hai vế của phương trình (1.8) dễ dàng tìm được

a = 1, b = c = 0 Suy ra u∗n = n2 Do đó ta có

un = u∗n + ˜un = n2+ A2n + B2−n

Sử dụng các giá trị ban đầu u0 = 1, u1 = 3, ta tìm được A = 1, B = 0

Vậy số hạng tổng quát của dãy số dã cho là un = 2n + n2

Bài toán 1.4 Tìm số hạng tổng quát của dãy số {un} được cho bởi công thứctruy hồi sau đây

un+2− 3un+1 + 2un = (n − 2) cosnπ

2 + 3(n + 1) cos

nπ

2 , n = 0, 1, (1.13)Với các giá trị ban đầu u0 = 1, u1 = 3 Phương trình đặc trưng q2−3q+2 =

0 có các nghiệm q1 = 1, q2 = 2 Do đó, nghiệm tổng quát của phương trìnhthuần nhất là ˜un = A + B2n

cos(n + 2)π

2 = − cos

nπ

2 ,

sin(n + 2)π

2 = − sin

nπ

2 ,cos(n + 1)π

2 = − sin

nπ

2 ,sin(n + 1)π

Sử dụng các điều kiện u0 = 1, u1 = 3 ta tìm được A = B = 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho được cho bởi công thức

un = 1 + 2n + n cosnπ

2 .1.2.3 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số

Để minh họa cho kỹ thuật Lượng giác hóa và kỹ thuật Phương trình đại

số, ta xét bài toán sau đây:

Bài toán 1.5 Tìm xn, biết rằng

x0 = a, xn+1 = x2n − 2 (1.14)Lời giải

b + 1b

,trong đó b là nghiệm của phương trình bậc hai

b2− 2y0b + 1 = 0 (1.16)Khi đó ta có

y1 = 2y02− 1 = 2h1

2



b + 1b

Ta sẽ chứng minh công thức

yn = 12

Thật vậy, công thức (1.17) đã đúng với n = 0 và n = 1

Giả sử công thức này đúng với n = k, ta chứng minh nó đúng với n = k + 1.Thật vậy, ta có

1.2.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa dãy lặp phi tuyến

Xét hệ thức lặp (phương trình sai phân phi tuyến) bậc k dạng

un = ϕ(un−1, un−2, , un−k), n > k, n, k ∈ N∗ (1.20)

với các điều kiện ban đầu

u1 = α1, u2 = α2, , un = αn.Giả sử phương trình (1.20) là tuyến tính hóa được Khi đó, điều kiện cần

là tồn tại các số x1, x2, , xn sao cho

un = x1un−1+ x2un−2+ + xnun−k (1.21)

Để tìm x1, x2, , xk, trước hết theo công thức (1.20) ta tính

uk+1 = ϕ(αk, αk−1, , α1),

uk+2 = ϕ(αk+1, αk, , α2),

u2k = ϕ(α2k−1, α2k−2, , αk)rồi sau đó giải hệ phương trình đại số tuyến tính

x1α2k−1+ x2α2k−2+ + xkαk = u2k

(1.22)

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (1.22) ta tìm được các số x1, x2, , xk.Như thế nghĩa là công thức (1.21) đúng với n = k + 1, k + 2, , 2k Tiếp theo,phải chứng minh công thức (1.21) cũng đúng với n = 2k + 1, 2k + 2, , 2k, ,tức là đúng với mọi n trong tập xác định của hệ thức lặp (1.20) Vấn đề nàythường được chứng minh bằng phương pháp quy nạp Nếu điều này được chứngminh, thì ta nói hệ thức lặp phi tuyến (1.20) được tuyến tính hóa bởi công thức(1.21)

Bài toán 1.6 (Vô địch Moscow lần thứ 16) Dãy (un) được cho bởi công thức

u1 = u2 = 1, un = u

2 n−1+ 2

un−2

Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy (un) là các số nguyên

Lời giải Giả sử (1.23) có dạng

Hệ trên đây có nghiệm x1 = 4, x2 = −1 Thế các giá trị này vào (1.24), ta được

Bây giờ bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh dãy un thỏa mãn (1.23)

u1 = u2 = 1, un = u

2 n−1+ 2

Giả sử công thức (1.23) với n = k dãy

u1 = u2 = 1, uk = u

2 k−1 + 2

uk−1

= 16u

2 k−1− 8uk−1uk−2+ 4uk−1uk−2− u2

k−1

uk−1

= 15u

2 k−1− 4uk−1uk−2

uk−1

= 15uk−1− 4uk−2

= 15uk−1− 4(4uk−1− uk)

= 4uk − uk−1.Vậy

uk+1 = 4uk− uk−1

Do đó, với u1 = u2 = 1 thì un = 4uk − uk−1 (n ≥ 3) là những số nguyên

1.3 Một số bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát

của dãy số

1.3.1 Dẫn luận

Bài toán về xác định số hạng tổng quát hay số hạng nào đó của một dãy

số là một trong những bài toán cơ bản và quan trọng của dãy số Đối với cáccấp số, vấn đề này là rất đơn giản Đối với các dãy số truy hồi tuyến tính, hoặcphi tuyến đơn giản, trong mục 1.2 đã trình bày một số kỹ thuật tìm số hạngtổng quát, đó là kỹ thuật phương trình sai phân hệ số hằng, kỹ thuật lượnggiác hóa và kỹ thuật tuyến tính hóa

Trong mục này sẽ xét bài toán liên quan đến số hạng tổng quát của cácdãy số có độ khó cao hơn, như dãy cho bởi phương trình sai phân tuyến tính

hệ số biến thiên đặc biệt, dãy phi tuyến cao v.v

Suy ra

xn− nxn−1 = (−1)n+1,hay

xnn! − xn−1(n − 1)! =

(−1)n+1n! .

Từ công thức sai phân này, tính tổng hai vế, ta có được

xn

n! − x11! =

n

X

i=2

 xii! − xi−1(i − 1)!

Do đó

xnn! = 1 −

12! +

13! − 14! + +

(−1)n+1

n! .hay

xn = n!



1 − 12! +

13! − 14! + +

(−1)n+1n!



Từ đó ta tính được

x2009 = 2009!



1 − 12! +

13! − 14! + −

12008! +

12009!

.Bài toán 1.8 (Olympic sinh viên năm 2008) Dãy số (an) được xác định nhưsau

a1 = a2 = 1, an+2 = 1

an+1

+ an, n = 1, 2, 3, Tính a2008.Lời giải Theo giả thiết ta có an+2an+1− an+1an = 1 với mọi n = 1, 2, 3,

Do đó dãy số un = an+1an là một cấp số cộng với số hạng đầu là u1 = 1

2006!!.Bài toán 1.9 (Olympic sinh viên năm 2006) Cho dãy số (xn) xác định theo

Do đó ta được công thức tổng quát của dãy đã cho là

xn = 4n(n + 1).Suy ra

x2006 = 4

2006.2007.Bài toán 1.10 (Olympic sinh viên năm 2007) Cho dãy số (xn) được xác địnhbởi

x0 = 2007, xn = −2007(x0+ x1+ x2+ + xn−1

Tìm hệ thức liên hệ giữa xn, xn−1 với n ≥ 1.Từ đó, tính tổng

S = x0+ 2x1+ 4x2+ + 22007x2007.Lời giải Từ công thức xác định dãy, ta có

Bài toán 1.11 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau

n−1 − 3

2 Suy ra

un = 2

5.2n−1− 3.

b) Bài toán trong phần này không còn đơn giản như bài toán ở trên kia vì

ở tử số có số hạng tự do Chúng ta sẽ làm mất số hạng tự do và sử dụngphương pháp đã trình bày trong phần a) như sau Đặt un = vn+ t Thayvào công thức đã cho ta có

−223n−1+ 2411.3n−1− 10 .

1.4 Giới hạn của các dãy số

1.4.1 Lý thuyết tóm tắt

• Dãy hội tụ Ta nói dãy {an}n≥1 hội tụ đến l, hay là có giới hạn l, nếu vớimọi ε > 0, tồn tại N = N (ε), sao cho |an− l| < ε, ∀n > N

• Định lý Bolzano- Weierstrass Đối với một dãy số bị chặn bao giờ cũng

có thể trích ra một dãy con hội tụ

• Định lý Weierstrass Dãy bị chặn trên và đơn điệu tăng (bị chặn dưới vàđơn điệu giảm) là dãy hội tụ

• Dãy Cauchy và tiêu chẩn Cauchy Dãy {an}n≥1 được gọi là dãy Cauchy,

nếu với mọi ε > 0, tồn tại N = N (ε), sao cho |am− an| < ε, ∀m, n > N Dãy

số thực {an}n≥1 hội tụ khi và chỉ khi là dãy Cauchy

• Nguyên lý kẹp Nếu vn < un < wn, limn→∞vn = limn→∞wn = l, thìlimn→∞un = l

"

 1n

2008

+ 2n

n

X

i=1

 in

2008

.Xét hàm số f (x) = x2008 thì rõ ràng f (x) khả vi trên [0; 1] Chia đoạn[0; 1] thành các đoạn con bởi các điểm xi = i

n

X

i=1

 in

2008

= lim

n→+∞

1n

n

X

i=1

f in

!

=

Z 1 0

f (x)dx

=

Z 1 0

x2008dx

2009.Vậy giới hạn cần tính là 1

2009.

Bài toán 1.13 (Olympic sinh viên năm 2009) Cho hai dãy số xn, yn xác địnhbởi công thức

=

2 sin b

2cos

b2

Do đó, bằng quy nạp ta chứng minh được

1 − tan2 π

3.2n

3.2n < tan2 π

6 =

1

3.Nên

b) Giả sử rằng (xn) và (yn) bị chặn Chứng minh rằng chúng cùng hội tụ vềmột điểm

Lời giải

a) Dễ thấy rằng các dãy (xn) và (yn) dương với mọi n ≥ 2

Đặt xn + yn = Sn, xnyn = pn

2 n

4 ≥ √pn,tức là (xn+ yn) và (xnyn) là những dãy đơn điệu tăng

a) Do các dãy (xn) và (yn) bị chặn trên nên dãy (xn+ yn) bị chặn, hơn nữa

nó là dãy đơn điệu tăng nên có giới hạn

4 và (sn) tăng nên pn ≤ s

2

4,tức là dãy (pn) cũng bị chặn và dãy này cũng đơn điệu tăng nên có giớihạn , đặt là p với 0 < p ≤ s2

4 Mặt khác, ta có

pn+1 ≥ s

2 n

4 .Nên

Theo định lý viete thì xn, yn là các nghiệm dương của phương trình

t2− snt = pn = 0 và các nghiệm của phương trình này là

12



sn+ps2

n− 4pn

, 12



sn−ps2

n− 4pn

.Suy ra

Bài toán 1.15 (Olympic sinh viên năm 2012) Cho dãy số (an) thỏa mãn điềukiện



x1 = (n + 1)x1.Suy ra an = (n + 1)(α − 2) + 2 với mọi n

Nếu α 6= 2 thì dễ thấy an → ±∞ khi n → +∞ nên không thỏa mãn

Nếu α = 2 thì ta có an = 2 với mọi n nên dãy (an) hội tụ.

Vậy giá trị cần tìm của α để dãy đã cho hội tụ là α = 2

Bài toán 1.16 Cho dãy số (xn) xác định bởi:

x1 = 1, xn+1 = xn(1 + x2010n ) với n = 1, 2, 3, Hãy tính giới hạn sau

lim

n→+∞

 x2010 1

x2

+ x

2010 2

x3

+ + x

2010 n

xn+1



Lời giải Trước hết ta thấy rằng dãy này tăng thực sự và nếu dãy này bịchặn thì tồn tại giới hạn, đặt giới hạn đó là L > 0 Chuyển công thức xác địnhcủa dãy qua giới hạn, ta có

lim

x→+∞

 x2010 1

x2

+ x

2010 2

x3

+ + x

2010 n

Bài toán 1.17 (Olympic sinh viên năm 2007) Cho a, b, c, α là các số thực

α 6= c − d Dãy số (un),(vn) được xác định bởi công thức

Lời giải Ta biểu diễn uk

uk+1+ b − c dưới dạng r

1

uk + s − 1

uk+1 + s

với

r, s cố định sẽ xác định sau Ta có

r

1

uk+ s − 1

uk+1+ s



= r(uk+1− uk)(uk + s)(uk+1 + s)

=r(u

2

k + buk

c − uk)(uk + s)(uk+1 + s)

= ruk(uk + b − c)(uk + s)(uk+1 + s).

So sánh với biểu thức ban đầu, ta chọn s = b − c và r = 1, khi đó, ta được

Lời giải Hàm số f (x) đã cho khả vi nên liên tục trên R

Với mọi x, y ∈ R mà x < y, theo định lý Lagrange thì tồn tại z ∈ (x, y)sao cho

g(−p) = f (−p) + p ≥ 0,và

A1 = max{A1, A2, , Ak}.

Khi đó

An1 ≤ An1 + An2 + + Ank ≤ kAn1.Suy ra

A1 = lim

n→∞(An1)n1 ≤ lim

n→∞(An1 + An2 + + Ank)n1 ≤ lim

n→∞(kAn1)1n = A1,tức là giới hạn cần tìm là

n→∞

n

√n!

1

e.Lời giải Trước hết ta có nhận xét

e.Bài toán 1.21 Tìm giới hạn của dãy số (an)n≥2 xác định bởi

Do đó

an =

n

√n!